【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第5篇 第4讲 平面向量应用举例限时训练 理

1 第第 4 4 讲讲 平面向量应用举例平面向量应用举例 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2012 邵阳模拟 已知a a 1 sin2x b b 2 sin 2x 其中x 0 若 a a b b a a b b 则 tan x的值等于 A 1 B 1 C D 3 2 2 解析 由 a a b b a a b b 知 a a b b 所以 sin 2x 2sin2x 即 2sin xcos x 2sin2x 而x 0 所以 sin x cos x 即x 故 tan x 1 4 答案 A 2 2013 九江模拟 若 a a 2sin 15 b b 4cos 15 a a与 b b的夹角为 30 则a a b b的值是 A B 3 23 C 2 D 3 1 2 解析 a a b b a a b b cos 30 8sin 15 cos 15 4 sin 30 3 2 3 23 答案 B 3 2012 哈尔滨模拟 函数y tanx 的部分图象如图所示 则 4 2 OA OB AB A 4 B 6 2 C 1 D 2 解析 由条件可得B 3 1 A 2 0 2 2 10 4 6 OA OB AB OA OB OB OA OB OA 答案 B 4 在 ABC中 BAC 60 AB 2 AC 1 E F为边BC的三等分点 则 AE AF A B 5 3 5 4 C D 10 9 15 8 解析 法一 依题意 不妨设 2 BE 1 2EC BF FC 则有 即 AE AB 1 2 AC AE AE 2 3AB 1 3AC 2 即 AF AB AC AF AF 1 3AB 2 3AC 所以 AE AF 2 3AB 1 3AC 1 3AB 2 3AC 2 2A 1 9 AB AC AB C 2A 2 2A2 5A A 1 9 B C B C 2 22 2 12 5 2 1 cos 60 选 A 1 9 5 3 法二 由 BAC 60 AB 2 AC 1 可得 ACB 90 如图建立直角坐标系 则A 0 1 E F 2 3 3 0 3 3 0 1 1 1 AE AF 2 3 3 1 3 3 1 2 3 3 3 3 2 3 5 3 选 A 3 答案 A 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 2013 温州适应性测试 在平行四边形ABCD中 已知AB 2 AD 1 BAD 60 E 为CD的中点 则 AE BD 解析 D AE BD AD 1 2DC BA BC AD 1 2 C AD DC 2 2 1 1 2cos 60 4 AD 1 2DC AD 1 2DC 1 2 1 2 3 2 答案 3 2 6 2013 东北三校一模 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 若 3b c cos A acos C S ABC 则 2 BA AC 解析 依题意得 3sin B sin C cos A sin Acos C 即 3sin Bcos A sin Acos C sin Ccos A sin A C sin B 0 于是有 cos A sin A 1 31 cos2A 2 2 3 又S ABC bcsin A bc 1 2 1 2 2 2 32 所以bc 3 bccos A bccos A 3 1 BA AC 1 3 答案 1 三 解答题 共 25 分 7 12 分 已知圆C x 3 2 y 3 2 4 及点A 1 1 M是圆C上的任意一点 点N在 线段MA的延长线上 且 2A 求点N的轨迹方程 MA N 解 设M x0 y0 N x y 由 2 得 MA AN 1 x0 1 y0 2 x 1 y 1 Error 点M x0 y0 在圆C上 x0 3 2 y0 3 2 4 即 3 2x 3 2 3 2y 3 2 4 x2 y2 1 所求点N的轨迹方程是x2 y2 1 8 13 分 2012 北京海淀模拟 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若 AB k k R R AC BA BC 1 判断 ABC的形状 2 若c 求k的值 2 4 解 1 cbcos A cacos B AB AC BA BC 又 bccos A accos B AB AC BA BC sin Bcos A sin Acos B 即 sin Acos B sin Bcos A 0 sin A B 0 A B A B 即 ABC为等腰三角形 2 由 1 知 bccos A bc k AB AC b2 c2 a2 2bc c2 2 c k 1 2 分层 B 级 创新能力提升 1 2012 安庆二模 在 ABC中 a b c分别为角A B C所对应的三角形的边长 若 4aB 2bC 3cA 0 则 cos B C A B A B 11 24 11 24 C D 29 36 29 36 解析 由 4aB 2bC 3cA 0 得 C A B 4aB 3cA 2bC 2b B B 2bA 2bB C B A A C B C 所以 4a 3c 2b 由余弦定理得 cos B a2 c2 b2 2ac b2 4 4 9b2 b2 2 b 2 2 3b 11 24 答案 A 2 2013 郑州三模 ABC的外接圆圆心为O 半径为 2 O 0 且 A AB AC 则在方向上的投影为 OA AB CA CB A 1 B 2 C D 3 3 解析 5 如图 由题意可设D为BC的中点 由 0 得 2A 0 即 OA AB AC OA D A 2A A O D共线且 A 2 又O为 ABC的外心 O D O AD AO为BC的中垂线 2 1 AC AB OA AD 在方向上的投影为 CD 3 CA CB 3 答案 C 3 已知向量a a x 1 2 b b 4 y 若a a b b 则 9x 3y的最小值为 解析 若a a b b 则 4 x 1 2y 0 即 2x y 2 9x 3y 32x 3y 2 2 6 32x y32 当且仅当x y 1 时取得最小值 1 2 答案 6 4 2013 山西大学附中月考 已知 a a 2 b b 0 且关于x的函数f x x3 a a x2 a a b bx在 R R 上有极值 则a a与b b的夹角范围为 1 3 1 2 解析 由题意得 f x x2 a a x a a b b必有可变号零点 即 a a 2 4a a b b 0 即 4 b b 2 8 b b 2cos a a b b 0 即 1 cos a a b b 所以a a与b b的夹角范围为 1 2 3 答案 3 5 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 向量m m 2sin B n n 3 且m m n n cos 2B 2cos2 B 2 1 1 求锐角B的大小 2 如果b 2 求S ABC的最大值 解 1 m m n n 2sin B cos 2B 2cos2 B 2 1 3 sin 2B cos 2B 即 tan 2B 33 又B为锐角 2B 0 2B B 2 3 3 2 B b 2 由余弦定理 cos B 3 a2 c2 b2 2ac 得a2 c2 ac 4 0 又a2 c2 2ac 代入上式 6 得ac 4 当且仅当a c 2 时等号成立 S ABC acsin B ac 当且仅当a c 2 时等号成立 即S ABC的最大值为 1 2 3 433 6 2012 南通模拟 已知向量m m 3sin x 4 1 n n cos x 4 cos2 x 4 1 若m m n n 1 求 cos的值 2 3 x 2 记f x m m n n 在 ABC中 角A B C的对边分别是a b c 且满足 2a c cos B bcos C 求函数f A 的取值范围 解 1 m m n n sin cos cos2 3 x 4 x 4 x 4 sin sin 3 2 x 2 1 cos x 2 2 x 2 6 1 2 m m n n 1 sin x 2 6 1 2 cos 1 2sin2 x 3 x 2 6 1 2 cos cos 2 3 x x 3 1 2 2 2a c cos B bcos C 由正弦定理得 2sin A sin C cos B sin Bcos C 2si