【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第四章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在目标导学 北师大版必修1

1 1 1 函数与方程函数与方程 1 11 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 问题导学问题导学 一 求函数的零点 活动与探究 1 判断下列函数是否存在零点 如果存在 请求出 1 f x 1 log3x 2 f x 4x 16 3 f x x2 4x 12 x 2 迁移与应用 1 求下列函数的零点 1 f x x2 2x 3 2 f x 2x 2 2 若函数f x a的零点是 2 则a的值为 1 x 1 求函数f x 的零点 基本方法是解方程f x 0 方程的根就是零点 2 解分式方程 对数方程等要验根 保证方程有意义 避免增解 二 函数零点个数的判断 活动与探究 2 判断函数f x x2 的零点的个数 1 x 迁移与应用 1 函数f x x 的零点的个数是 4 x A 0 B 1 C 2 D 3 2 求函数f x lnx 2x 6 的零点个数 判断函数零点的个数常有以下方法 1 解方程f x 0 方程根的个数就是函数f x 的零点的个数 2 画出函数f x 的图像 该图像与x轴交点的个数就是函数f x 零点的个数 3 将方程f x 0 变形为g x h x 在同一坐标系中画出函数g x 和h x 的图像 两个图像交点的个数就是原函数f x 零点的个数 三 判断方程 函数 在指定区间上是否存在实数解 零点 活动与探究 3 1 函数f x ex x 2 的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 2 已知函数f x 2x 3x2 问方程f x 0 在区间 1 0 内有没有实数解 为什么 迁移与应用 1 方程 log3x x 3 的解所在的区间为 A 0 2 B 1 2 C 2 3 D 3 4 2 试判断方程x3 2x在区间 1 2 内是否有实数解 判断一个方程f x 0 函数f x 在区间 a b 上是否存在实数解 零点 首先看函 数f x 在区间 a b 上的图像是否连续 其次再检验是否满足f a f b 0 若满足 那 么函数y f x 在区间 a b 内必有零点 且相应的方程f x 0 必有实数解 四 函数零点的综合应用 活动与探究 4 2 当a取何值时 方程ax2 2x 1 0 的一个根在 0 1 上 另一个根在 1 2 上 迁移与应用 若函数f x x2 2x a的两个零点中一个大于 1 另一个小于 1 那么实数a的取值 范围是 解决这类问题应注意以下几点 1 首先画出符合题意的草图 转化为函数问题 2 结合草图考虑四个方面 与 0 的大小 对称轴与所给端点值的关系 端 点的函数值与零的关系 开口方向 3 写出由题意得到的不等式 4 由得到的不等式去验证图像是否符合题意 当堂检测当堂检测 1 函数f x 的零点是 x 1 x2 1 A 1 B 1 C 1 D 0 2 函数f x lnx 1 的零点所在的大致区间为 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 4 5 3 函数f x ax2 bx c 若f 1 0 f 2 0 则f x 在 1 2 上零点的个数是 A 至多有一个 B 有一个或两个 C 有且仅有一个 D 一个也没有 4 函数f x x2 的零点的个数是 1 2 log x 5 若方程ax2 x 1 0 在 0 1 内有解 求a的取值范围 提示 用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精 华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记 答案 答案 课前预习导学课前预习导学 预习导引 1 1 交点的横坐标 2 f x 0 预习交流预习交流 1 提示 不正确 函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标 即函数零 点的实质是一个实数 而不是几何上的点 预习交流预习交流 2 提示 并不是所有的函数都有零点 例如 y 和y x2 3 等都没有零 1 x 点 对于二次函数f x ax2 bx c a 0 计算 b2 4ac 则当 0 时 f x 有 2 个零点 当 0 时 f x 有 1 个零点 当 0 时 f x 无零点 2 至少有一个零点 至少有一个实数解 预习交流预习交流 3 1 提示 函数在 a b 内有零点 可能只有 1 个 也可能有多个 图 和 分别是函数f x 和g x 的图像 由图知 f x 与g x 的图像在 a b 上连续不断 且满足f a f b 0 图 中函数f x 在 a b 内有 2 个零点 图 中函数g x 在 a b 内有 3 个零点 由此可见 满足题设条件的函数的零点不一定只有 1 个 3 2 提示 不一定 例如 函数f x x2 1 在区间 2 2 内有 2 个零点 但却有 f 2 f 2 0 3 提示 不对 例如 函数f x 在闭区间 2 2 上的图像不连续 虽有 1 x f 2 f 2 0 但f x 在 2 2 内没有零点 课堂合作探究课堂合作探究 问题导学 活动与探究活动与探究 1 解 解 1 令 1 log3x 0 则 log3x 1 解得x 1 3 所以函数的零点为x 1 3 2 令 4x 16 0 则 4x 42 解得x 2 所以函数的零点为x 2 3 因为f x 令 0 x2 4x 12 x 2 x 6 x 2 x 2 x 6 x 2 x 2 解得x 6 所以函数的零点为x 6 迁移与应用迁移与应用 1 解 解 1 令 x2 2x 3 0 解得x 1 或x 3 即函数的零点是x1 1 x2 3 2 令 2x 2 0 解得x 1 即函数的零点是x 1 2 解析 解析 依题意知f 2 0 即 a 0 所以a 1 2 1 2 1 2 活动与探究活动与探究 2 解 解 方法一 令f x x2 0 得x2 即x3 1 解得x 1 故 1 x 1 x 函数f x x2 只有一个零点 1 x 方法二 令f x x2 0 得x2 设g x x2 h x 在同一坐标系中分别 1 x 1 x 1 x 画出函数g x 和h x 的图像 由图像可知 两个图像只有一个交点 故函数只有一个零点 迁移与应用迁移与应用 1 C 解析 解析 令f x 0 即x 0 4 x 4 解得x 2 所以f x 有 2 个零点 2 解法一 在同一平面直角坐标系中作出y ln x与y 6 2x的图像 由图知 两 个函数图像只有一个交点 故函数f x 的零点个数为 1 解法二 f 2 ln2 2 2 6 ln2 2 0 f 3 ln3 2 3 6 ln3 0 f 2 f 3 0 f x 在 2 3 上有零点 又 f x 在 0 上是增加的 函数f x 有且只有一个零点 活动与探究活动与探究 3 思路分析 思路分析 1 只需分析函数在哪个区间的两个端点的函数值异号即可 2 要判断方程f x 0 在区间 1 0 上有没有实数解 只需看f 1 f 0 是否异号即 可 1 C 解析 解析 由于f 2 e 2 2 2 0 f 1 e 1 1 2 0 f 0 e0 0 2 1 0 f 1 e 1 2 e 1 0 所以f 0 f 1 0 因此零点所在的 一个区间是 0 1 选 C 2 解 解 f 1 3 0 f 0 1 0 又 函数f x 2x 3x2的图像是连续曲 1 2 线 f x 在区间 1 0 内有零点 即f x 0 在区间 1 0 内有实数解 迁移与应用迁移与应用 1 C 解析 解析 构造函数 转化为求函数的零点所在的区间 令f x log3x x 3 则f 2 log32 2 3 log3 0 f 3 2 3 log33 3 3 1 0 又因为函数f x 在 0 上是连续且单调的函数 所以方程 log3x x 3 的解所在的区间为 2 3 2 解 解 设函数f x x3 2x f 1 1 2 1 0 f 2 8 4 4 0 f 1 f 2 0 又 函数f x x3 2x的图像是连续曲线 函数f x x3 2x在区间 1 2 内至少有一个零点 即方程x3 2x在区间 1 2 内至 少有一个实数解 活动与探究活动与探究 4 思路分析 思路分析 令函数f x ax2 2x 1 本题的实质是该函数的一个零 点在 0 1 上 另一个在 1 2 上 结合函数的图像列出不等式组 注意对 a 0 a 0 a 0 作出讨论 解 解 当a 0 时 方程即为 2x 1 0 只有一根 不符合题意 当a 0 时 设f x ax2 2x 1 因为方程的根分别在区间 0 1 1 2 上 所以Error 即Error 解得 a 1 3 4 当a 0 时 设方程的两根为x1 x2 则x1 x2 0 1 a x1 x2一正一负 不符合题意 综上 a的取值范围为 a 1 3 4 迁移与应用迁移与应用 a 3 解析 解析 依题意 由图像可知f 1 0 即 12 2 1 a 0 解得 a 3 当堂检测 1 B 解析 解析 令f x 0 得 0 即x 1 0 所以x 1 x 1 x2 1 2 B 解析 解析 因为在给出的区间中 只有f 2 f 3 0 而在其余区间两个端点处 的函