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用心 爱心 专心1 巧用函数思想解数列题巧用函数思想解数列题 从函数观点看 数列是定义域为正整数集或它的有限子集 1 2 3 n 上的函 数 当自变量从小到大取值时相应的一列函数值 因此 用函数思想解数列题 思路自 然 方法简捷 1 1 利用周期性解题利用周期性解题 例例 1 1 在数列 an 中 已知 则等于aaaaanN nnn1221 15 a2002 A 1B 5C 1D 5 解 因为aaanN nnn 21 所以aaa nnn 321 两式相加 得aa nn 3 从而有aaa nnn 63 即 an 是周期为 6 的数列 所以aaaa 20026 333 441 1 选 A 2 2 利用单调性解题利用单调性解题 例例 2 2 设 且 n 1 求证nN 1 1 3 1 1 5 1 1 7 1 1 21 21 2 n n 证明 令a n n n n 1 1 3 1 1 5 1 1 7 1 1 21 21 2 3 则an 1 1 1 3 1 1 5 1 1 21 1 1 21 23 nn n 于是 a a n n n n n 1 1 1 21 21 23 22 21 23 21 411 1 2 n nn n n 所以aa nn 1 即 an是 n 的单调递增函数 其中 n 2 3 4 用心 爱心 专心2 又a2 1 1 3 5 16 45 16 64 1 2 所以当 n 2 3 4 时 都有an 1 2 故 1 1 3 1 1 5 1 1 7 1 1 21 21 2 n n 3 3 利用图象解题利用图象解题 例例 3 3 已知数列 an 的通项公式 则数列 an 的前 30 项中最a n n nN n 97 98 大项与最小项分别为 A a1 a10B a1 a9C a10 a30D a10 a9 解 因为 由图象 知选 D a n nn n 97 98 1 9897 98 4 4 分离参数解题分离参数解题 例例 4 4 已知 a 0 且 a 1 数列 an 是首项为 a 公比为 a 的等比数列 设 若对任意恒成立 求实数 a 的取值范围 baanN nnn lg bb nn 1 nN 解 依题意 得 所以aa aa n nn 1 baaaanaa nnn nnn lglglg 于是bbbb nnnn 11 0 naanaa nn lg lg10 1 1 当 a 1 时 lga 0 所以 故a n n 1 al nN 当时 01 alga 0
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