高中数学知识点基本概念教案 新人教版

高一数学必修高一数学必修 1 1 知识网络知识网络 集合 一般地 把一些能够确定的不同的对象看成一个整体 就说这个整体是由这 些对象的全体构成的集合 或集 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素 或成员 一般地 我们把不含任何元素的集合叫做空集 记作 一般地 如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素 那么集合 A 叫做 集合 B 的子集 记作ABBA 或 读作 A 包含于 B 或 B 包含于 A 如果集合 A 是集合 B 的子集 并且 B 中至少有一个元素不属于 A 那么集合 A 叫做集合 B 的真子集 记作ABBA 或 读作 A 真包含于 B 或 B 真包 含 A 一般地 如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素 反过来 集合 B 的每 一个元素也都是集合 A 的元素 那么我们就说集合 A 等于集合 B 记作 A B 一般地 对于两个给定的集合 A B 由属于 A 又属于 B 的所有元素构成的 集合 叫做 A B 的交集 记作BA 读作 A 交 B 一般地 对于两个给定的集合 A B 由两个集合的所有元素构成的集合 叫做 A 与 B 的并集 记作BA 读作 A 并 B 如果给定集合 A 是全集 U 的一个子集 由 U 中不属于 A 的所有元素构成的集 合 叫做 A 在 U 中补集 记作CuA 读作 A 在 U 中的补集 1 2 3 4 12n xAxBABAB AnA 元素与集合的关系 属于 和不属于 集合中元素的特性 确定性 互异性 无序性 集合与元素 集合的分类 按集合中元素的个数多少分为 有限集 无限集 空集 集合的表示方法 列举法 描述法 自然语言描述 特征性质描述 图示法 区间法 子集 若 则 即是的子集 若集合中有个元素 则集合的子集有个 注 关系 集合 集合与集合 00 2 1 2 3 4 n AA A B CABBCAC ABABxBxAAB ABABAB ABx xAxB AAAAABBAAB 真子集有个 任何一个集合是它本身的子集 即 对于集合如果 且那么 空集是任何集合的 真 子集 真子集 若且 即至少存在但 则是的真子集 集合相等 且 定义 且 交集 性质 运算 U UUUUUUU A ABBABABA ABx xAxB AAAAAABBAABAABBABABB Card ABCard ACard BCard AB C Ax xUxAA C AAC AAUCC AACABC AC B 定义 或 并集 性质 定义 且 补集性质 UUU CABC AC B 1 对于集合 一定要抓住集合的代表元素 及元素的 确定性 互异性 无序性 如 集合 lg lg lgAx yxBy yxCx yyxABC 中元素各表示什么 2 进行集合的交 并 补运算时 不要忘记集合本身和空集 的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题 空集是一切集合的子集 是一切非空集合的真子集 如 集合 2 230 1Ax xxBx ax 若BA 则实数a的值构成的集合为 答 1 10 3 w w w k s 5 u c o m 3 注意下列性质 1 集合 12n aaa 的所有子集的个数是2n 2 若ABABAABB 4 你会用补集思想解决问题吗 排除法 间接法 如 已知关于x的不等式 2 5 0 ax xa 的解集为M 若3M 且5M 求实数a的取值范围 2 2 35 30 5 3 19 25 553 50 5 a M a a a M a 函数 函数是一种关系 在一个变化过程中 有两个变量 x 和 y 如果给定了一个 x 值 相应地就确定唯一的一个 y 值 那么我们称 y 是 x 的函数 其中 x 是自变量 y 是因变量 定义定义 设 A B 是两个非空集合 如果按照某种对应法则 f 对 A 中的任意一 个元素 x 在 B 中有且仅有一个 唯一确定 元素 y 与 x 对应 则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射 这时 称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象 记作 f x 于是 y f x x 称作 y 的原象 映射 f 也可记为 f A B x f x 其中 A 叫做 映射 f 的定义域 函数定义域的推广 由所有象 f x 构成的集合叫做映射 f 的值域 通常叫作 f A 注意 1 y f x 是函数符号 可以用任意的字母表示 如 y g x 2 函数符号 y f x 中的 f x 表示 x 对应的函数值 一个数 而不是 f 乘 x 3 集合 A 和 B 是有先后顺序的 A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的 其中 f 表示具体的对应法则 可以用多种形式表示 4 有且仅有一个 唯一确定 意思是 一是必有一个 二是只有一个 也就是说有且只有一个的意思 构成函数的三要素是 定义域 对应关系和值域 构成函数三个要素是定义域 对应关系和值域 由于值域是由定义域和对 应关系决定的 所以 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致 即称 这两个函数相等 或为同一函数 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致 而与表示自变 量和函数值的字母无关 区间的概念 区间的分类 开区间 闭区间 半开半闭区间 无穷区间 区间的数轴表示 如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射 并且对于集合 B 中的任意一个元素 在集合 A 中有且只有一个原象 这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应 关系 并把这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的一一映射 在函数的定义域内 对于自变量 x 的不同取值区间 有着不同的对应法则 这样的函数通常叫作分段函数 函数的单调性 定义 对于函数 f x 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 x2 1 若当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 则说 f x 在这个区间上是增函数 2 若当 x1f x2 则说 f x 在这个区间上是减函数 若函数 y f x 在某个区间是增函数或减函数 则就说函数 y f x 在这一区 间具有 严格的 单调性 这一区间叫做函数 y f x 的单调区间 此时也说函 数是这一区间上的单调函数 判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f x 在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤 任取 x1 x2 D 且 x11 且n N 当n是奇数时 正数的n次方根是一个正数 负数的n次方根是一个负数 此 时 a的n次方根用符号 n a表示 式子 n a叫做根式 radical 这里n叫做根指数 radical exponent a叫做被开方数 radicand 当n是偶数时 正数的n次方根有两个 这两个数互为相反数 此时 正数 a的正的n次方根用符号 n a表示 负的n次方根用符号 n a表示 正的n次方根 与负的n次方根可以合并成 n a a 0 由此可得 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0 记作00 n 表表 1 1 指数函数 0 1 x yaaa 对数数函数 log0 1 a yx aa 定 义 域 xR 0 x 值 域 0 y yR 图 象 过定点 0 1 过定点 1 0 减函数增函数减函数增函数 0 1 0 0 1 xy xy 时 时 0 0 1 0 1 xy xy 时 时 0 1 0 1 0 xy xy 时 时 0 1 0 1 0 xy xy 时 时 性 质 ab ab ab ab 底数越小越接近坐标轴 底数越大越接近坐标 轴 底数越小越接近坐标轴底数越大越接近坐标轴 表表 2 2幂函数 yxR p q 0 01 1 1 p q 为奇数 为奇数 奇函数 p q 为奇数 为偶数 p q 为偶数 为奇数 偶函数 第一象限 性质 减函数增函数过定点01 0 0 0 0 01 1 lo mn a na nm n aa rsrs a aaar sQ r srs aaar sQ rr s aba babrQ x yaaa x 根式 为根指数 为被开方数 分数指数幂 指数的运算 指数函数性质 定义 一般地把函数且叫做指数函数 指数函数 性质 见表 对数 基本初等函数 对数的运算 对数函数 g log loglog logloglog loglog 0 1 0 0 log log 01 1 log 0 1 0 log c a c N aN a MNMN aaa M MN aaa N n MnMaaMN aa yx aa a b ba ca cb a 为底数 为真数 性质 换底公式 定义 一般地把函数且叫做对数函数 对数函数 性质 见表 且 yxx 幂函数 定义 一般地 函数叫做幂函数 是自变量 是常数 性质 见表2 以 10 为底的对数叫做常用对数 换底公式 b N N a a b log log log 自然对数 以 e 为底的对数叫做自然对数 积 商 幂的对数运算法则 1 loga MN logaM logaN loga N1 N2 N3 Nk logaN1 logaN2 logaN3 logaNk 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和 2 loga N M logaM logaN 即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数 3 loga M logaM 即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数 幂函数定义幂函数定义 一般地 函数 y xa叫做幂函数 x 是自变量 a 是常数 幂函数的性质 1 所有的幂函数在 0 都有定义 并且图象都过点 1 1 原因 1x 1 2 在 0 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越靠近 x 轴 简记为指大图低 在 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越远离 x 轴 3 幂函数的图象一定会出现在第一象限内 一定不会出现在第四象限 值域 是否出现在第二 第三象限内 要看函数的奇偶性 幂函数的图象最多只 能同事出现在两个象限内 如果幂函数图象与坐标轴相交 则交点一定是 原点 4 幂函数的定义域的求法可分五种情况 即 1 为 0 2 为正整数 3 为负整数 4 为正分数 5 为负分数 5 作幂函数的图象要联系函数的定义域 值域 单调性 奇偶性等 只要作 出幂函数在第一象限的图象 然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义 域内完整的图象 6 幂函数 Rxy 的图象主要分为以下几类 1 当 0 时 图象是过 1 1 点平行于 x 轴但抠去 0 1 点的一条 断 直线 2 当 为正偶数时 幂函数为偶函数 图象过第一 第二象限及原点 3 当 为正奇数时 幂函数为奇函数 图象过第一 第三象限及原点 4 当 为负偶数时 幂函数为偶函数 图象过第一 第二象限 但不过原点 5 当 为负奇数时 幂函数为奇函数 图象过第一 第二象限 但不过原点 7 当 0 时 幂函数 xy 图象一些性质 1 图象都通过点 1 1 0 0 2 在第一象限内 函数值随 x 的增大而增大 3 在第一象限内 1 时 图象是向下凸的 0 1 时 图象是向上凸的 8 当 B且B推不出A 则A是B的充分非必要条件 若A推不出B且B A 则A是B的必要非充分条件 若A B且B A 则A是B的充要条件 若A推不出B且B推不出A 则A既不是B的充分条件 也不是B的必要 条件 注 如果甲是乙的充分条件 则乙是甲的必要条件 反之亦然 4 逻辑联结词 或 且 非 含逻辑联结词的命题真假的判断 5 全称量词与存在量词 全称命题与存在性命题 命题的否定 全称命题p xPMx 它的否定 p Mx xP 特称命题p xPMx 它的否定 p Mx xP 圆锥曲线与方程 椭圆 第一定义 平面内与两个定点 21 FF 的距离和等于常数 大于 21F F 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两定点的距离叫做椭圆的焦距 即 2 2 2121 FFaaMFMF 第二定义 平面内与一定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是常数e的点的轨迹叫做 椭圆 定点F是椭圆的焦点 定直线l是椭圆的准线 常数e是椭圆的离心率 即 10 ee d MF d为M到l得距离 标准方程及其性质 焦点在x轴上焦点在 y 轴上 标准方 程 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 图形 222 bac 222 bac 焦点坐 标 0 1 cF 0 2 cF 0 1 cF 0 2 cF 顶点坐 标 0 0 ba 0 0 ab 范围 byax aybx 对称轴 x轴 长轴为a2 y轴 短轴为b2 x轴 短轴为b2 y轴 长轴为a2 准线方 程 c a x 2 c a y 2 离心率 a c e 10 e 焦半径 公式 1 设点 00 yxP为椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 上一点 21 FF 分别椭圆的左 右 焦点 则 01 exaPF 02 exaPF 2 设点 00 yxP为椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 上一点 21 FF 分别椭圆的下 上 焦点 则 01 eyaPF 02 eyaPF 双曲线 第一定义 平面内与两个定点 21 FF 的距离的差的绝对值是常数 小于 21F F 的点的轨迹叫 做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 两定点的距离叫做椭圆的焦距 即 2 2 2121 FFaaMFMF 第二定义 平面内与一定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比等于常数e 1 e 的点 的轨迹叫做双曲线 定点F是双曲线的焦点 定直线l是椭圆的准线 常数e是椭圆的离心率 即 1 ee d MF d为M到l得距离 双曲线的标准方程及其几何性质 焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 图形 焦点坐标 0 1 cF 0 2 cF 222 bac 0 1 cF 0 2 cF 222 bac 顶点坐标 0 a 0 a 范围 ax ay 对称轴 x轴 实轴为a2 y 轴 虚轴为 b2 x轴 虚轴为b2 y 轴 实轴为 a2 准线方程 c a x 2 c a y 2 离心率 a c e 1 e 渐近线方 程 x a b y x b a y 等轴双曲 线 1 实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线 2 等轴双曲线的离心率 2 e 两