【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第二章1.4 两条直线的交点目标导学 北师大版必修2

1 1 41 4 两条直线的交点两条直线的交点 问题导学问题导学 1 两条直线的相交判断及交点坐标问题 活动与探究 1 1 判断直线l1 2x y 4 0 与l2 x y 5 0 是否相交 若相交 求出它们的交 点坐标 2 若直线 5x 4y 2m 1 0 与 2x 3y m 0 的交点在第四象限 求m的取值范围 迁移与应用 1 直线 3x 5y 1 0 与 4x 3y 5 0 的交点是 A 2 1 B 3 2 C 2 1 D 3 2 2 下列直线中 与直线 3x 2y 0 相交的是 A 2x 3y 1 0 B 3x 2y 2 0 C 6x 4y 0 D y x 1 3 2 1 判断两条直线是否相交 具体方法如下 1 当两条直线的斜率都存在时 只要两斜率不相等 则它们相交 2 当两条直线中有一条斜率存在 另一条不存在时 它们一定相交 3 当两条直线的斜率均不存在时 它们一定不相交 2 求两条直线的交点坐标 即是解由两条直线的方程组成的方程组 这体现了用方程 的思想研究直线交点的问题 用代数思想研究几何问题的思想方法 2 三线共点问题 活动与探究 2 设三条直线x 2y 1 2x ky 3 3kx 4y 5 交于一点 求k的值 迁移与应用 试 求三条直线l1 ax y 1 0 l2 x ay 1 0 l3 x y a 0 构成三角形时a满 足的条件 1 求解三线共点问题的一般方法是 先求出其中两条直线的交点 然后令该交点在第 三条直线上 2 给出三条直线方程 方程中含有参数 且三条直线构成三角形 求参数满足的条件 可以先找构不成三角形的条件 然后求其反面 3 过两直线交点的直线系问题 活动与探究 3 求过两条直线l1 x 2 与l2 2x y 3 的交点P且在两坐标轴上截距相等的直 线l的方程 迁移与应用 1 过直线 2x y 4 0 与x y 5 0 的交点 且与直线 4x 2y 3 0 平行的直线方 程是 2 已知直线方程为 2a 1 x 3a 2 y 18a 5 0 求证 无论a为何实数值 直 线必过定点 并求出该定点的坐标 1 求经过两已知直线交点的直线方程时 通常有两种方法 一是直接求出两条直线的 交点 然后结合其他条件求出直线方程 另一种方法是利用直线系方程设出所求直线的方 程 含有参数 然后根据另外的条件求出参数 的值 即得所求直线的方程 2 研究方程中含参数的直线过定点问题 可通过变形 将直线方程化为f1 x y f2 x y 0 的形式 那么直线l1 f1 x y 0 和l2 f2 x y 0 的交点就是该直 线系所经过的定点 当堂检测当堂检测 2 1 下列直线中 与直线 2x y 3 0 相交的是 A 4x 2y 6 0 B y 2x 1 C y 2x 5 D y 2x 3 2 两条直线l1 2x y 1 0 与l2 x 3y 11 0 的交点坐标为 A 3 2 B 2 3 C 2 3 D 3 2 3 直线 2x y m 0 和x 2y n 0 的位置关系是 A 平行 B 垂直 C 相交但不垂直 D 不能确定 与m n取值有关 4 三条直线ax 2y 8 0 4x 3y 10 和 2x y 10 相交于一点 则a的值为 5 1 求经过两直线 2x 3y 3 0 和x y 2 0 的交点且与直线 3x y 1 0 平行 的直线l的方程 2 求经过两直线l1 x 2y 4 0 和l2 x y 2 0 的交点P 且与直线 l3 3x 4y 5 0 垂直的直线l的方程 提示 用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分 和基本技能的要领部分写下来并进行识记 答案 答案 课前预习导学课前预习导学 预习导引 1 斜率 相交 2 这两条直线上 方程组 方程组 坐标 交点 公共解 预习交流预习交流 1 提示 设直线l1 A1x B1y C1 0 直线l2 A2x B2y C2 0 则当方 程组Error 无解时 l1 l2 方程组有唯一解时 l1与l2相交 方程组有无穷多解时 l1与 l2重合 预习交流预习交流 2 提示 经过 因为l1与l2交于P x0 y0 所以 A1x0 B1y0 C1 0 A2x0 B2y0 C2 0 于是 A1x0 B1y0 C1 A2x0 B2y0 C2 0 0 0 故直线 A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 必过点P 该方程就是经过 两相交直线交点的直线系方程 课堂合作探究课堂合作探究 问题导学 活动与探究活动与探究 1 思路分析 1 分析比较两条直线的斜率关系 若两斜率不相等 则它 们相交 然后解方程求得交点坐标 2 先通过解方程组求出交点坐标 然后令横坐标大于零 纵坐标小于零 建立关于m 的不等式组求得m的取值范围 解 解 1 由于 2 1 1 l k 2 l k 1 l k 2 l k 两直线相交 解方程组Error 得Error 两条直线的交点坐标为 1 6 2 由方程组Error 解得Error 两条直线的交点坐标为 2m 3 7 m 2 7 此交点在第四象限 3 Error 解得 m 2 3 2 故所求m的取值范围是 3 2 2 迁移与应用迁移与应用 1 C 解析 解析 由Error 得Error 交点为 2 1 2 A 解析 解析 选项 A 中的直线斜率与直线 3x 2y 0 斜率不相等 两直线相交 B 和 D 选项中的直线与 3x 2y 0 平行 选项 C 中的直线与 3x 2y 0 重合 活动与探究活动与探究 2 思路分析 先求出两条直线的交点 然后代入第三条直线方程求出k 的值 解 解 解方程组Error 得Error 即前两条直线的交点为 k 6 k 4 1 k 4 因为三条直线交于一点 所以第三条直线必过此交点 故有 3k 5 解 k 6 k 4 4 k 4 得k 1 或k 16 3 迁移与应用迁移与应用 解 解 为使三条直线能构成三角形 需三条直线两两相交且不共点 若l1 l2 l3交于一点 由Error 解得Error 将l2 l3的交点 a 1 1 代入l1的方 程 解得a 1 或a 2 若l1 l2 则由a a 1 1 0 得a 1 当a 1 时 l1 l2重合 若l2 l3 则由 1 1 a 1 0 得a 1 当a 1 时 l2 l3重合 若l1 l3 则由a 1 1 1 0 得a 1 当a 1 时 l1 l3重合 综上 a 1 时 l1 l2 l3重合 当a 1 时 l1 l2 a 2 时 三条直线交于一点 所以要使三条直线能构成三角形 需a 1 且 a 2 活动与探究活动与探究 3 思路分析 所求直线经过两条已知直线的交点且在两坐标轴上的截距 相等 故可以求出两直线的交点坐标 再利用截距相等分直线过原点和不过原点分类讨论 求解 也可以设出过交点的直线系方程 分别求出在x轴 y轴上的截距 再利用在两坐 标轴上的截距相等 求待定系数 解 解 方法 1 由Error 得Error P 2 1 由题意知 所求直线存在斜率 设直线l y 1 k x 2 令x 0 得y 1 2k 令y 0 得x 2 1 k 由 1 2k 2 得k 1 或k 1 k 1 2 故所求直线方程为x y 1 0 或x 2y 0 方法 2 设所求直线方程为 x 2 2x y 3 0 即 1 2 x y 2 3 0 令x 0 得y 2 3 令y 0 得x 2 3 1 2 4 由题意得 2 3 1 2 2 3 得 或 1 代入 式得所求直线方程为x 2y 0 或x y 1 0 2 3 迁移与应用迁移与应用 1 2x y 8 0 解析 解析 依题意设所求直线方程为 2x y 4 x y 5 0 即 2 x 1 y 4 5 0 而直线 4x 2y 3 0 与所求直线平行 所以有 2 2 4 1 解得 于是所求直线方程为x y 0 即 2x y 8 0 4 3 2 3 1 3 8 3 2 解 解 原方程可化为x 2y 5 a 2x 3y 18 0 它表示过直线x 2y 5 0 与 直线 2x 3y 18 0 交点的直线系 不包括直线 2x 3y 18 0 无论a取何值它都过两 直线的交点 由Error 解得Error 所以直线必过定点