高一数学必修一必修二各章知识点总结

数学必修数学必修 1 1 各章知识点总结各章知识点总结 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 一 集合 一 集合有关概念 1 集合的含义 2 集合的中元素的三个特性 确定性 互异性 无序性 3 集合的表示 1 常用数集及其记法 2 列举法 3 描述法 4 集合的分类 有限集 无限集 空集 5 常见集合的符号表示 数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N或 N N Z Q R 二 集合间的基本关系 1 子集 真子集 空集 2 有 n 个元素的集合 含有 2n个子集 2n 1个真子 集 3 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 三 集合的运算 运算类型交 集并 集补 集 定 义 由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合 叫做 A B 的 交集 记作 AB 读作 A 交 B 即 AB x x A 且 xB 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合 叫做 A B 的并集 记作 AB 读作 A 并 B 即 AB x xA 或 xB 设 U 是一个集合 A 是 U 的一个子集 由 U 中所有 不属于 A 的元素组成的集 合 叫做 U 中子集 A 的补 集 或余集 记作 即 U C A CUA x x UxA 且 韦 恩 图 示 AB 图 1 A B 图 2 性性 质质 AA A A AB BA ABA ABB AA A A A AB BA AB ABB CuA CuB Cu AB CuA CuB Cu AB A CuA U A CuA 二 函数 一 函数的有关概念 1 函数的概念 设 A B 是非空的数集 如果按照某个确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意一 个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数 记作 y f x x A 其中 x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 与 x 的值相对应 的 y 值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 定义域 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域 2 常用的函数表示法及各自的优点 解析法 必须注明函数的定义域 1 图象法 描点法作图要注意 确定函数的定义域 化简函数的解析式 观察函数的特征 2 列表法 选取的自变量要有代表性 应能反映定义域的特征 3 优点 解析法 便于算出函数值 列表法 便于查出函数值 图象法 便于量出函数值 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是 1 分式的分母不等于零 2 偶次方根的被开方数不小于零 3 对数式的真数必须大于零 4 指数 对数式的底必须大于零且不等于 1 5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 那么它的定义域是使各部分都有意义 的x的值组成的集合 6 指数为零底不可以等于零 7 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 相同函数的判断方法相同函数的判断方法 以下两点必须同时具备 1 表达式相同 与表示自变量和函数值的字母无关 2 定义域一致 求函数值域方法求函数值域方法 先考虑其定义域 1 函数的值域取决于定义域和对应法则 不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 2 应熟练掌握一次函数 二次函数 指数函数 对数函数的值域 它是求解复杂函数值域的基础 3 求函数值域的常用方法有 直接法 换元法 配方法 分离常数法 判别式法 单调性法等 2 函数图象知识归纳 1 定义 在平面直角坐标系中 以函数 y f x x A 中的x为横坐标 函数值y为纵坐标的点 P x y 的集合 C 叫做函数 y f x x A 的图象 C 上每一点的坐标 x y 均满足函数关系y f x 反过来 以满足y f x 的每一组有序实数对x y为坐标的点 x y 均在 C 上 函数图象既可以是连续的曲线 也可以是直线 折线 离散的点等等 注意判断一个图形是否是函数 图象的依据 2 画法 描点法 图象变换法 常用变换方法有三种 平移变换 对称变换 伸缩变换 3 区间的概念 1 区间的分类 开区间 闭区间 半开半闭区间 2 无穷区间 3 区间的数轴表示 4 映射 一般地 设 A B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应法则 f 使对于集合 A 中的任意一 个元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 那么就称对应 f AB 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射 记作 f 对应关系 A 原象集 B 象集 对于映射f A B来说 则应满足 1 集合A中的每一个元素 在集合B中都有象 并且象是唯一的 2 集合A中不同的元素 在集合B中对应的象可以是同一个 3 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象 5 分段函数 1 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数 2 各部分的自变量的取值情况 3 分段函数的定义域是各段定义域的交集 值域是各段值域的并集 二 函数的性质 1 函数的单调性 局部性质 1 定义 设函数 y f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间 D 上是增函数 区间 D 称为 y f x 的单调增 区间 U A 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 x2 当 x1 x2 时 都有 f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 区间 D 称为 y f x 的单调减区间 定义的变形应用 如果对任意的 且有或者 12 x xD 21 xx 0 12 12 xx xfxf 则函数在区间 D 上是增函数 如果对任意的 且 2121 0f xf xxx xf 12 x xD 有或者 则函数在区间 D 上是减函数 21 xx 21 21 0 f xf x xx 2121 0f xf xxx xf 注意 函数的单调性是函数的局部性质 2 图象的特点 如果函数y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么说函数y f x 在这一区间上具有 严格的 单 调性 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的 减函数的图象从左到右是下降的 3 函数单调区间与单调性的判定方法函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法 任取 x1 x2 D 且 x11 且 axn xannnN 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0 记作 00 n 当是奇数时 当是偶数时 naa nn n 0 0 a a a a aa nn 2 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定 1 0 nNnmaaa nm n m 1 0 11 nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没有意义 3 实数指数幂的运算性质 1 2 3 rsr s aaa 0 ar sR rsrs aa 0 Rsra r rr aba b 0 arR 二 指数函数及其性质 1 指数函数的概念 一般地 函数叫做指数函数 其中 x 是自变量 函数的定义域为 R 1 0 aaay x 且 注意 指数函数的底数的取值范围 底数不能是负数 零和 1 2 指数函数的图象和性质 a 10 a1 或 1a0a a x f x 且 b f a f 0 a10 a 1 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 112345678 0 1 1 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 112345678 0 1 1 定义域 0 定义域 0 值域为 R值域为 R 在 R 上递增在 R 上递减 函数图象都过定点 1 0 函数图象都过定点 1 0 三 幂函数 1 幂函数定义 一般地 形如的函数称为幂函数 其中为常 xy Ra 数 2 幂函数性质归纳 1 所有的幂函数在 0 都有定义并且图象都过点 1 1 2 当时 幂函数的图象通过原点 并且在区间上是增函数 特别地 当时 幂0 0 1 函数的图象下凸 当时 幂函数的图象上凸 10 3 当时 幂函数的图象在区间上是减函数 在第一象限内 当从右边趋向原点时 0 0 x 图象在轴右方无限地逼近轴正半轴 当趋于时 图象在轴上方无限地逼近轴正半轴 yyx xx 第三章第三章 函数的应用函数的应用 一 方程的根与函数的零点 1 函数零点的概念 对于函数 把使成立的实数叫做函数 Dxxfy 0 xfx 的零点 Dxxfy 2 函数零点的意义 函数的零点就是方程实数根 亦即函数的图象与 xfy 0 xf xfy 轴交点的横坐标 x 即 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 0 xf xfy x xfy 3 函数零点的求法 代数法 求方程的实数根 1 0 xf 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数的图象联系起来 并利用函数 2 xfy 的性质找出零点 4 二次函数的零点 二次函数 0 2 acbxaxy 1 方程有两不等实根 二次函数的图象与轴有两个交点 二次函数0 2 cbxaxx 有两个零点 2 方程有两相等实根 二次函数的图象与轴有一个交点 二次函数有0 2 cbxaxx 一个二重零点或二阶零点 3 方程无实根 二次函数的图象与轴无交点 二次函数无零点 0 2 cbxaxx 二 函数的应用 解答数学应用题的关键有两点 一是认真读题 缜密审题 确切理解题意 明确问题的实际背景 然后进行科学的抽象 概括 将实 际问题归纳为相应的数学问题 二是要合理选取参变数 设定变元后 就要寻找它们之间的内在联系 选用恰当的代数式表示问题中 的关系 建立相应的函数 方程 不等式等数学模型 最终求解数学模型使实际问题获解 数学必修数学必修 2 2 各章知识点总结各章知识点总结 第一章第一章 空间几何体空间几何体 1 1 柱 锥 台 球的结构特征 要补充直棱柱 正棱柱 正棱锥 正棱台 平行六面体的定义 柱 锥 台 球的结构特征 要补充直棱柱 正棱柱 正棱锥 正棱台 平行六面体的定义 结 构 特 征性质图例 棱 柱 1 两底面相互平 行 其余各面都是平 行四边形 2 侧棱平行且相 等 圆 柱 1 两底面相互平行 2 侧 面的母线平行于圆柱的轴 3 是以矩形的一边所在直线 为旋转轴 其余三边旋转形成的 曲面所围成的几何体 棱 锥 1 底面是多边形 各侧面均是三角形 2 各侧面有一个 公共顶点 圆 锥 1 底面是圆 2 是以直角 三角形的一条直角边所在的直线 为旋转轴 其余两边旋转形成的 曲面所围成的几何体 棱 台 1 两底面相互平 行 2 是用一个 平行于棱锥底面的平 面去截棱锥 底面和 截面之间的部分 圆 台 1 两底面相互平行 2 是用一个平行于圆锥底面 的平面去截圆锥 底面和截面之 间的部分 球 1 球心到球面上各点的距离相等 2 是以半圆的直径 所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的几何体 2 2 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图 三视图定义 正视图 光线从几何体的前面向后面正投影 侧视图 从左向右 俯视图 从上向下 注 正视图反映了物体的高度和长度 俯视图反映了物体的长度和宽度 侧视图反映了物体的高度和宽度 3 3 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图 斜二测画法斜二测画法 斜二测画法特点 斜二测画法特点 原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 轴平行且长度不变 原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 轴平行 长度为原来的一半 4 4 柱体 锥体 台体的表面积与体积 柱体 锥体 台体的表面积与体积 1 1 柱体 锥体 台体的表面积 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和 柱体 锥体 台体的表面积 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和 表面积相关公式表面积相关公式 棱柱 2SSS 侧全底 圆柱 r 底面半径 h 高 2 22Srrh 全 棱锥 SSS 侧全底 圆锥 r 底面半径 l 母线长 2 Srrl 全 棱台 SSSS 侧全上底下底 圆台 22 Srrr lrl 全 r 下底半径 r 上底半径 l 母线长 2 2 柱体 锥体 台体的体积公式 柱体 锥体 台体的体积公式 体积公式体积公式 棱柱 VSh A 底高 圆柱 2 Vr h 棱锥 1 3 VSh A 底高圆锥 2 1 3 Vr h 棱台 1 3 VSS SS h 圆台 22 1 3 Vrr rrh 3 3 球体的表面积和体积公式 球体的表面积和体积公式 V S 球 3 4 3 R 球面 2 4 R 第二章第二章 空间点 直线 平面之间的位置关系空间点 直线 平面之间的位置关系 1 1 空间点 直线 平面之间的位置关系 空间点 直线 平面之间的位置关系 1 1 平面 平面的概念 平面的概念 平面是无限伸展的 平面的表示 平面的表示 通常用希腊字母 表示 如平面 通常写在一个锐角内 也可以用两个相对顶点的字母来表示 如平面 BC 点与平面的关系 点与平面的关系 点A在平面内 记作 点不在平面内 记作 A A A 点与直线的关系 点与直线的关系 点A在直线l上 记作 A l 点A在直线l外 记作Al 直线与平面的关系直线与平面的关系 直线l在平面 内 记作l 直线l不在平面 内 记作l 2 2 平面基本性质即三条公理的 文字语言 符号语言 图形语言 列表如下 公理 1公理 2公理 3 图形 语言 文字 语言 如果一条直线上的两点 在一个平面内 那么这 条直线在此平面内 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 如果两个不重合的平面有一个 公共点 那么它们有且只有一 条过该点的公共直线 符号 语言 Al Bl l AB A B C A B C 不共线 确定平面 l PP Pl 公理 2 的三条推论 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 推论 2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 3 3 空间直线与直线之间的位置关系 空间直线与直线之间的位置关系 公理公理 4 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 空间两条直线的位置关系 相交直线 同一平面内 有且只有一个公共点 共面直线 平行直线 同一平面内 没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 异面直线判定 异面直线判定 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 异面直线所成角异面直线所成角 已知两条异面直线 经过空间任一点作直线 把所成的锐 a bO aa bb a b 角 或直角 叫异面直线所成的角 或夹角 所成的角的大小与点的选择无关 为了简便 a b a b O 点通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围为 如果两条异面直线所成的角是直O 0 90 角 则叫两条异面直线垂直 记作 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步 选点 平移 ab 定角 计算 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两角相等或互补等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两角相等或互补 4 4 空间直线与平面之间的位置关系 空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内 有无数个公共点 三种位置关系的符号表示 三种位置关系的符号表示 A a a a 5 5 平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 平行 没有公共点 记作 相交 有一条公共直线 记作 b 2 2 空间中的平行问题 空间中的平行问题 1 1 直线与平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行 则该直线与此平面平行 线线平行线面平行 符号表示为 ababa 线面平行的性质定理 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 线面平行线线平行 符号表示为 a aab b 2 2 平面与平面平行的判定及其性质 平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理两个平面平行的判定定理 1 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 线面平行 面面平行 用符号表示为 ababP ab 2 如果在两个平面内 各有两组相交直线对应平行 那么这两个平面平行 线线平行 面面平行 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理两个平面平行的性质定理 1 如果两个平面平行 那么一个平面内的直线与另一个平面平行 面面平行 线面平行 用符号表示为 a a 2 如果两个平行平面都和第三个平面相交 那么它们的交线平行 面面平行 线线平行 用符号表示为 b b a ab 3 3 空间中的垂直问题 空间中的垂直问题 1 1 线线 面面 线面垂直的定义 线线 面面 线面垂直的定义 两条异面直线的垂直 如果两条异面直线所成的角是直角 就说这两条异面直线互相垂直 线面垂直 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直 就说这条直线和这个平面垂直 平面和平面垂直 如果两个平面相交 所成的二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 是直二面角 平面角是直角 就说这两个平面垂直 2 2 垂直关系的判定和性质定理 垂直关系的判定和性质定理 线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理和性质定理 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直这个平面 线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直 用符号表示为 B lmlnmnm n l 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 用符号表示为 a b ab 面面垂直的判定定理和性质定理面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直 用符号表示为 a 性质定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内 垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面 面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直 用符号表示为 l a al a 4 4 空间角问题 空间角问题 1 1 直线与直线所成的角 直线与直线所成的角 两平行直线所成的角 规定为 0 两条相交直线所成的角 两条直线相交其中不大于直角的角 叫这两条直线所成的角 两条异面直线所成的角 过空间任意一点 O 分别作与两条异面直线a b平行的直线 形ba 成两条相交直线 这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角 2 2 直线和平面所成的角 直线和平面所成的角 平面的平行线与平面所成的角 规定为 0 平面的垂线与平面所成的角 规定为 90 平面的斜线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这 个平面所成的角 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角 一作 二证 三计算 3 3 二面角和二面角的平面角 二面角和二面角的平面角 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点 在两个面内面内分别作垂直于垂直于棱的两条射线 这两 条射线所成的角叫二面角的平面角 直二面角 平面角是直角的二面角叫直二面角 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角 那么这两个平面垂直 反过来 如果两个平面垂直 那 么所成的二面角为直二面角 求二面角的方法 定义法 在棱上选择有关点 过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到二面角平面角 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时 过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角 的平面角 第三章第三章 直线与方程直线与方程 1 1 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角与斜率 1 1 直线的倾斜角 直线的倾斜角 定义 x轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 特别地 当直线与x轴平行或重合时 我 a b 们规定它的倾斜角为 0 度 因此 倾斜角的取值范围是 0 180 2 2 直线的斜率 直线的斜率 定义 倾斜角不是 90 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 直线的斜率常用 k 表示 即 斜率反映直线与轴的倾斜程度 tank 当时 当时 当时 不存在 90 0 0 k 180 90 0 k 90 k 过两点的直线的斜率公式 21 12 12 xx xx yy k 设 则线段 AB 中点坐标公式为 1122 A x yB xy 1212 22 xxyy 2 2 直线的方程 直线的方程 1 1 直线方程的几种形式 直线方程的几种形式 名称方程适用范围 点斜式y y0 k x x0 不含垂直于x轴的直线 斜截式y kx b不含垂直于x轴的直线 两点式y y1y2 y1 x x1x2 x1不含直线x x1 x1 x2 和直线y y1 y1 y2 截距式xa yb 1不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax By C 0 A2 B2 0 平面直角坐标系内的直线都适用 注意 注意 各式的适用范围 1 特殊的方程如 2 平行于x轴的直线 b为常数 平行于y轴的直线 a为常数 by ax 2 2 直线系方程 即具有某一共同性质的直线 直线系方程 即具有某一共同性质的直线 平行直线系 平行直线系 平行于已知直线 是不全为 0 的常数 的直线系方程为 0 000 CyBxA 00 B A C为参数 0 00 CyBxA 垂直直线系 垂直直线系 垂直于已知直线 是不全为 0 的常数 的直线系方程为 0 000 CyBxA 00 B A C为参数 0 00 CyAxB 过定点的直线系过定点的直线系 斜率为k的直线系方程为 直线过定点 00 xxkyy 00 y x 过两条直线 的交点的直线系方程为0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 为参数 其中直线不在直线系中 0 222111 CyBxACyBxA 2 l 3 3 两直线平行与垂直 两直线平行与垂直 已知 则 111 bxkyl 222 bxkyl 212121 bbkkll 1 2121 kkll 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否 4 4 两条直线的交点 两条直线的交点 相交 交点坐标即方程组的一组解 0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 方程组无解 方程组有无数解与重合 21 l l 1 l 2 l 5 5 距离公式 距离公式 1 平面上任意两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 间的距离为 P1P2 22 2121 xxyy 特别地 当所在直线与x轴平行时 当所在直线与y轴平行时 12 P P 1212 PPxx 12 P P 1212 PPyy 2 平面上任意一点P0 x0 y0 到直线l Ax By C 0 A B不同时为 0 的距离为 d Ax0 By0 C r A2 B2 3 两条平行直线l1 Ax By C1 0 l2 Ax By C2 0 其中A B不同时为 0 且C1 C2 间的距离 为d C1 C2 r A2 B2 第三章第三章 圆与方程圆与方程 1 1 圆的定义 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆 定点为圆心 定长为圆的半径 2 2 圆的方程 圆的方程 1 1 标准方程 标准方程 圆心 半径为 2 22 rbyax ba r 2 2 一般方程 一般方程0 22 FEyDxyx 当时 方程表示圆 此时圆心为 半径为04 22 FED 2 2 ED FEDr4 2 1 22 当时 表示一个点 当时 方程不表示任何图形 04 2