高中数学竞赛标准讲义：第五章：数列新人教A版

用心 爱心 专心 第五章第五章 数列数列 一 基础知识一 基础知识 定义 1 数列 按顺序给出的一列数 例如 1 2 3 n 数列分有穷数列和无穷数 列两种 数列 an 的一般形式通常记作 a1 a2 a3 an或 a1 a2 a3 an 其中 a1叫做数 列的首项 an是关于 n 的具体表达式 称为数列的通项 定理 1 若 Sn表示 an 的前 n 项和 则 S1 a1 当 n 1 时 an Sn Sn 1 定义 2 等差数列 如果对任意的正整数 n 都有 an 1 an d 常数 则 an 称为等差数列 d 叫做公差 若三个数 a b c 成等差数列 即 2b a c 则称 b 为 a 和 c 的等差中项 若公差为 d 则 a b d c b d 定理 2 等差数列的性质 1 通项公式 an a1 n 1 d 2 前 n 项和公式 Sn d nn na aan n 2 1 2 1 1 3 an am n m d 其中 n m 为正整数 4 若 n m p q 则 an am ap aq 5 对任意正整数 p q 恒有 ap aq p q a2 a1 6 若 A B 至少有一个不为 零 则 an 是等差数列的充要条件是 Sn An2 Bn 定义 3 等比数列 若对任意的正整数 n 都有q a a n n 1 则 an 称为等比数列 q 叫做公比 定理 3 等比数列的性质 1 an a1qn 1 2 前 n 项和 Sn 当 q 1 时 Sn q qa n 1 1 1 当 q 1 时 Sn na1 3 如果 a b c 成等比数列 即 b2 ac b 0 则 b 叫做 a c 的等比中项 4 若 m n p q 则 aman apaq 定义 4 极限 给定数列 an 和实数 A 若对任意的 0 存在 M 对任意的 n M n N 都有 an A 则称 A 为 n 时数列 an 的极限 记作 limAan n 定义 5 无穷递缩等比数列 若等比数列 an 的公比 q 满足 q 1 则称之为无穷递增等比数 列 其前 n 项和 Sn的极限 即其所有项的和 为 q a 1 1 由极限的定义可得 定理 3 第一数学归纳法 给定命题 p n 若 1 p n0 成立 2 当 p n 时 n k 成立时能 推出 p n 对 n k 1 成立 则由 1 2 可得命题 p n 对一切自然数 n n0成立 竞赛常用定理竞赛常用定理 定理 4 第二数学归纳法 给定命题 p n 若 1 p n0 成立 2 当 p n 对一切 n k 的 自然数 n 都成立时 k n0 可推出 p k 1 成立 则由 1 2 可得命题 p n 对一切自然数 n n0成立 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn axn 1 bxn 2 设它的特征方程 x2 ax b 的两个根为 1 若 则 xn c1an 1 c2 n 1 其中 c1 c2由初始条件 x1 x2的值确定 2 若 则 xn c1n c2 n 1 其中 c1 c2的值由 x1 x2的值确定 二 方法与例题 1 不完全归纳法 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律 当然结论未必都是正确的 但却是人类探 索未知世界的普遍方式 通常解题方式为 特殊 猜想 数学归纳法证明 例 1 试给出以下几个数列的通项 不要求证明 1 0 3 8 15 24 35 2 1 5 19 65 3 1 0 3 8 15 解 1 an n2 1 2 an 3n 2n 3 an n2 2n 例 2 已知数列 an 满足 a1 2 1 a1 a2 an n2an n 1 求通项 an 用心 爱心 专心 解 因为 a1 2 1 又 a1 a2 22 a2 所以 a2 23 1 a3 43 1 132 2 aa 猜想 1 1 nn an n 1 证明 1 当 n 1 时 a1 12 1 猜想正确 2 假设当 n k 时猜想成立 当 n k 1 时 由归纳假设及题设 a1 a1 a1 k 1 2 1 ak 1 所以 1 1 23 1 12 1 kk k k 2 ak 1 即 1 11 3 1 2 1 2 1 1 kk k k 2 ak 1 所以 1 k k k k 2 ak 1 所以 ak 1 2 1 1 kk 由数学归纳法可得猜想成立 所以 1 1 nn an 例 3 设 0 a1 证明 证明更强的结论 1 an 1 a 1 当 n 1 时 1 a1 1 a 式成立 2 假设 n k 时 式成立 即 1an 又由 an 1 5an 124 2 n a移项 平方得 0 110 2 1 2 1 nnnn aaaa 用心 爱心 专心 当 n 2 时 把 式中的 n 换成 n 1 得0110 2 11 2 nnnn aaaa 即 0 110 2 1 2 1 nnnn aaaa 因为 an 1 an 1 所以 式和 式说明 an 1 an 1是方程 x2 10anx 2 n a 1 0 的两个不等根 由韦达 定理得 an 1 an 1 10an n 2 再由 a1 0 a2 1 及 式可知 当 n N 时 an都是整数 3 数列求和法 数列求和法主要有倒写相加 裂项求和法 错项相消法等 例 6 已知 an 100 24 1 n n 1 2 求 S99 a1 a2 a99 解 因为 an a100 n 100 24 1 n 100100 24 1 n 100100100100 100100 2 1 44 224 4422 nn nn 所以 S99 2 99 2 99 2 1 2 1 101100 99 1 100 n nn aa 例 7 求和 432 1 321 1 n S 2 1 1 nnn 解 一般地 2 1 2 2 2 1 1 kkk kk kkk 2 1 1 1 1 2 1 kkkk 所以 Sn n k kkk 1 2 1 1 2 1 1 1 1 43 1 32 1 32 1 21 1 2 1 nnnn 2 1 1 2 1 2 1 nn 2 1 2 1 4 1 nn 例 8 已知数列 an 满足 a1 a2 1 an 2 an 1 an Sn为数列 n n a 2 的前 n 项和 求证 Sn 2 证明 由递推公式可知 数列 an 前几项为 1 1 2 3 5 8 13 因为 n n n a S 22 8 2 5 2 3 2 2 2 1 2 1 65432 所以 15432 22 5 2 3 2 2 2 1 2 1 n n n a S 由 得 12 2 22 222 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n aa S 所以 1 2 24 1 2 1 2 1 n n nn a SS 用心 爱心 专心 又因为 Sn 20 所以 4 1 2 1 2 1 n SSn 所以 2 1 4 1 n S 所以 Sn0 由 可知对任意 n N 2 2 n n x x 0 且 2 2 lg2 2 2 lg 1 1 n n n n x x x x 所以 2 2 lg n n x x 是首项为 22 22 lg 公比为 2 的等比数列 所以 1 2 2 2 lg n n n x x 22 22 lg 所以 2 2 n n x x 1 2 22 22 n 解得2 n x 11 11 22 22 22 22 22 22 nn nn 注 本例解法是借助于不动点 具有普遍意义 三 基础训练题三 基础训练题 1 数列 xn 满足 x1 2 xn 1 Sn n 1 其中 Sn为 xn 前 n 项和 当 n 2 时 xn 2 数列 xn 满足 x1 2 1 xn 1 23 2 n n x x 则 xn 的通项 xn 3 数列 xn 满足 x1 1 xn 1 2 1 n x 2n 1 n 2 则 xn 的通项 xn 4 等差数列 an 满足 3a8 5a13 且 a1 0 Sn为前 n 项之和 则当 Sn最大时 n 5 等比数列 an 前 n 项之和记为 Sn 若 S10 10 S30 70 则 S40 6 数列 xn 满足 xn 1 xn xn 1 n 2 x1 a x2 b Sn x1 x2 xn 则 S100 7 数列 an 中 Sn a1 a2 an n2 4n 1 则 a1 a2 a10 8 若 12531 3 3 2 2 1 1 nx x x x x x x x n n 并且 x1 x2 xn 8 则 x1 9 等差数列 an bn 的前 n 项和分别为 Sn和 Tn 若 13 2 n n T S n n 则 n n n b a lim 10 若 n n n 1 2 1 则 1 1 2 2007 1 n nn n n 11 若 an 是无穷等比数列 an为正整数 且满足 a5 a6 48 log2a2 log2a3 log2a2 log2a5 log2a2 log2a6 log2a5 log2a6 36 求 n a 1 的通项 12 已知数列 an 是公差不为零的等差数列 数列 n b a 是公比为 q 的等比数列 且 b1 1 b2 5 b3 17 求 1 q 的值 2 数列 bn 的前 n 项和 Sn 用心 爱心 专心 四 高考水平训练题四 高考水平训练题 1 已知函数 f x 1 1 1 2 1 12 2 1 2 1 xx xx xx 若数列 an 满足 a1 3 7 an 1 f an n N 则 a2006 2 已知数列 an 满足 a1 1 an a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 则 an 的通项 an 2 1 1 n n 3 若 an n2 n 且 an 是递增数列 则实数 的取值范围是 4 设正项等比数列 an 的首项 a1 2 1 前 n 项和为 Sn 且 210S30 210 1 S20 S10 0 则 an 5 已知 3 1 1 3 3 lim 1 nn n n a 则 a 的取值范围是 6 数列 an 满足 an 1 3an n n N 存在 个 a1值 使 an 成等差数列 存在 个 a1值 使 an 成等比数列 7 已知 402 401 n n an n N 则在数列 an 的前 50 项中 最大项与最小项分别是 8 有 4 个数 其中前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 并且第一个数与第四个数 的和中 16 第二个数与第三个数的和是 12 则这四个数分别为 9 设 an 是由正数组成的数列 对于所有自然数 n an与 2 的等差中项等于 Sn与 2 的等比中项 则 an 10 在公比大于 1 的等比数列中 最多连续有 项是在 100 与 1000 之间的整数 11 已知数列 an 中 an 0 求证 数列 an 成等差数列的充要条件是 111433221 11111 nnn aaaaaaaaaa n 2 恒成立 12 已知数列 an 和 bn 中有 an an 1bn bn 2 1 1 1 n n a b n 2 当 a1 p b1 q p 0 q 0 且 p q 1 时 1 求证 an 0 bn 0 且 an bn 1 n N 2 求证 an 1 1 n n a a 3 求数列 lim n n b 13 是否存在常数 a b c 使题设等式 1 22 2 32 n n 1 2 12 1 nn an2 bn c 对于一切自然数 n 都成立 证明你的结论 五 联赛一试水平训练题五 联赛一试水平训练题 1 设等差数列的首项及公差均为非负整数 项数不少于 3 且各项和为 972 这样的数列共 有 个 2 设数列 xn 满足 x1 1 xn 72 24 1 1 n n x x 则通项 xn 用心 爱心 专心 3 设数列 an 满足 a1 3 an 0 且 5 1 2 3 nn aa 则通项 an 4 已知数列 a0 a1 a2 an 满足关系式 3 an 1 6 an 18 且 a0 3 则 n i i a 0 1 5 等比数列 a log23 a log43 a log83 的公比为 6 各项均为实数的等差数列的公差为 4 其首项的平方与其余各项之和不超过 100 这样的 数列至多有 项 7 数列 an 满足 a1 2 a2 6 且 1 1 2 n nn a aa 2 则 2 21 lim n aaa n n 8 数列 an 称为等差比数列 当且仅当此数列满足 a0 0 an 1 qan 构成公比为 q 的等比数列 q 称为此等差比数列的差比 那么 由 100 以内的自然数构成等差比数列而差比大于 1 时 项数最多有 项 9 设 h N 数列 an 定义为 a0 1 an 1 为奇数 为偶数 nn n n aha a a 2 问 对于怎样的 h 存在 大于 0 的整数 n 使得 an 1 10 设 ak k 1为一非负整数列 且对任意 k 1 满足 ak a2k a2k 1 1 求证 对任意正整 数 n 数列中存在 n 个连续项为 0 2 求出一个满足以上条件 且其存在无限个非零项的 数列 11 求证 存在唯一的正整数数列 a1 a2 使得 a1 1 a2 1 an 1 an 1 1 1 11 3 2 2 nn nn aa aa 六 联赛二试水平训练题六 联赛二试水平训练题 1 设 an为下述自然数 N 的个数 N 的各位数字之和为 n 且每位数字只能取 1 3 或 4 求证 a2n是完全平方数 这里 n 1 2 2 设 a1 a2 an表示整数 1 2 n 的任一排列 f n 是这些排列中满足如下性质的排列 数目 a1 1 ai ai 1 2 i 1 2 n 1 试问 f 2007 能否被 3 整除 3 设数列 an 和 bn 满足 a0 1 b0 0 且 2 1 0 478 367 1 1 nbab baa nnn