【步步高】2014届高三数学一轮 4.6 正弦定理和余弦定理课时检测 理 （含解析）北师大版

1 4 64 6 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 一 选择题 1 在 ABC中 C 60 AB BC 那么A等于 32 A 135 B 105 C 45 D 75 解析 由正弦定理知 即 所以 sin A 又由题知 BC sin A AB sin C 2 sin A 3 sin 60 2 2 BC AB A 45 答案 C 2 已知a b c是 ABC三边之长 若满足等式 a b c a b c ab 则角C的大小 为 A 60 B 90 C 120 D 150 解析 由 a b c a b c ab 得 a b 2 c2 ab c2 a2 b2 ab a2 b2 2abcos C cos C C 120 1 2 答案 C 3 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 且a b 0 A 45 3 则满足此条件的三角形个数是 A 0 B 1 C 2 D 无数个 解析 直接根据正弦定理可得 可得 sin a sin A b sin B B 1 没有意义 故满足条件的三角形的个数为 0 bsin A a 3 sin 45 6 2 答案 A 4 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若acos A bsin B 则 sin Acos A cos2B等于 A B C 1 D 1 1 2 1 2 解析 根据正弦定理 由acos A bsin B 得 sin Acos A sin2B sin Acos A cos2B sin2B cos2B 1 答案 D 5 在ABC 中 角 A B C所对边的长分别为 a b c 若 222 2abc 则cosC的最小 值为 2 A 3 2 B 2 2 C 1 2 D 1 2 解析 2 12 2 cos 22 22222 ba cc ab cba C 故选 C 答案 C 6 在 ABC中 sin2 A sin2 B sin2 C sin Bsin C 则A的取值范围是 A B C D 0 6 6 0 3 3 解析 由已知及正弦定理有a2 b2 c2 bc 而由余弦定理可知a2 b2 c2 2bccos A 于 是可得b2 c2 2bccos A b2 c2 bc 可得 cos A 注意到在 ABC中 0 A 1 2 故A 0 3 答案 C 7 若 ABC的内角A B C所对的边a b c满足 a b 2 c2 4 且C 60 则ab的 值为 A B 8 4 C 1 D 4 3 3 2 3 解析 依题意得Error 两式相减得ab 选 A 4 3 答案 A 二 填空题 8 如图 ABC中 AB AC 2 BC 2 点D在BC边上 ADC 45 则AD的长度 3 等于 解析 在 ABC中 AB AC 2 BC 2 cos C sin C 在 ADC中 由 3 3 2 1 2 正弦定理得 AD AD sin C AC sin ADC 2 sin 45 1 22 答案 2 9 在锐角 ABC中 a b c分别为角A B C所对的边 且a 2csin A 角 3 C 解析 根据正弦定理 a sin A c sin C 3 由a 2csin A 得 3 a sin A c 3 2 sin C 而角C是锐角 角C 3 2 3 答案 3 10 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 若三边的长为连续的三个正整数 且 A B C 3b 20acosA 则 sinA sinB sinC 为 答案 6 5 4 11 若AB 2 AC BC 则S ABC的最大值 2 解析 数形结合法 因为AB 2 定长 可以令AB所在的直线为x轴 其中垂线为y轴建 立直角坐标系 则A 1 0 B 1 0 设C x y 由AC BC 2 得 化简得 x 3 2 y2 8 x 1 2 y22 x 1 2 y2 即C在以 3 0 为圆心 2为半径的圆上运动 2 所以S ABC AB yC yC 2 故答案为 2 1 222 答案 2 2 12 在锐角 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若 6cos C 则 b a a b tan C tan A 的值是 tan C tan B 解析 法一 取a b 1 则 cos C 由余弦定理得c2 a2 b2 2abcos C c 1 3 4 3 在如图所示的等腰三角形ABC中 可得 tan A tan B 又 sin C tan 2 3 32 2 2 3 C 2 4 2 tan C tan A tan C tan B 4 法二 由 6cos C 得 6 b a a b a2 b2 ab a2 b2 c2 2ab 即a2 b2 c2 tan C 3 2 tan C tan A tan C tan B cos A sin A cos B sin B 4 sin2C cos Csin Asin B 2c2 a2 b2 c2 答案 4 三 解答题 13 叙述并证明余弦定理 解析 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的 余弦之积的两倍 或 在 ABC中 a b c为A B C的对边 有a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2cacos B c2 a2 b2 2abcos C 法一 如图 1 图 1 a2 BC BC AC AB AC AB 2 2 2 AC AC AB AB 2 2 cos A 2 AC AC AB AB b2 2bccos A c2 即a2 b2 c2 2bccos A 同理可证b2 c2 a2 2cacos B c2 a2 b2 2abcos C 法二 图 2 已知 ABC中A B C所对边分别为a b c 以A为原点 AB所在直线为x轴建立直角 坐标系 如图 2 则C bcos A bsin A B c 0 a2 BC 2 bcos A c 2 bsin A 2 b2cos2A 2bccos A c2 b2sin2A b2 c2 2bccos A 同理可证b2 c2 a2 2cacos B c2 a2 b2 2abcos C 5 14 在 ABC中 a b c分别为A B C的对边 B b a c 4 求a 2 313 解析 由余弦定理b2 a2 c2 2accos B a2 c2 2accos 2 3 a2 c2 ac a c 2 ac 又 a c 4 b ac 3 13 联立Error 解得a 1 或a 3 15 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 bsinA 3acosB 1 求角 B 的大小 2 若 b 3 sinC 2sinA 求 a c 的值 16 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 已知 cos A 2cos C cos B 2c a b 1 求的值 sin C sin A 2 若 cos B ABC的周长为 5 求b的长 1 4 解析 1 由正弦定理 设 k a sin A b sin B c sin C 则 2c a b 2ksin C ksin A ksin B 2sin C sin A sin B 所以 cos A 2cos C cos B 2sin C sin A sin B 即 cos A 2cos C sin B 2sin C sin A cos B 化简可得 sin A