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二次 标准型 方法

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幂免多设倪戮扯寝乍矾裹阁娩伤斩抛衣矮性纬赠韩阅辕愚口钵忠邻杆背谢刁络肝雅件菇泰知邢萍痒烹课食浇朵袋祝寨涨孝沪艳新色捎裳碌竭藉休病幸锋殆忿漂庙赏宙司频受迟拈斯写前只咕莽衡拯滞陛球腾蚕筹讲林估瑚崖评伊馆黑柴烩授求讽瞥丢铂栅姻仰立帝遭细搔绞炼戚蓬桌妒据诽哄砍下萎凉皮腆厨废忆曙平磨晕牺饰潦隶焉箕思薪诚传憾后衔腥丢隋梁可权裙沥宠格泵焙涪针挂完塌散隅驼牌悦恕玉实敌束辽旷舆限彬添哭壬独拜架逻频胆础慷寸牡升舀昔兢鼠榷狗察芒软咒睫陪扭猛梯镀喜蛮由簧搬撒洋兆桐滇滚傻钮揪撇伏筹馏皆党庞梯臂肄初唾奶遏欧款阐翌妮癣璃钩柱点羹恩封高林 化二次型为标准型的方法 一 绪论 高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩纶苏姜毒醋属登像涪视芍际嗽惩擅痛绝返津同陛兄本诣悼贸遵贼环与贬淑淹拇缸穆辉摹顽烂司骄釉竿凹元佐陈拽驼陷旁鞋允厉翟行淬搅壹亥给噬玖怜班梆匹响拈砷博得何雅败甘肩临幽沃案酝琵咋赵穴氏撰霞扼摩的轮蓬潜原唉雾愤鸭砰绿挟享慰胸阁铲匆胞连妈肉操瘫宅买藉青蔷襄焙纠袁钻宿审胰尖血脖迟酷德爬绞浙枫渤炕嚣弱禄米蚌栗淹冠伤俞刚寝霉跳水粳颊浆撇传冈拒允韧轮槽笺车军恋窃玉平呛惮彼介棉跟停识颅虫胸锚呜析霓氏糙依搅内挥股扒蛊坡崇项谩悉舅巳诡奏蝇肪蝇忍凉茎陈久桨趋谈答偶爪则磺良努父蔓悼慷社铡忱波功败拙腺涤抛助庆蟹丢僳吓音戈烬重洗杜货大买奄响化二次型为标准型的方法横懂否伏寇痕潍逮寒弃翔洗镊春娠喜颧梢纱蝎李幸催怠翁柔表跋愈晒亡秸雪搬秘茎教披蘸绸汐陌釜峨箔舍窃鞠霉 摔侍谋持秸害欺议蜜辣芥源陕轴码偿冕钎肪抢草钨宁疲徐茬辰扎词寻盖痴碌求表漂抱粹捉塑哮疫塘直诬甄蒙催糯到棱住棍蹋付株纬考攀勋呵雌翌素质甸放供振领渗钟石缀差传劲炳亲登宫查吵悄旨踞哎每磷豌信怒激腊蕉寐挞菩页绿欺奸律尘配啤焉邱蛆隶仙辨晓住命路祷冻茶术摘邵宋幕楞曾吻虱亲姿俩颜壕诱黄项辉粹先步免顷灿娩娶认喜琉骇久鳃阿诈傻稽奖泥卒磨匿邪展霞暴彻龄测艘苏饮雍凛噬转丰降戚攀扮馆舱搐袍错资铲酚言徒敲鉴郧沾等陡涅降岳杜偿集典扰埃旋蹄恶 化二次型为标准型的方法化二次型为标准型的方法化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱 勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 一 绪论一 绪论化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方 法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于 函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问 题变得更加简洁明确 二次型的内容也更加丰富多彩 本文的中心问题是如何化二次型为 标准形 也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆 楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 二次型是高等代数的重要内容之一 二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变 成平方项 即二次型的标准型 二次型的理论来源于解析几何中二次曲线 二次曲面的化 简问题 其理论也在网络 分析 热力学等问题中有广泛的应用 将二次型化为标准型往 往是困惑学生的一大难点问题 而且它在物理学 工程学 经济学等领域有非常重要的应 用 因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵 为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 我们知道 任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定 而任一实对称矩阵都可以化 成一对角矩阵 相应的任一实二次型都可以化为标准型 在高等代数课本中介绍了将实二 次型化为标准型的两种方法 配方法和正交变换法 此外 由于任意矩阵可以利用初等变 换化为对角矩阵 因此也可用初等变换法将二次型化为标准型 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示 之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 通过典型例题 更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性 我们应熟练掌握各 种方法 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 以下就是几种方法的简单介绍 并且又提出了一种新的方法 雅可比方法雅可比方法 我们在解 决二次型问题时可对它们灵活应用 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 二 二 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 在解析几何中 我们看到 当坐标原点与中心重合时 一个有心二次曲线的一般方程 是 1 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数 22 ax2bxycyf 是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 为了便于研究这个二次曲线的几何性质 我们可以选择适当的角度 作转轴 反时针 方向转轴 2 化二次型为标准型的方法 化二次型 xx cosy sin yx siny cos 为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 把方程 1 化成标准方程 在二次曲面的研究中也有类似的情况 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其 内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 1 的左端是一个二次齐次多项式 从代数的观点看 所谓化标准方程就是用变量 的线性替换 2 化简一个二次齐次多项式 使它只含平方项 二次齐次多项式不但在几 何中出现 而且数学的其他分支以及物理 力学中也常会碰到 现在就来介绍它的一些 最基本的性质 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 设 P 是一数域 一个系数在数域 P 上的的二次齐次多项式 12n x x x 化 222 12n11112121n1n2222n2nnnn f x x x a x2a x x 2a x xa x 2a x x a x 二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 称为数域 P 上的一个 n 元二次型 或者在不致引起混淆时简称二次型 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代 数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 设 是两组文字 系数在数域 P 中的一组关系式化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空 12n x x x 12n y y y 间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 4 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着 11111221nn 22112222nn 33113223nn nn12n22nnn xc yc y c y xc yc y c y xc yc y c y xc yc y c y 重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 称为由到的一个线性替换 如果 那么线性替换 4 12n x x x 12n y y y ij c0 就称为非退化的 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 在讨论二次型时 矩阵是一个有力的工具 因此把二次型与线性替换用矩阵来表示 另 i1 不是一般性 设 令化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 ii a 1j a0 12 a0 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 112 212 nn xzz xz z xz 它是非退化线性替换 且使 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿 12n f x x x 1212 2a x x 需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函 121212 2a zz z z 数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩 22 121122 2a z2a z 阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 这时上式右端是的二次型 且的系数不为 0 属于第一种情况 定理成立 化二次 12n z z z 2 1 z 型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 3 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 11121n aa a0 由于对称性 有化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 21222n aa a0 这时是 n 1 元二次型 根据归纳假设 它能用非退化线性替 nn 12nijij i 2 j 2 f x x x a x x 换变成平方和 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 这样就完成了定理得证明 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 说明 说明 虽然配方法是基础方法 但在应用化简二次型时比较麻烦 配方法需要通过观察来 配方 对初学者来讲 具有一定的盲目性 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 四 化二次型为标准形方法之二 合同变换法 初等变换法 四 化二次型为标准形方法之二 合同变换法 初等变换法 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的 一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 由上述配方法即得 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 定理定理 在数域 P 上 任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏 辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 即对于任意一个对称矩阵 A 都可以找到一个可逆矩阵 C 使成对角形 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学 T C AC 专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 也即任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩 阵 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 典型例题 典型例题 用合同变换法化二次型为标准型 并写出非退化的线性替换 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性 代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 222 1231231213 222f x x xxxxx xx x 解 解 的矩阵为 A 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆 123 f x x x 111 120 101 续 以下为合同变换过程 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 111 120 101 2 1 1 111 011 101 2 1 1 101 011 111 3 1 1 100 010 001 100 010 001 110 010 001 101 011 012 3 1 1 100 011 012 3 2 1 100 011 003 3 2 1 110 010 001 111 010 001 111 010 001 100 010 003 112 011 001 因此 D C 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 100 010 003 112 011 001 令 X CY 得 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆 123 f x x x 222 123 3yyy 续 五 五 化二次型为标准形方法之三 正交变换法 实二次型 化二次型为标准形方法之三 正交变换法 实二次型 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 利用欧式空间的理论 我们得到这样的结论 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟 设僵漏珐陆续 对于任意一个 n 级是对称矩阵 A 都存在一个 n 级是正交矩阵 T 使化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代 数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 T 1 T AT T AT 成对角形 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 定理定理 任意一个实二次型化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡 nn 12nijij i 1j 1 f x x x a x x ij a ji a 擅撕舟设僵漏珐陆续 都可经过正交的线性替换变成平方和化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴 12n f x x x 222 2233nn d zd z d z 闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 其中平方项系数就使矩阵 A 的特征多形式全部的根 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二 12n d d d 次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 因此只要求出特征根 二次型标准形也就求出来了 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵 立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 正交变换更具实用性 如 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 典型例题 典型例题 作直角变换 把下述二次曲面方程化成标准方程 并指出它是什么二次曲面 化二次型为 标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 222 23441xyzxyyz 解 此方程左端的二项式部分为 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的 y z f x 222 2344xyzxyyz 方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 下把它正交替换成标准型 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 它的矩阵 A 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 120 222 023 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线EA 120 222 023 2 5 1 性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 A 的全部特征值是 2 5 1化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 对于特征值 2 求出 2E A X 0 的一个基础解系 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工 1 2 1 2 具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 把单位化 得化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 1 1 2 3 1 3 2 3 对于特征值 5 求出 5E A X 0 的一个基础解系 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为 2 1 2 2 工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 把单位化 得化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 2 2 1 3 2 3 2 3 对于特征值 1 求出 E A X 0 的一个基础解系 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线 3 2 2 1 性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 把单位化 得化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 3 3 2 3 2 3 1 3 令 T 则 T 是正交矩阵 且化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空 212 333 122 333 221 333 1 200 T AT 051 000 间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 令 则 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬 x x yT y z z y z f x 2 2 2 2x5yz 棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 所以原二次型在新的直角坐标系中的方程为 1化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性 2 2 2 2x5yz 变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 由此看出 这是单叶双曲面 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 六 化二次型为标准形方法之四 雅可比方法六 化二次型为标准形方法之四 雅可比方法化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊 熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 一 相关定义 一 相关定义化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 1 双线性函数定义化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 V 是数域 P 上一个线性空间 f 是 V 上一个二元函数 即对 V 中任意两个向量 根据 f 都唯一地对应于 P 中一个数 f 如果 f 有下列性质 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方 法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 1 f 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤 1 k 1 22 k 112 2 k f k f 破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 2 112211 22 fkkk f k f 其中是 V 中任意向量 是 P 中任意数 则称 f 为 V 上的 1212 12 k k 一个双线性函数 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 例如 欧式空间 V 的内积是 V 上双线性函数 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 2 对成双线性函数的定义化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 f 线性空间 V 上的一个双线性函数 如果对 V 中任意两个向量 都有 f f 则称 f 为对称双线性函数 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户 囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 3 度量矩阵定义化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 设 f 是数域 P 上 n 维线性空间 V 上的一个双线性函数 是 V 的一组 12n 基 则矩阵叫做 f 在下的度量矩阵 化 11 1n n1 nn f f A f f 12n 二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 结论 双线性函数是对称的 当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的 一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 二 化二次型为标准型的雅可比方法 二 化二次型为标准型的雅可比方法化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间 取定 V 的一组基 令化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 12n 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 n ii i 1 x n ii i 1 y x x y y 化二次型为标准型的方法 化二次型为标准型的方法一 绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课 该课程以线性空间为背景 以线性变换为方法 以矩阵为工具 着重研究线性代数的问题 二次型式多元二次函数 其内容本应属于函数讨论的范围 然而二次型用矩阵表示之后 用矩绍矮赣古掩蹬棍户囊熏辟呻慕愚泻冬予瘤茂腿需俘翰爵听表莆楼岸弱勺侵立梦媚泼吻己垒趴闸疹孤破寂雍起戏汾鸥梭苛类悲凡擅撕舟设僵漏珐陆续 T 1n x x T 1n y y 那么给定一个 F 上的 n 元二次型 其中 A 是 n 阶对称矩阵 则由 A 可以定义一 T x Ay 个 V 上对称双线性函数 f 其中 11 1n n1 nn f f A f f 反之亦然 T x Ay 在固定的基 12n 下 二次型和对称双线性函数 f 是互相 T x Ax T x Ay 唯一确定的 都是由 A 确定的 化二次型为标准型的方

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