高中数学一轮复习 不等式选讲

用心 爱心 专心1 选修选修4 4 5 5 不等式选讲不等式选讲 随堂演练巩固 1 对于R R 不等式 x 10 x 2 的解集为 x 8 答案 0 解析 令y x 10 x 2 1210 28102 122 x xx x 则可画出其函数图象如图所示 由图象可以观察出使的x的范围为 8y 0 x 10 x 2 的解集为 8 0 2 2011江西高考 理15 对于实数x y 若 x 1 y 2 1 则 x 2y 1 的最大值为 1 答案 5 解析 x 2y 1 x 1 2 y 2 2 x 1 2 y 2 1 2 2 5 2 3 设函数f x 2x 4 1 1 画出函数y f x 的图象 2 若不等式的解集非空 求a的取值范围 f xax 解 1 由于f x 则函数y f x 的图象如图所示 252 232 xx xx 用心 爱心 专心2 2 由函数y f x 与函数y ax的图象可知 当且仅当或a 2时 函数y f x 与函数y ax的 1 2 a 图象有交点 故不等式的解集非空时 a的取值范围为 f xax 1 2 2 4 设a b是非负实数 求证 3322 abab ab 证明 由a b是非负实数 作差得 332222 abab abaaabbbba 55 abab 当时从而 ab ab 55 ab 得 55 0abab 当ab c 且a b c 0 证明 2 3 bac a 证明 2 2 33 bac baca a 2222 330bacaabac 2222 3 20aacacaacc c 0 2aca a b c a b c 0 a c 0 2a c a a c a b 0 即知 a c 2a c 0 故 2 3 bac a 6 已知求证 1 a b 1 b c 1 c a不能同时大于 0 1 a b c 1 4 证法一 假设三式同时大于 1 4 即有 111 1 1 1 444 a bb cc a 三式同向相乘 得 1 a a 1 b b 1 1 64 c c 用心 爱心 专心3 又 211 1 24 aa a a 同理 11 1 1 44 b bc c 1 a a 1 b与假设矛盾 1 1 64 bc c 结论正确 证法二 假设三式同时大于 1 4 0 a0 1 11 1 242 ab a b 同理都大于 1 1 22 bcca 1 2 三式相加 得矛盾 33 22 原命题成立 课后作业夯基 基础巩固 1 若不等式 x 1 x 2 对任意R R恒成立 则a的取值范围是 a x 答案 3 解析 方法一 x 1 x 2 x 1 x 2 3 使原不等式恒成立的a的取值范围是 3a 方法二 x 1 x 2 表示数轴上一点A x 到B 1 与C 2 的距离之和 而 BC 3 AB AC 3 3a 方法三 设f x x 1 x 2 1 21 312 212 x x x xx f x 的图象如图所示 3f x 3a 2 不等式 的解集是 2 2xx 2 34xx 答案 3 解析 2 2xx 2 2xx 而恒成立 2 20 xx 原不等式等价于 22 234xxxx 即2x 6 x 3 原不等式的解集为 3 用心 爱心 专心4 3 2011天津高考 理13 已知集合A R R x 3 x 4 9 B R R x x 1 46xt t 则集合 0 t AB 答案 x 25x 解析 解不等式 x 3 x 4 9 1 当x4时 x 3 x 4 349xx 即 5x 45x 综上所述 A R R x 45x 当且仅当时等号成立 0 t 11 462 462xtt tt 1 2 t B R R x 2x R R R R R R AB x 45x x 2x x 25x 4 如果关于x的不等式 x 3 x 4 1 解析 a x 3 x 4 令y x 3 x 4 min 由几何意义得故a 1 11y 5 若不等式 a 2 1对于一切非零实数x均成立 则实数a的取值范围是 1 x x 答案 1 3 解析 a 2 1 2 1 x x 2 即 a 2 1 解得1 a4 解法一 由 3x 2 4 得3x 24 即或x 2 2 3 x 所以原不等式的解集为 x 或x 2 2 3 x 解法二 数形结合法 画出函数y 3x 2 的图象 如下图所示 2 32 3 2 23 3 xx x x 3x 2 4 解得x 2或 2 3 x 用心 爱心 专心5 3x 2 4时或x 2 2 3 x 原不等式的解集为 x 或x 2 2 3 x 7 解不等式 x 2x 7 5 解 当时 x 2x 7 4 4 7 2 x x 7 2 当时 x 2x 7 5 x 2 7 0 2 x x0时 x 2x 7舍去 7 2 2 5 3 x 原不等式的解集为 4 2 8 若关于x的不等式x x 1 有解 求实数a的取值范围 a 解 设f x x x 1 则f x 211 11 xx x 所以f x 的最小值为1 所以当时有解 1a f xa 即实数a的取值范围是 1 9 解不等式x 2x 1 0 1 当a 1时 求不等式的解集 32f xx 2 若不等式的解集为 x 求a的值 0f x 1x 解 1 当a 1时可化为 x 1 32f xx 2 由此可得或 3x 1x 用心 爱心 专心6 故不等式的解集为 x 或 1 32f xx 3x x 2 由得 x a 0f x 30 x 此不等式化为不等式组 30 xa xax 或 30 xa axx 即 或 4 xa a x 2 xa a x 因为a 0 所以不等式组的解集为 x 2 a x 由题设可得故a 2 1 2 a 12 已知且求证 若a b c成等差数列 则不可能成等差数列 0abc ac 1 1 1 a b c 证明 假设成等差数列 则化简得b a c 2ac 1 1 1 a b c 112 acb 因为a b c成等差数列 所以a c 2b 把 代入 得由此得 2 4acac 2 0acac 这与相矛盾 因此假设不成立 故原命题正确 ac 13 2011安徽高考 理19 1 设证明x y 11xy 1 xy 1 x 1 xy y 2 设证明loglogloglogloglog 1abc ab bc ca ba cb ac 证明 1 由于所以 11xy 2111 1 xyxyxy xyyxxy xyxy 将上式中的右式减左式 得 y xy x y 1 2 xxy y x y 2 1 xyxy x xy 1 xy 1 x y xy 1 xy 1 xy x y 1 xy 1 x 1 y 1 既然所以 xy 1 x 1 11xy 1 0y 从而所要证明的不等式成立 2 设loglog ab x bc y 由对数的换底公式得loglogloglog ca 1 xy ba 1 x 1 cb y ac xy 于是 所要证明的不等式即为 111 xyxy xyxy 其中x loglog 1 ab y 1 bc 故由 1 可知所要证明的不等式成立 拓展延伸 14 已知函数f x x a 1 若不等式的解集为 x 求实数a的值 3f x 15x 2 在 1 的条件下 若对一切实数x恒成立 求实数m的取值范围 5 f xf xm 解法一 1 由得 x a 解得a 3 3f x 3 3a x 又已知不等式的解集为 x 3f x 15x 用心 爱心 专心7 所以 31 35 a a 解得a 2 2 当a 2时 f x x 2 设g x f x f x 5 于是 g x x 2 x 3 213 532 212 xx x xx 所以当x5 当时 g x 5 32x 当x 2时 g x 5 综上可得 g x 的最小值为5 从而 若