【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 第4章 同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案 苏教版

1 学案学案 1717 同角三角函数的基本关系式及诱导公式同角三角函数的基本关系式及诱导公式 导学目标 1 能利用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦 余弦 2 正切的诱导公式 2 理解同角三角函数的基本关系式 sin2x cos2x 1 tan x sin x cos x 自主梳理 1 同角三角函数的基本关系 1 平方关系 2 商数关系 2 诱导公式 1 sin 2k cos 2k tan 2k k Z Z 2 sin cos tan 3 sin cos tan 4 sin cos tan 5 sin cos 6 sin 2 2 2 cos 2 3 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 一般步骤为 上述过程体现了化归的思想方法 自我检测 1 2010 全国 改编 cos 300 2 2009 陕西改编 若 3sin cos 0 则的值为 1 cos2 sin 2 3 2010 福建龙岩一中高三第三次月考 是第一象限角 tan 则 sin 3 4 4 cos sin 17 4 17 4 5 已知 cos 则 sin 6 2 3 2 3 探究点一 利用同角三角函数基本关系式化简 求值 例 1 已知 x 0 sin x cos x 2 1 5 2 1 求 sin2x cos2x的值 2 求的值 tan x 2sin x cos x 变式迁移 1 已知 sin 3 2sin 求下列各式的值 3 2 1 2 sin2 sin 2 sin 4cos 5sin 2cos 探究点二 利用诱导公式化简 求值 例 2 2010 安徽合肥三模 已知 sin 0 2 5 5 1 求的值 sin 2 cos 3 2 sin cos 3 2 求 cos的值 2 3 4 变式迁移 2 设f 1 2sin 2sin cos cos 1 sin2 cos 3 2 sin2 2 0 则f 23 6 探究点三 综合应用 例 3 在 ABC中 若 sin 2 A sin B cos A cos B 232 求 ABC的三个内角 变式迁移 3 是否存在角 其中 0 使得等式 2 2 sin 3 cos cos cos 同时成立 若存在 求 2 232 出 的值 若不存在 请说明理由 3 转化与化归思想 例 14 分 已知 是三角形的内角 且 sin cos 1 5 1 求 tan 的值 2 把用 tan 表示出来 并求其值 1 cos2 sin2 多角度审题 由 sin cos 应联想到隐含条件 sin2 cos2 1 要求 tan 1 5 应当切化弦 所以只要求出 sin cos 即可 2 需要把弦化成切 答题模板 解 1 联立方程Error 由 得 cos sin 将其代入 整理得 25sin2 5sin 12 0 2 分 1 5 是三角形的内角 Error 4 分 tan 7 分 4 3 2 10 分 1 cos2 sin2 sin2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 tan2 1 1 tan2 tan 14 分 4 3 1 cos2 sin2 tan2 1 1 tan2 4 3 2 1 1 4 3 2 25 7 突破思维障碍 由 sin cos 及 sin2 cos2 1 联立方程组 利用角 的范围 应先求 1 5 sin 再求 cos 1 问切化弦即可求 2 问应弦化切 这时应注意 1 的活用 易错点剖析 在求解 sin cos 的过程中 若消去 cos 得到关于 sin 的方程 则求得两 解 然后应根据 角的范围舍去一个解 若不注意 则误认为有两解 1 由一个角的三角函数值求其他三角函数值时 要注意讨论角的范围 2 注意公式的变形使用 弦切互换 三角代换 消元是三角代换的重要思想 要尽量 少开方运算 慎重确定符号 注意 1 的灵活代换 3 应用诱导公式 重点是 函数名称 与 正负号 的正确判断 满分 90 分 一 填空题 每小题 6 分 共 48 分 1 2011 苏州月考 cos 的值是 35 3 2 已知 tan 且 为第二象限角 则 sin 的值等于 5 12 3 已知f 则f 的值为 sin cos 2 cos tan 31 3 4 2011 连云港调研 设f x asin x bcos x 其中 4 a b 都是非零实数 若f 2 010 1 则f 2 011 5 2010 全国 改编 记 cos 80 k 则 tan 100 6 已知 tan 则的值为 1 2 1 2sin cos 2 sin2 sin2 5 2 7 sin21 sin22 sin23 sin289 8 2010 东北育才学校高三第一次模拟考试 若 tan 2 则 cos2 sin cos sin cos 二 解答题 共 42 分 9 14 分 已知f sin cos 2 tan tan sin 1 化简f 2 若 是第三象限角 且 cos 求f 的值 3 2 1 5 10 14 分 化简 k Z Z sin k cos k 1 sin k 1 cos k 11 14 分 已知 sin cos 是关于x的方程x2 ax a 0 a R R 的两个根 1 求 cos3 sin3 的值 2 2 2 求 tan 的值 1 tan 答案答案 自主梳理 1 1 sin2 cos2 1 2 tan 2 1 sin cos tan 2 sin cos sin cos tan 3 sin cos tan 4 sin cos tan 5 cos sin 6 cos sin 自我检测 1 1 2 解析 cos 300 cos 360 60 cos 60 1 2 2 10 3 解析 3sin cos 0 sin2 cos2 1 5 sin2 1 10 1 cos2 sin 2 1 cos2 2sin 3sin 1 1 7sin2 10 3 3 3 5 4 2 解析 cos sin cos 4 sin 4 cos 17 4 17 4 4 4 4 sin 4 cos sin 4 42 5 2 3 解析 sin sin 2 3 2 3 sin cos 6 2 6 2 3 课堂活动区 例 1 解题导引 学会利用方程思想解三角函数题 对于 sin cos sin cos sin cos 这三个式子 已知其中一个式子的值 就可以求出其余二式的值 但 要注意对符号的判断 解 由 sin x cos x 得 1 5 1 2sin xcos x 则 2sin xcos x 1 25 24 25 x 0 sin x0 2 即 sin x cos x 0 则 sin x cos x sin2x 2sin xcos x cos2x 1 24 25 7 5 1 sin2x cos2x sin x cos x sin x cos x 1 5 7 5 7 25 2 由Error 得Error 则 tan x 3 4 即 tan x 2sin x cos x 3 4 6 5 4 5 15 8 变式迁移 1 解 sin 3 2sin 3 2 sin 2cos sin 2cos 即 tan 2 方法一 直接代入法 6 1 原式 2cos 4cos 5 2cos 2cos 1 6 2 原式 sin2 2sin cos sin2 cos2 sin2 sin2 sin2 1 4sin2 8 5 方法二 同除转化法 1 原式 tan 4 5tan 2 2 4 5 2 2 1 6 2 原式 sin2 2sin cos sin2 2sin cos sin2 cos2 tan2 2tan tan2 1 8 5 例 2 解题导引 三角函数的诱导公式记忆有一定规律 的本质是 奇变偶 k 2 不变 对k而言 指k取奇数或偶数 符号看象限 看原函数 同时可把 看成是锐角 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值 其一般步骤 1 负角变正角 再写成 2k 0 2 2 转化为锐角三角函数 解 1 sin 0 2 5 5 cos sin 5 5 2 5 5 sin 2 cos 3 2 sin cos 3 cos sin sin cos 1 3 2 cos sin 5 5 2 5 5 sin 2 cos 2 4 5 3 5 cos cos 2 sin 2 2 3 4 2 2 2 2 2 10 变式迁移 2 3 解析 f 2sin cos cos 1 sin2 sin cos2 2sin cos cos 2sin2 sin cos 1 2sin sin 1 2sin 1 tan f 23 6 1 tan 23 6 1 tan 4 6 1 tan 63 例 3 解题导引 先利用诱导公式化简已知条件 再利用平方关系求得 cos A 求角时 一般先求出该角的某一三角函数值 再确定该角的范围 最后求角 诱导公式在三角形中 常用结论有 A B C A 2 B 2 C 2 2 解 由已知得Error 2 2得 2cos2A 1 即 cos A 2 2 1 当 cos A 时 cos B 2 2 3 2 又A B是三角形的内角 A B C A B 4 6 7 12 7 2 当 cos A 时 cos B 2 2 3 2 又A B是三角形的内角 A B 不合题意 3 4 5 6 综上知 A B C 4 6 7 12 变式迁移 3 解 假设满足题设要求的 存在 则 满足 Error 2 2 得 sin2 3 1 sin2 2 即 sin2 sin 1 2 2 2 或 2 2 4 4 1 当 时 由 得 cos 4 3 2 0 6 2 当 时 由 得 cos 但不适合 式 故舍去 4 3 2 6 综上可知 存在 使两个等式同时成立 4 6 课后练习区 1 1 2 解析 cos cos cos 12 35 3 35 3 3 cos 3 1 2 2 5 13 解析 已知 tan 且 为第二象限角 5 12 有 cos cos2 sin2 cos2 1 1 tan2 12 13 所以 sin 5 13 3 1 2 解析 f cos f sin cos cos tan 31 3 cos cos 10 cos 31 3 3 3 1 2 4 1 解析 f 2 010 asin 2 010 bcos 2 010 asin bcos 1 f 2 011 asin 2 011 bcos 2 011 asin 2 010 bcos 2 010 asin bcos asin bcos 1 8 5 1 k2 k 解析 cos 80 cos 80 k sin 80 1 cos280 1 k2 tan 100 tan 80 1 k2 k 6 3 解析 原式 1 2sin cos sin2 cos2 sin cos 2 sin2 cos2 3 sin cos sin cos tan 1 tan 1 7 89 2 解析 sin21 sin22 sin23 sin289 sin21 sin22 sin245 sin2 90 2 sin2 90 1 sin21 sin22 2 cos22 cos21 2 2 sin21 cos21 sin22 cos22 sin244 cos244 44 1 2 1 2 89 2 8 16 5 解析 原式 tan 1 tan 1 cos2 sin2 cos2 3 3 1 tan2 1 1 5 16 5 9 解 1 f sin cos 2 tan tan sin cos sin cos tan tan sin 7 分 2 是第三象限角 且 cos sin 3 2 1 5 sin 10 分 1 5 cos 1 sin2 1 1 5 2 2 6 5 f cos 14 分 2 6 5 10 解 当k为偶数 2n n Z Z 时 原式 sin 2n cos 2n 1 sin 2n 1 cos 2n sin cos sin cos 1 sin cos sin cos cos cos 6 分 当k为奇数 2n 1 n Z Z 时 9 原式 sin 2n 1 cos 2n sin 2n 2 cos 2n 1 1 sin cos sin 2 cos sin cos sin cos 12 分 当k Z Z 时 原式 1