“相似三角形的判定”复习课的教学

1 相似三角形的判定相似三角形的判定 复习课的教学复习课的教学 交大二附中 肖宇峰 一直以来 复习课都被认为难上 它既不像新授课那样有新鲜感 又不像习题课那样 有成就感 它既不能是新授课的浓缩版 学生已学过内容的重复 又不能是解决难题的技 能大展示 复习课没有现成的可供操作的教学模式 如何上好一堂复习课 笔者近期上了 一节 三角形相似的判定定理的复习 公开课 对这个问题进行了一次探索 在二期课改的大背景下 作为公开课 应体现新的课程理念 运用新的方法 因此 我再次认真地学习了新的 课程标准 认真钻研了本章的教学重点和难点 同时上网查 找相关资料 查找相关的参考书籍 通过学习和思考 我明确以下几点 一 公开课要体现数学的基本思想和基本方法 新的 课程标准 指出 数学课程要努力体现 数学为人人 的指导思想 立足 于使所有学生获得终身学习所必备的数学基础知识 要抓住数学知识的主干部分 突出基本原理和通用方法 切实加强数学课程的基础性 因此我确定本节课教学目的是 使学生复习巩固 三角形相似的判定定理 的 内容 并学会应用这些定理解决数学问题 让学生在解题过程中学习和掌握数学的 基本思想和方法的应用 本节课最主要的数学思想是基本图形思想 要引导学生认识 基本图形 学会从复杂图形中分理出基本图形 能分析出其中的基本元素及其关系 能由基本图形的性质导出复杂图形的性质 其次要帮助学生形成图形运动变化的思想 用运动变化的观点看问题 形成函数思想 数形结合思想 分类讨论思想等数学思想 方法 引导学生站在方法论的高度思考数学问题 解决数学问题 二 公开课要体现现代信息技术与数学教学的整合 新的 课程标准 指出 数学课程必需大力加强现代信息技术的应用 使现代信 息技术成为学生学习的有效手段和工具 成为获取信息资源和开展学习交流的广阔平 台 通过现代信息技术应用 拓宽数学学习的渠道 推动学习方式的转变 推进数 学课堂教学的改革 改善数学教学过程 本节课是几何教学内容 要涉及许多几何图形和图形变化 而习题中的图形是静 止的 不能表示出动态的效果 这对学习构成了一定的困难 因此我借助 几何画板 软件来表现图形的运动 让静止的图形动起来 帮助学生突破对几何问题的理解与想 象的困难 加强直观教学 使得课堂教学更加生动 调动学生的学习积极性 三 公开课要充分体现学生的主体性和教师的主导作用 新的 课程标准 指出 在教学过程中 应确立和尊重学生在学习活动中的主体 地位 充分发挥学生的积极性和主动性 让学生在主动参与教学活动的情况下学习 教师在教学中起着主导作用 要为学生提供真实的学习环境 并给予适当的指导和必 要的帮助 促进学生有效学习 主动发展 接下来的任务就是教学活动的设计和实施了 选题是复习课的关键的一步 合适的例 习题是实现目标的基础 由于复习课的教学内容在教材上没有现成的 而许多习题学生在 学习新课时已接触过 要选择到合适的问题 就需要教师结合所教学生的实际情况 创造 性地组织教学内容 为此我费了不少工夫 想了不少办法 我认为 对于本节课的教学 选题既可以以定理为主线 将教学内容一个一个串起来 也可以以基本图形为主线 将问 题一个一个的衔接 考虑到 在上新课的时候 就是按照定理的顺序进行讲解的 如果复 习课还是按照这种方式进行 容易造成同一水平上的重复 不便于进行知识的提升 况且 很难有一个问题同时包含了几个定理的应用 如果每一个定理都想在课堂上加以应用 那 么题量太大 难以突出重点 而选择以几何基本图形为主线 则是一个不错的选择 相似 2 三角形中 平行线型 A 字型 X 字型 相交线型是常见的几何基本图形 通过以 基本图形为主线进行讲解 能促使学生对基本知识进行重组和再构建 同时激发学生的兴 趣 而就在半个月前 我刚写完一篇关于几何基本图形在几何证明中应用方面的文章的初 稿 对于几何基本图形的应用很有一些想法 于是我最终敲定以几何基本图形作为复习的 主线 将各个知识点贯穿起来 同时达到复习定理和归纳解题方法的目的 同时注意所选 问题的难度要有一定的梯度 要由浅入深 由易到难 以下是教学过程的描述 一 进行知识的梳理和归纳 我提出问 判定两个三角形相似 我们学习了哪些方法 学生回答 预备定理 如果一条直线平行于三角形的一条边 且这条直线与原三角形的两条边 或其延长线 分别相交 那么所构成的三角形与原三角形相似 判定定理 1 两角对应相等 两三角形相似 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 判定定理 3 三边对应成比例 两三角形相似 直角三角形相似的判定定理 斜边和一条直角边对应成比例 两直角三角形相似 我补充并结合 几何画板 进 行图形演示 预备定理简称为 平行即相似 包括两种情况 如图 1 和图 2 这两个图形是 证明相似的基本图形 即 A 字 型 X 字型 学生结合图 3 和图 4 叙述判 断定理 1 5 通过让学生对知识进行回顾 和梳理 将旧知提取并强化记忆 弥补了遗忘点 二 精选例习题 整合已学知识 例 1 如图 5 ABC 中 DE BC DE 交 AB AC 分 别于 D E DC BE 相交于点 O 图中相似的三角形有 从对知识进行回顾之后 学生易发现 ADE ABC 和 DOE COB E A CB D E A CB D 图 1 图 2 A C B C B A A C B C B A 图 3 图 4 O E A CB D 图 5 3 我进一步指出 在这个图形中任包含 了 A 字型 X 字型 这两个基本图形 结合 几何画板 进行图形演示可以发现 图 5 中可以分离出图 6 和图 7 通过反复强调 加深了学生对基本图 形的理解 我进一步问 是否还有其他的相似三 角形 学生陷入了沉思 有的小声说还有 有的小声说没有了 甲同学回答 DOB 与EOC 是相似三角形 我利用 几何画板 演示相应的图 8 甲同学的证明如下 在DOB 与EOC 中 DE BC BO EO CO DO DOB EOC OBD OCE 教师问 甲同学的证明好吗 有人点头 有人迟疑 有同学回答说 甲的证明是错误的 我请乙同学回答 DE BC是对的 但要证明 BO EO CO DO OBD OCE DO EO CO BO 四条对应线段的对应关系不对 必须是才行 但 CO EO BO DO 此题无法证得 该同学在台下回答不够清楚 同学老师请他上讲台 对照所演示的图形进行讲解 非 常成功 得到了大家的赞许 我补充道 证明相似要找准对应关系 对应边要写在对应位置上 对于等式 d c b a 通常同一竖排 或横排 代表的是相似形的对应边 而同一横排 或竖排 代表的是同一图形 的两条边 在设计此题时 我认识到 如果仅仅要求学生回答正确答案 那么太简单 只是为了 复习定理而复习定理 而学生对于甲这样的错误却是时常发生 经常会有学生因为对应关 系搞不清 而错误的 证出来 本不该相似的两个三角形相似 于是设下了这样一个圈套 以便帮助学生纠正错误 并且给他们留下深刻的印象 从而更加重视相似形中的对应关系 考虑到 由于是公开课 学生反应比较谨慎 可能有一些想法不愿意说出来 于是我 做了两手准备 万一我所期待的 甲的这种错误 资源没有生成 那么我用这样的一道题 来诱导学生进行辨析 以达到同样的效果 备用题 请问 DOB 与EOC 是否相似 某学生回答 相似 解法如下 在DOB 与EOC 中 DE BC O E C E A CBB DD 图 6 图 7 O E CB D 图 8 4 BO EO CO DO DOB EOC OBD OCE 例 2 如图 9 在ABC 中 点 D E 分别在 AB AC 上 ADE ACB CD 与 BE 相交于点 O 指出图中各对相似的三角形 由于此题的开放度较大 因此我要求学生自己 画图分析 并允许他们与周围同学进行讨论 使学 生之间的思维得以相互补充 思路更加开阔 我则事先在电脑内准备好答案 画好了与之相 对应的基本图形 配合学生的问题回答进行相应的 演示 很快学生们得出第一个答案 1 ADE ACB 理由 判定定理 1 如图 10 接着我问 还有相似三角形吗 经过片刻的思考 有同学发现了第二个答案 2 ABE ACD 和第三个答案 3 DOB EOC 理由 判定定理 2 2 1 AA AB AC AE AD AB AE AC AD 由由 如图 11 学生一边证明 我一边将此证明过程在黑板上 进行板书 并再次强调了边的对应关系 判定定理 1 如图 3 212 EOCDOB 由由 12 我再次提问 是否还有三角形是相似的 学生们再次静了下来 也许是受到证明 2 的 启示 学生们得出了第四个答案 4 DOE BOC 理由 判定定理 2 4 3 BOCDOE CO EO BO DO CO BO EO DO 由由 如图 13 我引导学生对例题 2 进行反思 此题由第一次 的相似所得的结论作为第二次相似的依据 再由第 二次的相似所得的结论作为第三次相似的依据 如 此这般推导出四对相似三角形 这里反复用到了定 理 1 和定理 2 在相似问题的证明中 这两个 定理是常用的定理 定理 1 的条件比较好找到 定理 2 的条件较难找 如此题的第二 四两次相 O E C A B D 图 9 E C A B D 图 10 O E C A B D 图 11 2 1 O E C B D 图 12 O E C B D 图 13 5 似就要由前一次的相似所得的对应线段比 交换两内项得到 这也是证明相似常用到的方 法 再引导学生对例题 1 和 2 进行对比反思 例题 1 中相似三角形的基本图形是 平行线 型 中的 A 字型 和 X 字型 而例题 2 中相似三角形的基本图形我们叫做 相交线型 如图 10 图 13 其中图 11 图 13 都可以由图 10 平移线段 DE 得到 我用 几何画板 进行了相应的演示 如图 14 进一步引导学生思考 图 8 的这对 蝴蝶翅膀 不相似 而图 9 中的两对 蝴蝶翅 膀 却是相似的 大家可以好好想一想 什么情况下相似 什么情况下不相似 为什么 引入例 3 刚才我们证明了两道基本的判定三角形相似的问题 三角形相似在初中是 一个重要的内容 它往往可以与函数 运动型问题 分类讨论问题等结合起来作为综合型 问题 例 3 等腰梯形 ABCD 中 AB CD AD BC AD 2 BC 4 如果 P 是 BC 上 0 60 B 一点 Q 是 AP 上一点 且 0 60 AQD 1 求证 ABP DQA 2 当点 P 在 BC 上移动时 线段 DQ 的长度也随之变化 设 PA x DQ y 求 y 与 x 之间的函数关系式 并指出 x 的取值范围 3 ADQ 是否会成为等腰三角形 如果会 那么点 P 位于 何处 学生独立完成第 1 问和第 2 问的解答 并用投影仪进行了解题过程的演示和说明 此题的第 2 问 指出 x 的取值范围 部分学生解答困难 我引导学生进行图形运动的想 象 并用 几何画板 进行了图形运动的演示 当点 P 运动到图 16 1 的位置 即 时 x 取最小值 当点 P 运动到图 16 2 的位置 即点 P 与 C 重合时 x 取最BCAP 大值 从而完成了第 1 2 问 几何学习对于学生的空 间想象能力要求较高 但不 同的学生能力发展情况不同 教师应让学生经历从直观经 验几何 实验几何到推理几 何的演绎过程 使他们逐步 完成由直观感知向理性思维的过渡 在学生思考第 3 问时 可以发现 由于平时对分类思想讲得比较多 因此学生普遍掌 E C A B D E C A B D E C A B D 图 14 x y Q D A C B P 图 15 x y Q D A C B P xy Q D A C BP 图 16 1 图 16 2 6 握较好 许多学生马上可以想到 此题要分三种情况进行讨论 但他们却忽视了题目中的 的条件 通过引导 学生最后达成共识 ADQ 只能是等边三角形 理由是 0 60 AQD 有一个角是 600的三角形是等边三角形 此时 P 是 BC 的中点 三 总结反思 深化认识 由学生进行总结 教师补充 再次归纳了两个三角形相似的基本图形及其变式图形 如 图 17 平行线型和图 18 1 相交线型及其变式图 18 2 使学生明确基本图形 思想是学习几何重要思想方法 要让学生在各学习阶段加强对于几何基本图形的积累 并 学会在复杂图形中分离出几何基本图形 能够辨别出经过变式后的几何基本图形 课例反思 1 对于这节课公开课的设计安排 我认为要抓住一条主线 把知识串连起来 在例题 1 和例题 2 中 我做到了 既达到了复习判定定理的目的 又不是对旧知的简单重复 提 高了学生的学习兴趣 2 在这节课上 我始终重视基本知识 基本方法的教学 同时注重突出重点 对重点 定理重点复习 重视揭示普遍规律 突出了主要的数学思想方法 让学生学会分析思考问 题的方法 3 在这节课上 我注重引导学生反思 解题后 引导学生对解题过程进行反思 对数 学方法进行反思 对不同的问题进行对比反思 对同伴的解题方式进行反思 帮助学生 从数学的本质理解数学 加强知识的融会贯通 对于这节课来说 总的效果不错 听课的专家认为例题 1 2 上得很精彩 对于例题 3 认为内容还太难 建议对例题 1 2 类型的基本问题进行一些操练 其实专家的意见和我所 希望的 用一条主线 把知识串连起来 的想法是一致的 但担心作为公开课的内容过于