【步步高】2014届高三数学一轮 12.2 古典概型课时检测 理 （含解析）北师大版

1 12 212 2 古典概型古典概型 一 选择题 1 将一颗质地均匀的骰子 它是一种各面上分别标有点数 1 2 3 4 5 6 的正方体玩具 先后 抛掷 3 次 至少出现一次 5 点向上的概率是 A B C D 5 216 25 216 31 216 91 216 解析 抛掷 3 次 共有 6 6 6 216 个事件 一次也不出现 5 则每次抛掷都有 5 种可能 故一次也未出现 5 的事件总数为 5 5 5 125 于是没有出现一次 5 点向上的概率 P 所求的概率为 1 125 216 125 216 91 216 答案 D 2 先后掷两次正方体骰子 骰子的六个面分别标有点数 1 2 3 4 5 6 骰子朝上的 面的点数分别为 m n 则mn是奇数的概率是 A B C D 1 2 1 3 1 4 1 6 答案 C 3 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线 乙从该正方形四个顶点中任意选择 两个顶点连成直线 则所得的两条直线相互垂直的概率是 A B 3 18 4 18 C D 5 18 6 18 解析 正方形四个顶点可以确定 6 条直线 甲乙各自任选一条共有 36 个等可能的基本事 件 两条直线相互垂直的情况有 5 种 4 组邻边和对角线 包括 10 个基本事件 所以概率 等于 5 18 答案 C 4 连续抛掷 2 颗骰子 则出现朝上的点数之和等于 6 的概率为 A B C D 5 36 5 66 1 11 5 11 解析 设 朝上的点数之和等于 6 为事件A 则P A 5 36 答案 A 5 从 1 2 3 4 5 6 六个数中任取 2 个数 则取出的两个数不是连续自然数的概率是 2 A B C D 3 5 2 5 1 3 2 3 解析 取出的两个数是连续自然数有 5 种情况 则取出的两个数不是连续自然数的概率 P 1 5 15 2 3 答案 D 6 某种饮料每箱装 6 听 其中有 4 听合格 2 听不合格 现质检人员从中随机抽取 2 听进 行检测 则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 A B C D 1 15 3 5 8 15 14 15 解析 从 6 听饮料中任取 2 听饮料 这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有 15 个 而 抽到不合格饮料 含有 9 个基本事件 所以检测到不合格饮料的概率为P 9 15 3 5 答案 B 7 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小相同的小正方体 若将这些小正方体 均匀地搅混在一起 则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是 A B C D 1 12 1 10 3 25 1 125 解析 小正方体三面涂有油漆的有 8 种情况 故所求其概率为 8 1 000 1 125 答案 D 二 填空题 8 有一质地均匀的正四面体 它的四个面上分别标有 1 2 3 4 四个数字 现将它连续抛掷 3 次 其底面落于桌面 记三次在正四面体底面的数字和为S 则 S恰好为 4 的概率为 解析 本题是一道古典概型问题 用有序实数对 a b c 来记连续抛掷 3 次所得的 3 个数 字 总事件中含 4 4 4 64 个基本事件 取S a b c 事件 S恰好为 4 中包含了 1 1 2 1 2 1 2 1 1 三个基本事件 则P S恰好为 4 3 64 答案 3 64 9 9 现有 10 个数 它们能构成一个以 1 为首项 3 为公比的等比数列 若从这10 个数中 随机抽取一个数 则它小于8 的概率是 解析 组成满足条件的数列为 19683 6561 2187 729 243 81 27 9 3 1 从中随机取 3 出一个数共有取法10种 其中小于8的取法共有6种 因此取出的这个数小于8的概率为 5 3 答案 5 3 10 甲 乙二人参加普法知识竞答 共有 10 个不同的题目 其中 6 个选择题 4 个判断题 甲 乙二人依次各抽一题 则甲 乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是 解析 方法 1 设事件A 甲乙两人中至少有一人抽到选择题 将A分拆为B 甲选乙判 C 甲选乙选 D 甲判乙选 三个互斥事件 则P A P B P C P D 而P B P C P D C1 6C1 4 C 1 10C1 9 C1 6C1 5 C 1 10C1 9 C1 4 C1 6 C 1 10C1 9 P A 24 90 30 90 24 90 78 90 13 15 方法 2 设事件A 甲乙两人中至少有一人抽到选择题 则其对立事件为 A 甲乙两人均抽判断题 P P A 1 A C1 4C1 3 C 1 10C1 9 12 90 12 90 78 90 13 15 故甲 乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为 13 15 答案 13 15 11 先后两次抛掷同一个骰子 将得到的点数分别记作a b 与 5 分别作为三条线段的长 则这三条线段能够构成等腰三角形的概率是 解析 基本事件的总数是 6 6 36 当a 1 时 b 5 符合要求 有 1 种情况 当a 2 时 b 5 符合要求 有 1 种情况 当a 3 时 b 3 5 符合要求 有 2 种情况 当a 4 时 b 4 5 符合要求 有 2 种情况 当a 5 时 b 1 2 3 4 5 6 均符合要求 有 6 种情况 当a 6 时 b 5 6 符合要求 有 2 种情况 故所求其概率为 14 36 7 18 答案 7 18 12 将一颗骰子投掷两次分别得到点数a b 则直线ax by 0 与圆 x 2 2 y2 2 相交 的概率为 解析 圆心 2 0 到直线ax by 0 的距离d 当d 时 直线与圆相交 则有 2a a2 b22 d 得b a 满足题意的b a 共有 15 种情况 因此直线ax by 0 与圆 2a a2 b22 4 x 2 2 y2 2 相交的概率为 15 36 5 12 答案 5 12 三 解答题 13 从某小组的 2 名女生和 3 名男生中任选 2 人去参加一项公益活动 1 求所选 2 人中恰有一名男生的概率 2 求所选 2 人中至少有一名女生的概率 解析 设 2 名女生为a1 a2 3 名男生为b1 b2 b3 从中选出 2 人的基本事件有 a1 a2 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 b1 b2 b1 b3 b2 b3 共 10 种 1 设 所选 2 人中恰有一名男生 的事件为A 则A包含的事件有 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 共 6 种 P A 6 10 3 5 故所选 2 人中恰有一名男生的概率为 3 5 2 设 所选 2 人中至少有一名女生 的事件为B 则B包含的事件有 a1 a2 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 共 7 种 P B 7 10 故所选 2 人中至少有一名女生的概率为 7 10 14 有编号为A1 A2 A10的 10 个零件 测量其直径 单位 cm 得到下面数据 编号 A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10 直径 1 511 491 491 511 491 511 471 461 531 47 其中直径在区间 1 48 1 52 内的零件为一等品 1 从上述 10 个零件中 随机抽取一个 求这个零件为一等品的概率 2 从一等品零件中 随机抽取 2 个 用零件的编号列出所有可能的抽取结果 求这 2 个零件直径相等的概率 解析 1 由所给数据可知 一等品零件共有 6 个 设 从 10 个零件中 随机抽取一个为 一等品 为事件A 则P A 6 10 3 5 2 一等品零件的编号为A1 A2 A3 A4 A5 A6 从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个 所有可能的结果有 5 A1 A2 A1 A3 A1 A4 A1 A5 A1 A6 A2 A3 A2 A4 A2 A5 A2 A6 A3 A4 A3 A5 A3 A6 A4 A5 A4 A6 A5 A6 共有 15 种 从一等品零件中 随机抽取的 2 个零件直径相等 记为事件B 的所有可能结果有 A1 A4 A1 A6 A4 A6 A2 A3 A2 A5 A3 A5 共有 6 种 所以P B 6 15 2 5 15 设平面向量a am m 1 b bn 2 n 其中m n 1 2 3 4 1 请列出有序数组 m n 的所有可能结果 2 若 使得a am a am b bn 成立的 m n 为事件A 求事件A发生的概率 解析 1 有序数组 m n 的所有可能结果为 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共 16 个 2 由a am a am b bn 得m2 2m 1 n 0 即n m 1 2 由于m n 1 2 3 4 故事 件A包含的基本事件为 2 1 和 3 4 共 2 个 又基本事件的总数为 16 故所求的概率为 P A 2 16 1 8 16 新华中学高三 1 班共有学生 50 名 其中男生 30 名 女生 20 名 采用分层抽样的方 法选出 5 人参加一个座谈会 1 求某同学被抽到的概率以及选出的男 女同学的人数 2 座谈会结束后 决定选出 2 名同学作典型发言 方法是先从 5 人中选出 1 名同学发言 发言结束后再从剩下的同学中选出 1 名同学发言 求选出的 2 名同学中恰好有 1 名为女同 学的概率 解析 1 某个同学被抽到的概率P 根据分层抽样方法 应抽取男同学 3 人 女 5 50 1 10 同学 2 人 2 记选出的 3 名男同学为A1 A2 A3 2 名女同学为B1 B2 则基本事件是 A1 A2 A1 A3 A1 B1 A1 B2 A2 A1 A2 A3 A2 B1 A2 B2 A3 A1 A3 A2 A3 B1 A3 B2 B1 A1 B1 A2 B1 A3 B1 B2 B2 A1 B2 A2 B2 A3