立体几何中的“外接”与“内切”（生）

1 空间几何体的三视图与直观图问题 1 一个空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A 48 B 32 8 C 48 8 D 80 1717 2 某四面体的三视图如图所示 该四面体四个面的面积中最大的是 A 8 B 6 C 10 D 8 22 3 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥的表面积是 A 32 B 16 16 C 48 D 16 32 22 4 下图是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 A 12 B 18 C 9 42 D 36 18 9 2 9 2 5 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如图所示 则相应的侧视图可以为 6 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等 体积为 2 它的三视图中的俯视图如图所示 3 左视图是一个矩形 则这个矩形的面积是 A 4 B 2 C 2 D 33 7 如图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三棱柱 其正 主 视图 俯视图如图 1 2 存在四棱柱 其正 主 视图 俯视图如图 1 2 存在圆柱 其正 主 视 图 俯视图如图 1 2 其中真命题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 8 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 2 A 8 B 8 C 8 2 D 2 3 3 2 3 9 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 m3 10 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可以是 立体几何中的立体几何中的 内切内切 与与 外接外接 问题问题 1 球与柱体球与柱体 1 11 1 球与正方体球与正方体 发现 解决正方体与球的组合问题 常用工具是截面图 即根据组合的形式找到两个几何 体的轴截面 通过两个截面图的位置关系 确定好正方体的棱与球的半径的关系 进而将 空间问题转化为平面问题 例例 1 1 棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D 的 8 个顶点都在球O的表面上 EF 分别 是棱 1 AA 1 DD的中点 则直线EF被球O截得的线段长为 3 A 2 2 B 1 C 2 1 2 D 2 1 21 2 球与长方体球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上 故长方体存在外切球 但是不一定存在内切球 设长方 体的棱长为 a b c其体对角线为 当球为长方体的外接球时 截面图为长方体的对角面和 其外接圆 和正方体的外接球的道理是一样的 故球的半径 222 22 labc R 例例 2 2 在长 宽 高分别为 2 2 4 的长方体内有一个半径为 1 的球 任意摆动此长方体 则球经过的空间部分的体积为 A B 4 C D 10 3 8 3 7 3 1 31 3 球与正棱柱球与正棱柱 例例 3 3 正四棱柱 1111 ABCDABC D 的各顶点都在半径为R的球面上 则正四棱柱的侧面积 有最 值 为 2 2 球与锥体球与锥体 2 12 1 球与正四面体球与正四面体 4 2 2 22 2 33 a RraRrCE 解得 66 412 Ra ra 这个解法是通过利用两心 合一的思路 建立含有两个球的半径的等量关系进行求解 同时我们可以发现 球心O为 正四面体高的四等分点 如果我们牢记这些数量关系 可为解题带来极大的方便 例例 4 4 将半径都为 的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里 这个正四面体的高的最 小值为 A 32 6 3 B 2 2 6 3 C 4 2 6 3 D 4 32 6 3 2 22 2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题 主要是体现在球为三棱锥的外接球 解决的 基本方法是补形 5 例例 5 5 在正三棱锥SABC 中 MN 分别是棱SCBC 的中点 且AMMN 若侧 棱2 3SA 则正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 2 32 3 球与正棱锥球与正棱锥 球与正棱锥的组合 常见的有两类 一是球为三棱锥的外接球 此时三棱锥的各个顶 点在球面上 根据截面图的特点 可以构造直角三角形进行求解 二是球为正棱锥的内切球 例如正三棱锥的内切球 球与正三棱锥四个面相切 球心到四个面的距离相等 都为球半 径R 这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离 故可采用等体积法解决 即四 个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积 例例 6 在三棱锥 P ABC 中 PA PB PC 3 侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60 则 该三棱锥外接球的体积为 A B 3 C 4 D 4 3 接球的球心 则 2 SC