高考数学复习点拨 1.1教材解读 选修2-3

用心 爱心 专心 高中新课标选修 高中新课标选修 2 32 3 1 11 1 教材解读教材解读 一 分类加法计数原理 1 原理 完成一件事有两类不同方案 在第 1 类方案中有m种不同的方法 在第 2 类 方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有Nmn 种不同的方法 2 特点 两类方案中的任何一类的任何一种方法都可以完成这件事 并且两类方案中 所有方法互不相同 3 一般结论 完成一件事有n类不同方案 在第 1 类方案中有 1 m种不同的方法 在 第 2 类方案中有 2 m种不同的方法 在第n类方案中有 n m种不同的方法 那么完成这 件事共有 12n Nmmm 种不同的方法 4 注意事项 完成这件事的任何一种方法必属于某一类 并且分别属于不同两类的两 种方法是不同的方法 只有满足这些条件 即做到 不重不漏 才能用分类计数原理 二 分步乘法计数原理 1 原理 完成一件事需要两个步骤 做第 1 步有m种不同的方法 做第 2 步有n种不 同的方法 那么完成这件事共有Nmn 种不同的方法 2 特点 两个步骤缺一不可 并且经过两个步骤恰好完成这件事 3 一般结论 完成一件事需要n个步骤 做第 1 步有 1 m种不同的方法 做第 2 步有 2 m种不同的方法 做第n步有 n m种不同的方法 那么完成这件事共有 12n Nmmm 种不同的方法 4 注意事项 在分步乘法计数原理中 完成一件事分为若干个有联系的步骤 只有前 一个步骤完成后 才能进行下一个步骤 当各个步骤都依次完成后 这件事才算完成 但 每个步骤中可以有多种不同的方法 而这些方法之间是相互独立的 三 区别与联系 1 区别 在分类计数中 完成一件事 每一类中的每一种方法都可以达到目的 即都 可以完成这件事 在分步计数中 完成一件事 只有各个步骤都完成 才算完成此事 2 联系 1 都是探讨完成一件事情的方法种数 即计数问题 2 两个原理在处理问题时相互交织 互相渗透 四 典例分析 明确题目要完成什么事情 如何去完成 例 1 甲同学有若干本课外参考书 其中有 5 本不同的数学书 4 本不同的物理书 3 本不同的化学书 现在乙同学向甲同学借书 用心 爱心 专心 1 若借一本书 则有多少种不同的借法 2 若每科各借一本 则有多少种不同的借法 3 若借两本不同学科的书 则有多少种不同的借法 解 1 因为需完成的事情是 借一本 书 所以借给他数学 物理 化学书中的任 何一本 都可以完成这件事情 故用分类加法计数原理 共有 5 4 3 12 种不同的借法 2 需完成的事情是 每科各借一本 书 意味着要借给乙 3 本书 只有从数学 物 理 化学三科中各借一本 才能完成这件事情 故用分步乘法计数原理 共有 5 4 3 60 种不同的借法 3 需完成的事情是 从三种学科的书中借两本不同学科的书 要分三种情况 借一本数学书和一本物理书 只有两本书都借 事情才能完成 由分步计数原理 知有 5 4 20 种借法 借一本数学书和一本化学书 同理由分步乘法计数原理 知有 5 3 15 种借法 借一本物理书和一本化学书 同理由分步计数原理 知有 4 3 12 种借法 而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情 由分类计数原理 知共有 20 15 12 47 种 不同的借法 2 类与类 之间相互独立且并列 分类过程不重不漏 例 2 用 4 种不同的颜色对右图中 5 个区域涂色 4 种颜色全部使用 每 个区域涂一种颜色 相邻的区域不能同色 则共有多少种不同的涂色方法 解 由题意知 必有两个区域涂相同的颜色 从图形的形状可知 1 与 3 1 与 5 2 与 5 3 与 5 的区域可涂相同的颜色 这样可将问题分成四类 每一类均有 4 3 2 1 24 种涂色方法 所以共有 4 24 96 种涂色方法 3 步与步 之间相依且连续 但不能交叉重复 例 3 从 3 名男生 2 名女生中选 3 名同学参加代表大会 要求 3 名同学的性别不全相 同 有多少种选法 解 第一类 有 1 名女生 2 名男生 选法为 2 3 6 种 第二类 有 2 名女生 1 名男生 选法为 1 3 3 种 所以共有 6 3 9 种选法 五 特别提示 1 理解分类加法计数原理 要注意以下三点 1 清楚完成 一件事 的含意 即知道做 一件事 或完成一个 事件 在每个题 中的具体所指 2 解决 分类 问题用分类加法计数原理 需要分类的事件不妨叫做 独立事件 1 2 3 45 用心 爱心 专心 即完成事件通过途径 A 就不必再通过途径 B 就可以完成 每类办法都可以完成这件 事 注意各类之间的独立性和并列性 否则 不独立会出现重复 不并列会出现遗漏 3 每个问题中 标准不同 分类也不同 分类的基本要求是 每一种方法必属于某一 类 不漏 任意不同类的两种方法是不同的 不重复 2 理解分步乘法计数原理 要注意以下三点 1 清楚完成 一件事 的含意 即知道完成一个事件 在每个题中需要经过哪几个步 骤 2 分步 用乘法原理 需要分成若干个步骤 每个步骤都完成了 才算