【步步高】2014届高三数学一轮 4.6 正弦定理和余弦定理导学案 理 北师大版

1 4 6 4 6 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 2014 高考会这样考 1 考查正弦定理 余弦定理的推导 2 利用正 余弦定理判断三 角形的形状和解三角形 3 在解答题中对正弦定理 余弦定理 面积公式以及三角函数中 恒等变换 诱导公式等知识点进行综合考查 复习备考要这样做 1 理解正弦定理 余弦定理的意义和作用 2 通过正弦 余弦定 理实现三角形中的边角转换 和三角函数性质相结合 1 正弦定理 2R 其中R是三角形外接圆的半径 由正弦定理可 a sin A b sin B c sin C 以变形 1 a b c sin A sin B sin C 2 a 2Rsin A b 2Rsin B c 2Rsin C 3 sin A sin B sin C 等形 a 2R b 2R c 2R 式 以解决不同的三角形问题 2 余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A b2 a2 c2 2accos B c2 a2 b2 2abcos C 余 弦定理可以变形 cos A cos B cos C b2 c2 a2 2bc a2 c2 b2 2ac a2 b2 c2 2ab 3 S ABC absin C bcsin A acsin B a b c r r是三角形内切圆的半 1 2 1 2 1 2 abc 4R 1 2 径 并可由此计算R r 4 在 ABC中 已知a b和A时 解的情况如下 A为锐角A为钝角或直角 图形 关系式a bsin A bsin A ab 解的个数一解两解一解一解 难点正本 疑点清源 1 在三角形中 大角对大边 大边对大角 大角的正弦值也较大 正弦值较大的角也较大 即在 ABC中 A B a b sin A sin B 2 根据所给条件确定三角形的形状 主要有两种途径 1 化边为角 2 化角为边 并常用正弦 余弦 定理实施边 角转换 2 1 在 ABC中 若A 60 a 则 3 a b c sin A sin B sin C 答案 2 解析 由正弦定理及等比性质知 2R a sin A b sin B c sin C a b c sin A sin B sin C 而由A 60 a 3 得 2R 2 a b c sin A sin B sin C a sin A 3 sin 60 2 2012 福建 已知 ABC的三边长成公比为的等比数列 则其最大角的余弦值为 2 答案 2 4 解析 设三角形的三边长从小到大依次为a b c 由题意得b a c 2a 2 在 ABC中 由余弦定理得 cos C a2 b2 c2 2ab a2 2a2 4a2 2 a 2a 2 4 3 2012 重庆 设 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 且 cos A cos B 3 5 b 3 则c 5 13 答案 14 5 解析 在 ABC中 cos A 0 sin A 3 5 4 5 cos B 0 sin B 5 13 12 13 sin C sin A B sin A B sin Acos B cos Asin B 4 5 5 13 3 5 12 13 56 65 由正弦定理知 b sin B c sin C c bsin C sin B 3 56 65 12 13 14 5 4 2011 课标全国 在 ABC中 B 60 AC 则AB 2BC的最大值为 3 3 答案 2 7 解析 由正弦定理知 AB sin C 3 sin 60 BC sin A AB 2sin C BC 2sin A 又A C 120 AB 2BC 2sin C 4sin 120 C 2 sin C 2sin 120 cos C 2cos 120 sin C 2 sin C cos C sin C 3 2 2sin C cos C 2sin C 37 其中 tan 是第一象限角 3 2 由于 0 C 120 且 是第一象限角 因此AB 2BC有最大值 2 7 5 已知圆的半径为 4 a b c为该圆的内接三角形的三边 若abc 16 则三角形的 2 面积为 A 2 B 8 22 C D 2 2 2 答案 C 解析 2R 8 sin C a sin A b sin B c sin C c 8 S ABC absin C abc 16 1 2 1 16 1 1622 题型一 利用正弦定理解三角形 例 1 在 ABC中 a b B 45 求角A C和边c 32 思维启迪 已知两边及一边对角或已知两角及一边 可利用正弦定理解这个三角形 但要注意解的个数的判断 解 由正弦定理得 a sin A b sin B 3 sin A 2 sin 45 sin A 3 2 a b A 60 或A 120 当A 60 时 C 180 45 60 75 c bsin C sin B 6 2 2 当A 120 时 C 180 45 120 15 4 c bsin C sin B 6 2 2 探究提高 1 已知两角及一边可求第三角 解这样的三角形只需直接用正弦定理代入 求解即可 2 已知两边和一边对角 解三角形时 利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该 角 这是解题的难点 应引起注意 已知a b c分别是 ABC的三个内角A B C所对的边 若a 1 b A C 2B 则角A的大小为 3 答案 6 解析 A C 2B且A B C B 3 由正弦定理知 sin A asin B b 1 2 又a b A B A 6 题型二 利用余弦定理求解三角形 例 2 在 ABC中 a b c分别是角A B C的对边 且 cos B cos C b 2a c 1 求角B的大小 2 若b a c 4 求 ABC的面积 13 思维启迪 由 利用余弦定理转化为边的关系求解 cos B cos C b 2a c 解 1 由余弦定理知 cos B cos C a2 c2 b2 2ac a2 b2 c2 2ab 将上式代入 得 cos B cos C b 2a c a2 c2 b2 2ac 2ab a2 b2 c2 b 2a c 整理得 a2 c2 b2 ac cos B a2 c2 b2 2ac ac 2ac 1 2 0 B B 2 3 2 将b a c 4 B 代入b2 a2 c2 2accos B 13 2 3 得b2 a c 2 2ac 2accos B 5 13 16 2ac ac 3 1 1 2 S ABC acsin B 1 2 3 3 4 探究提高 1 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本 题的关键 2 熟练运用余弦定理及其推论 同时还要注意整体思想 方程思想在解题过程中的运 用 已知A B C为 ABC的三个内角 其所对的边分别为a b c 且 2cos2 cos A 0 A 2 1 求角A的值 2 若a 2 b c 4 求 ABC的面积 3 解 1 由 2cos2 cos A 0 A 2 得 1 cos A cos A 0 即 cos A 1 2 0 A A 2 3 2 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A A 则a2 b c 2 bc 又a 2 b c 4 2 33 有 12 42 bc 则bc 4 故S ABC bcsin A 1 23 题型三 正弦定理 余弦定理的综合应用 例 3 2012 课标全国 已知a b c分别为 ABC三个内角A B C的对边 acos C asin C b c 0 3 1 求A 2 若a 2 ABC的面积为 求b c 3 思维启迪 利用正弦定理将边转化为角 再利用和差公式可求出A 面积公式和余弦 定理相结合 可求出b c 解 1 由acos C asin C b c 0 及正弦定理得 sin Acos C sin Asin 33 C sin B sin C 0 因为B A C 所以sin Asin C cos Asin C sin C 0 3 6 由于 sin C 0 所以 sin A 6 1 2 又 0 A 故A 3 2 ABC的面积S bcsin A 故bc 4 1 23 而a2 b2 c2 2bccos A 故b2 c2 8 解得b c 2 探究提高 在已知关系式中 若既含有边又含有角 通常的思路是将角都化成边或将 边都化成角 再结合正 余弦定理即可求角 在 ABC中 内角A B C所对的边长分别是a b c 1 若c 2 C 且 ABC的面积为 求a b的值 33 2 若 sin C sin B A sin 2A 试判断 ABC的形状 解 1 c 2 C 3 由余弦定理c2 a2 b2 2abcos C得a2 b2 ab 4 又 ABC的面积为 absin C ab 4 3 1 23 联立方程组Error 解得a 2 b 2 2 由 sin C sin B A sin 2A 得 sin A B sin B A 2sin Acos A 即 2sin Bcos A 2sin Acos A cos A sin A sin B 0 cos A 0 或 sin A sin B 0 当 cos A 0 时 0 A A ABC为直角三角形 2 当 sin A sin B 0 时 得 sin B sin A 由正弦定理得a b 即 ABC为等腰三角形 ABC为等腰三角形或直角三角形 代数化简或三角运算不当致误 典例 12 分 在 ABC中 若 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B 试判断 ABC的 7 形状 审题视角 1 先对等式化简 整理成以单角的形式表示 2 判断三角形的形状可以根据边的关系判断 也可以根据角的关系判断 所以可以从 以下两种不同方式切入 一 根据余弦定理 进行角化边 二 根据正弦定理 进行边 化 角 规范解答 解 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B b2 sin A B sin A B a2 sin A B sin A B 2sin Acos B b2 2cos Asin B a2 即a2cos Asin B b2sin Acos B 4 分 方法一 由正弦定理知a 2Rsin A b 2Rsin B sin2Acos Asin B sin2Bsin Acos B 又 sinAsin B 0 sin Acos A sin Bcos B sin 2A sin 2B 8 分 在 ABC中 0 2A 2 0 2B 2 2A 2B或 2A 2B A B或A B 2 ABC为等腰或直角三角形 12 分 方法二 由正弦定理 余弦定理得 a2b b2a 6 分 b2 c2 a2 2bc a2 c2 b2 2ac a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 a2 b2 a2 b2 c2 0 a2 b2 0 或a2 b2 c2 0 10 分 即a b或a2 b2 c2 ABC为等腰或直角三角形 12 分 温馨提醒 1 利用正弦 余弦定理判断三角形形状时 对所给的边角关系式一般都要 先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系 再判断 2 本题也可分析式子的结构特征 从式子看具有明显的对称性 可判断图形为等腰或 直角三角形 3 易错分析 方法一中由 sin 2A sin 2B直接得到A B 其实学生忽略了 2A与 2B互补的情况 由于计算问题出错而结论错误 方法二中由c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 不少同学直接得到c2 a2 b2 其实是学生忽略了a2 b2 0 的情况 由于化 简不当致误 结论表述不规范 正确结论是 ABC为等腰三角形或直角三角形 而 不少学生回答为 等腰直角三角形 8 高考中的解三角形问题 典例 12 分 2012 辽宁 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 角A B C成 等差数列 1 求 cos B的值 2 边a b c成等比数列 求 sin Asin C的值 考点分析 本题考查三角形的性质和正弦定理 余弦定理 考查转化能力和运算求解 能力 解题策略 根据三角形内角和定理可直接求得B 利用正弦定理或余弦定理转化到只 含角或只含边的式子 然后求解 规范解答 解 1 由已知 2B A C A B C 180 解得B 60 所以 cos B 4 分 1 2 2 方法一 由已知b2 ac 及 cos B 1 2 根据正弦定理得 sin2B sin Asin C 8 分 所以 sin Asin C 1 cos2B 12 分 3 4 方法二 由已知b2 ac 及 cos B 1 2 根据余弦定理得 cos B a2 c2 b2 2ac a2 c2 ac 2ac 1 2 解得a c 8 分 所以A C B 60 故 sin Asin C 12 分 3 4 解后反思 1 在解三角形的有关问题中 对所给的边角关系式一般要先化为只含边之 间的关系或只含角之间的关系 再进行判断 2 在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向 方法与技巧 1 应熟练掌握和运用内角和定理 A B C 中互补和互余的情况 结合 A 2 B 2 C 2 2 诱导公式可以减少角的种数 9 2 正 余弦定理的公式应注意灵活运用 如由正 余弦定理结合得 sin2A sin2B sin2C 2sin B sin C cos A 可以进行化简或证明 失误与防范 1 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角 进而求出其他 的边和角时 有时可能出现一解 两解 所以要进行分类讨论 2 利用正 余弦定理解三角形时 要注意三角形内角和定理对角的范围的限制 A 组 专项基础训练 时间 35 分钟 满分 57 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2012 广东 在 ABC中 若 A 60 B 45 BC 3 则AC等于 2 A 4 B 2 C D 333 3 2 答案 B 解析 在 ABC中 AC sin B BC sin A AC 2 BC sin B sin A 3 2 2 2 3 23 2 2011 浙江 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若acos A bsin B 则 sin Acos A cos2B等于 A B C 1 D 1 1 2 1 2 答案 D 解析 acos A bsin B sin Acos A sin Bsin B 即 sin Acos A sin2B 0 sin Acos A 1 cos2B 0 sin Acos A cos2B 1 3 在 ABC中 a b c分别为角A B C所对的边 若a 2bcos C 则此三角形一定 是 A 等腰直角三角形 B 直角三角形 10 C 等腰三角形 D 等腰三角形或直角三角形 答案 C 解析 因为a 2bcos C 所以由余弦定理得a 2b 整理得b2 c2 因 a2 b2 c2 2ab 此三角形一定是等腰三角形 4 2012 湖南 ABC中 AC BC 2 B 60 则BC边上的高等于 7 A B C D 3 2 3 3 2 3 6 2 3 39 4 答案 B 解析 设AB a 则由AC2 AB2 BC2 2AB BCcos B知 7 a2 4 2a 即 a2 2a 3 0 a 3 负值舍去 BC边上的高为AB sin B 3 3 2 3 3 2 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 5 2011 北京 在 ABC中 若b 5 B sin A 则a 4 1 3 答案 5 2 3 解析 根据正弦定理应有 a sin A b sin B a bsin A sin B 5 1 3 2 2 5 2 3 6 2011 福建 若 ABC的面积为 BC 2 C 60 则边AB的长度等于 3 答案 2 解析 由于S ABC BC 2 C 60 3 2 AC AC 2 3 1 2 3 2 ABC为正三角形 AB 2 7 在 ABC中 若AB AC 5 且 cos C 则BC 5 9 10 答案 4 或 5 解析 设BC x 则由余弦定理AB2 AC2 BC2 2AC BCcos C得 5 25 x2 2 5 x 即x2 9x 20 0 解得x 4 或x 5 9 10 三 解答题 共 22 分 11 8 10 分 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 且满足 cos A 2 2 5 5 AB 3 AC 1 求 ABC的面积 2 若b c 6 求a的值 解 1 cos cos A 2cos2 1 A 2 2 5 5 A 2 3 5 sin A 又 3 bccos A 3 bc 5 4 5 AB AC S ABC bcsin A 5 2 1 2 1 2 4 5 2 由 1 知 bc 5 又b c 6 根据余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A b c 2 2bc 2bccos A 36 10 10 20 a 2 3 55 9 12 分 在 ABC中 a b c分别为角A B C的对边 4sin2 cos 2A B C 2 7 2 1 求A的度数 2 若a b c 3 求b c的值 3 解 1 B C A 即 B C 2 2 A 2 由 4sin2 cos 2A 得 4cos2 cos 2A B C 2 7 2 A 2 7 2 即 2 1 cos A 2cos2A 1 7 2 整理得 4cos2A 4cos A 1 0 即 2cos A 1 2 0 cos A 又 0 A 180 A 60 1 2 2 由A 60 根据余弦定理 cos A b2 c2 a2 2bc 即 得b2 c2 bc 3 b2 c2 a2 2bc 1 2 又b c 3 b2 c2 2bc 9 整理得bc 2 解 联立方程组得Error 或Error 12 B 组 专项能力提升 时间 25 分钟 满分 43 分 一 选择题 每小题 5 分 共 15 分 1 2012 上海 在 ABC中 若 sin2A sin2B sin2C 则 ABC的形状是 A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 不能确定 答案 A 解析 由正弦定理知 2R a sin A b sin B c sin C sin A sin B sin C a 2R b 2R c 2R sin2A sin2B sin2C a2 b2 c2 a2 4R2 b2 4R2 c2 4R2 cos C B C 3b 20acos A 则 sin A sin B sin C为 A 4 3 2 B 5 6 7 C 5 4 3 D 6 5 4 答案 D 解析 A B C a b c 设a b 1 c b 1 由 3b 20acos A得 3b 20 b 1 b2 b 1 2 b 1 2 2b b 1 13 化简 得 7b2 27b 40 0 解得b 5 或b 舍去 a 6 c 4 8 7 sin A sin B sin C 6 5 4 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 4 在 ABC中 a b c分别为 A B C的对边长 已知a b c成等比数列 且 a2 c2 ac bc 则 A ABC的形状为 答案 60 正三角形 解析 a b c成等比数列 b2 ac 又a2 c2 ac bc b2 c2 a2 bc 在 ABC中 由余弦定理得 cos A b2 c2 a2 2bc bc 2bc 1 2 A 60 由b2 ac 即a b2 c 代入a2 c2 ac bc 整理得 b c b3 c3