【创新设计】（江苏专用）2014届高考数学一轮复习 第十四章 第3讲 合情推理与演绎推理配套训练 理 新人教A版

1 第第 3 3 讲讲 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 分层训练 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 2013 金陵中学模拟 观察下列各式 9 1 8 16 4 12 25 9 16 36 16 20 这些等式反映了自然数间的某种规律 设n表示自然数 用关于n的等式表示为 解析 9 1 1 2 2 12 4 1 1 16 4 2 2 2 22 4 2 1 25 9 3 2 2 32 4 4 1 36 16 4 2 2 42 4 5 1 一般地 有 n 2 2 n2 4 n 1 n N N 答案 n 2 2 n2 4 n 1 n N N 2 2011 南京模拟 在共有 2 013 项的等差数列 an 中 有等式 a1 a3 a2 013 a2 a4 a2 012 a1 007成立 类比上述性质 在共有 2 011 项的等比数列 bn 中 相应的有等式 成立 解析 将等式中加 减换成乘除可得 b1 006 b1 b3 b5 b2 011 b2 b4 b6 b2 010 答案 b1 006 b1 b3 b5 b2 011 b2 b4 b6 b2 010 3 2012 苏锡镇调研 一 若等差数列 an 的首项为a1 公差为d 前n项的和为Sn 则 数列为等差数列 且通项为 a1 n 1 类似地 若各项均为正数的等比数 Sn n Sn n d 2 列 bn 的首项为b1 公比为q 前n项的积为Tn 则数列 为等比数列 通项为 n Tn 解析 由等差数列与等比数列的运算类比 可得 b1 n 1 n Tnq 答案 b1 n 1 n Tnq 4 2011 常州七校联考 如果函数f x 在区间D上是 凸函数 则对于区间D内任意的 x1 x2 xn 有 f成立 已知 f x1 f x2 f xn n x1 x2 xn n 函数y sin x在区间 0 上是 凸函数 则在 ABC中 sin A sin B sin C的 最大值是 解析 由凸函数定义 知 sin A sin B sin C 2 3sin A B C 3 3 2 3 答案 3 2 3 5 2011 南京外国语调研 将正奇数排列如图形式 其中第i行第j个数表示 aij i N N j N N 例如a32 9 若aij 2 009 则i j 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 解析 根据正奇数排列的正三角图表知 2 009 是第 1 005 个奇数 应排在i行 其中 i N N 则 1 2 3 i 1 1 005 且 1 2 3 i i i 1 2 1 005 i i 1 2 验证i 45 时 式成立 所以i 45 第 45 行第 1 个奇数是 2 44 452 1 1 981 而 1 981 2 j 1 2 009 j 15 所以 2 009 在第 45 行第 15 个数 则 i j 60 答案 60 6 2012 镇江调研一 圆x2 y2 r2在点 x0 y0 处的切线方程为x0 x y0y r2 类似地 可以求得椭圆 1 在 2 1 处的切线方程为 x2 8 y2 2 解析 由类比结构可知 相应的切线方程为 1 x0 x 8 y0y 2 代入点坐标 所求切线方程为 1 x 4 y 2 答案 1 x 4 y 2 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质 例如在三角形中 1 三角形 两边之和大于第三边 2 三角形的面积S 底 高 3 三角形的中位线平行于第 1 2 三边且等于第三边的 1 2 请类比上述性质 写出空间中四面体的相关结论 解 由三角形的性质 可类比得空间四面体的相关性质为 1 四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 3 2 四面体的体积V 底面积 高 1 3 3 四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 1 4 8 定义 等和数列 在一个数列中 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数 那 么这个数列叫做等和数列 这个常数叫做该数列的公和 已知数列 an 是等和数列 且 a1 2 公和为 5 1 求a18的值 2 求该数列的前n项和Sn 解 1 由等和数列的定义 数列 an 是等和数列 且a1 2 公和为 5 易知a2n 1 2 a2n 3 n 1 2 故a18 3 2 当n为偶数时 Sn a1 a2 an a1 a3 an 1 a2 a4 an 当n为奇数时 Sn Sn 1 an n 1 2 n 5 2 5 2 1 2 综上所述 Sn Error 分层训练 B 级 创新能力提升 1 已知m 0 不等式x 2 x 3 x 4 可推广为x n 1 则m的值 1 x 4 x2 27 x3 m xn 为 解析 x x 易得其展开后各项之积为定值 1 所 4 x2 x 2 x 2 4 x2 27 x3 x 3 x 3 x 3 27 x3 以可猜想出x 也满足各项乘积为定值 1 于是m nn m xn x n x n x n m xn 答案 nn 2 2010 福建 观察下列等式 cos 2 2cos2 1 cos 4 8cos4 8cos2 1 cos 6 32cos6 48cos4 18cos2 1 cos 8 128cos8 256cos6 160cos4 32cos2 1 cos 10 mcos10 1 280cos8 1 120cos6 ncos4 pcos2 1 可以推测m n p 4 解析 m 29 512 p 5 10 50 又m 1 280 1 120 n p 1 1 n 400 答案 962 3 2011 苏北调研 如图是一个数表 第一行依次写着从小到大的正整数 然后把每行相 邻的两个数的和写在这两个数的下方 得到下一行 数表从上到下与从左到右均为无限 项 则这个数表中的第 13 行 第 10 个数为 1 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 8 12 16 20 24 解析 观察数表可知 每行数分别构成公差为 20 21 22 23 的等差数列 所以第 13 行的公差为 212 又每行第一个数分别为 1 3 2 1 20 8 22 2 2 20 23 3 22 48 24 4 23 256 25 5 24 故第 13 行第一个数为 212 12 211 7 212 第 10 个数为 7 212 9 212 16 212 216 答案 216 或 65 536 4 2011 苏锡常镇扬五市调研 已知结论 在三边长都相等的 ABC中 若D是BC的 中点 点G是 ABC外接圆的圆心 则 2 若把该结论推广到空间 则有结论 AG GD 在六条棱长都相等的四面体ABCD中 若点M是 BCD的三边中线交点 O为四面体 ABCD外接球的球心 则 AO OM 解析 如图 设四面体ABCD的棱长为a 则由M是 BCD的 重心 得BM a AM a 设OA R 则 3 3 6 3 OB R OM a R 于是由R2 2 2 解得 6 3 3 3 a 6 3 a R R a 6 4 所以 3 AO OM 6 4 a 6 3 a 6 4 a 答案 3 5 在等差数列 an 中 Sn是其前n项的和 则 成等差数列 在等比数列 bn Sn n S2n 2n S3n 3n 中写出类似的结论 并给出证明 5 解 设各项为正数的等比数列中 Tn是其前n项的积 则 Tn T2n T3n 成等 1 n 1 2n 1 3n 比数列 此结论是正确的 证明如下 因为 bn 成等比数列 所以有性质 若m n p q 则bm bn bp bq 从而有T3n b1b2 bn 1bn 2 b2nb2n 1 b3n b1b2 bn b2n 1b2n 2 b3n bn 1bn 2 b2n b1b2n 1 b2b2n 2 bnb3n bn 1bn 2 b2n b b b bn 1 bn 2 b2n bn 1bn 2 b2n 3 2n 12n 22 2n 又bn 0 所以 T3n bn 1bn 2 b2n 1 3n 1 n 因此有 Tn T3n b1b2 bn bn 1bn 2 b2n 1 n 1 3n 1 n 1 n T2n T2n 2 1 n 1 2n 所以 Tn T2n T3n 成等比数列 1 n 1 2n 1 3n 6 2011 湖南卷改编 对于n N N 将n表示为 n a0 2k a1 2k 1 a2 2k 2 ak 1 21 ak 20 当i 0 时 ai 1 当 1 i k时 ai为 0 或 1 记I n 为上述表示中ai为 0 的个数 例如 1 1 20 4 1 22 0 21 0 20 故I 1 0 I 4 2 求 1 I 12 的值 2 I n 的值 127 n 1 2 解 1 12 1 23 1 22 0 21 0 20 I 12 2 2 I 1 0 I 2 1 I 3 0 I 4 2 I 5 1 I 6 1 I 7 0 I 8 3 I 9 2 I 10 2 I 11 1 I 12 2 I 13 1 I 14 1 I 15 0 又 2I 1 20 1 30 2I 2 2I 3 21 20 3 2I 4 2I 5 2I 6 2I 7 22 2 21 20 2 1 2 33