高中数学论文：点差法在高考中的应用

点差法公式在高考中的应用点差法公式在高考中的应用 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型 在选择题 填空题和解答题中都是命题的 热点 它的一般方法是 联立直线和圆锥曲线的方程 借助于一元二次方程的根的判别式 根与系数的关系 中点坐标公式及参数法求解 若已知直线与圆锥曲线的交点 弦的端点 坐标 将这两点代入圆锥曲线的方程并对 所得两式作差 得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子 可以大大减少运算量 我们称这 种代点作差的方法为 点差法 它的一般结论叫做点差法公式 本文就抛物线的点差法 公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨 以飨读者 定理定理 1 1 在椭圆在椭圆 0 0 中 若直线 中 若直线 与椭圆相交于与椭圆相交于 M M N N 两点 点两点 点1 2 2 2 2 b y a x abl 是弦是弦 MNMN 的中点 弦的中点 弦 MNMN 所在的直线所在的直线 的斜率为的斜率为 则 则 00 yxPl MN k 2 2 0 0 a b x y kMN 证明 设 M N 两点的坐标分别为 则有 11 yx 22 yx 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 b y a x b y a x 得 2 1 0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 b yy a xx 2 2 12 12 12 12 a b xx yy xx yy 又 2 2 21 21 12 12 x y x y xx yy xx yy kMN 2 2 a b x y kMN 同理可证 在椭圆同理可证 在椭圆 0 0 中 若直线 中 若直线 与椭圆相交于与椭圆相交于 M M N N 两点 两点 1 2 2 2 2 a y b x abl 点点是弦是弦 MNMN 的中点 弦的中点 弦 MNMN 所在的直线所在的直线 的斜率为的斜率为 则 则 00 yxPl MN k 2 2 0 0 b a x y kMN 定理定理 2 2 在双曲线在双曲线 0 0 0 0 中 若直线 中 若直线 与双曲线相交于与双曲线相交于 M M N N 两点 两点 1 2 2 2 2 b y a x abl 点点 是弦是弦 MNMN 的中点 弦的中点 弦 MNMN 所在的直线所在的直线 的斜率为的斜率为 则 则 00 yxPl MN k 2 2 0 0 a b x y kMN 证明 设 M N 两点的坐标分别为 则有 11 yx 22 yx 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 b y a x b y a x 得 2 1 0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 b yy a xx 2 2 12 12 12 12 a b xx yy xx yy 又 2 2 0 0 0 0 21 21 12 12 x y x y xx yy xx yy kMN 2 2 0 0 a b x y kMN 同理可证 在双曲线同理可证 在双曲线 0 0 0 0 中 若直线 中 若直线 与双曲线相交于与双曲线相交于1 2 2 2 2 b x a y abl M M N N 两点 点两点 点是弦是弦 MNMN 的中点 弦的中点 弦 MNMN 所在的直线所在的直线 的斜率为的斜率为 则 则 00 yxPl MN k 2 2 0 0 b a x y kMN 定理定理 3 3 在抛物线在抛物线中 若直线中 若直线 与抛物线相交于与抛物线相交于 M M N N 两点 点两点 点 0 2 2 mmxyl 是弦是弦 MNMN 的中点 弦的中点 弦 MNMN 所在的直线所在的直线 的斜率为的斜率为 则 则 00 yxPl MN kmykMN 0 证明 设 M N 两点的坐标分别为 则有 11 yx 22 yx 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 mxy mxy 得 2 1 2 21 2 2 2 1 xxmyy 2 12 12 12 myy xx yy 又 012 12 12 2 yyy xx yy kMN mykMN 0 注意 能用这个公式的条件 注意 能用这个公式的条件 1 1 直线与抛物线有两个不同的交点 直线与抛物线有两个不同的交点 2 2 直线的斜 直线的斜 率存在率存在 同理可证 在抛物线同理可证 在抛物线中 若直线中 若直线 与抛物线相交于与抛物线相交于 M M N N 两点 点两点 点 0 2 2 mmyxl 是弦是弦 MNMN 的中点 弦的中点 弦 MNMN 所在的直线所在的直线 的斜率为的斜率为 则 则 00 yxPl MN kmx kMN 0 1 注意 能用这个公式的条件 注意 能用这个公式的条件 1 1 直线与抛物线有两个不同的交点 直线与抛物线有两个不同的交点 2 2 直线的斜 直线的斜 率存在 且不等于零率存在 且不等于零 典题妙解典题妙解 例例 1 1 0909 年四川 已知椭圆年四川 已知椭圆 0 0 的左 右焦点分别为 的左 右焦点分别为 1 2 2 2 2 b y a x ab 1 F 离心率 离心率 右准线方程为 右准线方程为 2 F 2 2 e2 x 求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程 过点过点的直线的直线 与该椭圆相交于与该椭圆相交于 M M N N 两点 且两点 且 求直线 求直线 1 Fl 3 262 22 NFMF 的方程的方程 l 解 根据题意 得 2 2 2 2 c a x a c e 1 1 2 cba 所求的椭圆方程为 1 2 2 2 y x 椭圆的焦点为 设直线 被椭圆所截的弦 MN 的中点为 0 1 1 F 0 1 2 Fl yxP 由平行四边形法则知 PFNFMF 222 2 由得 3 262 22 NFMF 3 26 2 PF 9 26 1 22 yx 若直线 的斜率不存在 则轴 这时点 P 与重合 lxl 0 1 1 F 与题设相矛盾 故直线 的斜率存在 4 2 1222 FFNFMFl 由得 2 2 a b x y kMN 2 1 1 x y x y 2 1 22 xxy 代入 得 9 26 2 1 1 22 xxx 整理 得 017459 2 xx 解之得 或 3 17 x 3 2 x 由 可知 不合题意 3 17 x 从而 3 2 x 3 1 y 1 1 x y k 所求的直线 方程为 或 l1 xy1 xy 例例 2 2 设双曲线设双曲线的中心在原点 以抛物线的中心在原点 以抛物线的顶点为双曲线的右焦点 抛的顶点为双曲线的右焦点 抛C432 2 xy 物线的准线为双曲线的右准线 物线的准线为双曲线的右准线 试求双曲线 试求双曲线 C C 的方程 的方程 设直线 设直线与双曲线与双曲线交于交于两点 求两点 求 21l yx C A BAB 对于直线 对于直线 是否存在这样的实数 是否存在这样的实数 使直线 使直线 与双曲线与双曲线的交点的交点1 kxylklC 关于直线关于直线 为常数为常数 对称 若存在 求出对称 若存在 求出值 若不存在 值 若不存在 A B4 axylak 请说明理由 请说明理由 解 由得 2 2 34yx 3 2 32 2 xy 抛物线的顶点是 准线是 3 p 0 3 2 32 1 3 2 2 3 x 在双曲线 C 中 32 1 3 2 2 c a c 1 3 1 22 ba 双曲线 C 的方程为 13 22 yx 由得 1 3 12 22 yx xy 024 2 xx 设 则 2211 yxByxA2 4 2121 xxxx 102 24 4 21 4 1 22 21 2 21 2 xxxxkAB 假设存在这样的实数 使直线 与双曲线的交点关于直线对称 则klC A B l 是线段 AB 的垂直平分线 因而 从而 设线段 AB 的中点为 l k a 1 4 1 x k yl 00 yxP 由得 2 2 0 0 a b x y kAB 3 0 0 x y k 00 3xky 由得 4 1 00 x k y kxky4 00 由 得 3 00 ykx 由得 1 00 kxy13 2 k 2 k 又由得 1 13 22 kxy yx 0 22 3 22 kxxk 直线 与双曲线 C 相交于 A B 两点 l 0 即 6 且 3 84 22 kk 2 k3 2 k 符合题意的的值存在 k2 k 例例 3 3 0505 全国全国 文文 2222 设 设两点在抛物线两点在抛物线上 上 是是 ABAB 的垂的垂 2211 yxByxA 2 2xy l 直平分线直平分线 当且仅当 当且仅当取何值时 直线取何值时 直线 经过抛物线的焦点经过抛物线的焦点 F F 证明你的结论 证明你的结论 21 xx l 当 当时 求直线时 求直线 的方程的方程 3 1 21 xxl 解 yx 2 1 2 8 1 0 4 1 Fp 设线段 AB 的中点为 直线 的斜率为 则 00 yxPlk 021 2xxx 若直线 的斜率不存在 当且仅当时 AB 的垂直平分线 为轴 经过抛物线l0 21 xxly 的焦点 F 若直线 的斜率存在 则其方程为 l 00 yxxky k kAB 1 由得 px kAB 0 1 4 1 0 kx k x 4 1 0 若直线 经过焦点 F 则得 与相矛盾 l 000 4 1 8 1 yykx 4 1 0 y0 0 y 当直线 的斜率存在时 它不可能经过抛物线的焦点 F l 综上所述 当且仅当时 直线 经过抛物线的焦点 F 0 21 xxl 当时 3 1 21 xx 10 2 1 2 18 3 2 1 21 0 21 0 yy y xx xBA 由得 px kAB 0 1 4 1 k 所求的直线 的方程为 即 l10 1 4 1 xy 0 414 yx 练习练习 1 05 湖北 设 A B 是椭圆上的两点 点是线段 AB 的中点 线段 AB 22 3yx 3 1 N 的垂直平分线与椭圆相交于 C D 两点 1 确定的取值范围 并求直线 AB 的方程 2 略 2 02 江苏 设 A B 是双曲线上两点 点是线段 AB 的中点 1 2 2 2 y x 2 1 N 1 求直线 AB 的方程 2 如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C D 两点 那么 A B C D 四点是否共 圆 为什么 3 08 陕西理 20 已知抛物线 直线交 C 于 A B 两点 M 是线段 2 2xyC 2 kxy AB 的中点 过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N 证明 抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行 是否存在实数使 若存在 求的值 若不存在 请说明理由k0 NBNAk 参考答案参考答案 1 1 解 1 点在椭圆内 即 12 3 1 N 22 3yx 22 313 的取值范围是 12 由得 焦点在 y 轴上 22 3yx1 3 22 xy 3 22 ba 若直线 AB 的斜率不存在 则直线 AB轴 根据椭圆的对称性 线段 AB 的中点 N 在 xx 轴上 不合题意 故直线 AB 的斜率存在 由得 2 2 b a x y kAB 3 1 3 AB k 1 AB k 所求直线 AB 的方程为 即 1 13 xy04 yx 从而线段 AB 的垂直平分线 CD 的方程为 即 1 13 xy02 yx 2 2 解 1 焦点在上 由得 2 1 22 bax 2 2 0 0 a b x y kAB 22 AB k 1 AB k 所求的直线 AB 方程为 即 1 12 xy01 yx 2 设直线 CD 的方程为 点在直线 CD 上 0 myx 2 1 N 021 m3 m 直线 CD 的方程为 03 yx 又设弦 CD 的中点为 由得 即 yxM 2 2 a b x y kCD 21 x y xy2 由得 2 03 xy yx 6 3 yx 点 M 的坐标为 6 3 又由得 1 2 01 2 2 y x yx 4 3 0 1 BA 由两点间的距离公式可知 102 MDMCMBMA 故 A B C D 四点到点 M 的距离相等 即 A B C D 四点共圆 8 证明 设点 M 的坐标为 4 1 2 1 2 pmyx 00 yx 当时 点 M 在 y 轴上 点 N 与原点 O 重合 抛物线 C0 k 在点 N 处的切线为 x 轴 与 AB 平行 当时 由得 0 kpx kAB 0 1 4 0 k x 得点 N 的坐标为 8 2 2 2 0 k xyN 8 4 2 kk 设抛物线 C 在点 N 处的切线方程为 即 4 8 2 k xm k y 8 4 2 kk xmy 代入 得 2 2xy 8 4 2 2 2 kk xmx 整理得 0 84 2 2 2 kkm mxx 0 2 84 8 222 2 2 kmkkmm kkm m 即抛物线 C 在点 N 处的切线的斜率等于直线 AB 的斜率 km 故抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行 解 若 则 即 0 NBNANBNA 90A