（新课程）高中数学《3.1.3 空间向量的数量积（1）》教案 新人教A版选修2-1

1 向量的数量积 向量的数量积 2 2 一 教学目标 一 教学目标 向量的数量积运算向量的数量积运算 利用向量的数量积运算判定垂直 求模 求角利用向量的数量积运算判定垂直 求模 求角 二 教学重点 二 教学重点 向量的数量积运算向量的数量积运算 利用向量的数量积运算判定垂直 求模 求角利用向量的数量积运算判定垂直 求模 求角 三 教学方法 练习法 纠错法 归纳法三 教学方法 练习法 纠错法 归纳法 四 教学过程 四 教学过程 考点一 向量的数量积运算考点一 向量的数量积运算 一 一 知识要点 知识要点 1 定义 设 则 的范围为 a b a b A 设 则 11 ax y 22 bxy a b A 注 不能写成 或 的结果为一个数值 a b Aab a b a b A 2 投影 在方向上的投影为 b a 3 向量数量积运算律 a bb a AA a ba bab AAA ab ca cb c AAA 注 没有结合律 a b ca b c A AA A 二 例题讲练二 例题讲练 1 下列命题 若 则 中至少一个为 若且 则0a b Aa b 0 a 0 a ba c AAbc a b ca b c A AA A 22 32 32 94ababab A 中正确有个数为 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 2 已知中 A B C 所对的边为 a b c 且 a 3 b 1 C 30 则 ABC BC CA A 3 若 满足 且 则 a b c 0abc 3 1 4abc a bb ca c AAA 4 已知 且与的夹角为 则在上的投影为 2ab a b 3 ab a 考点二 向量数量积性质应用考点二 向量数量积性质应用 一 一 知识要点 知识要点 用于判定垂直问题 0aba b A 用于求模运算问题 2 aa 2 用于求角运算问题 cos a b a b A 二 例题讲练二 例题讲练 1 已知 且与的夹角为 求当 m2a 3b a b 2 32cab dmab 为何值时cd 2 已知 则 1a 1b 323ab 3ab 3 已知和是非零向量 且 求与的夹角a b a b ab a ab 4 已知 且和不共线 求使与的夹角是锐角时4a 2b a b ab ab 的取值范围 巩固练习巩固练习 1 已知和是两个单位向量 夹角为 则 等于 1 e 2 e 3 12 ee 12 32 ee A A 8 B C D 8 9 2 5 2 2 已知和是两个单位向量 夹角为 则下面向量中与垂直的是 1 e 2 e 3 21 2ee A B C D 12 ee 12 ee 1 e 2 e 3 在中 设 若 则 ABC ABa BCb CAc0 baaABC 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 无法判定 A B C D 4 已知和是非零向量 且与垂直 与垂直 求与a b 3ab 75ab 4ab 72ab a 的夹角 b 5 已知 是非零的单位向量 且 求证 OA OB OC OA OB OC 0 为正三角形 ABC 3 1 53 1 5 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 课题向量的坐标 教学目的要求 1 理解空间向量与有序数组之间的 1 1 对应关系 2 掌握投影定理 分向量及方向余弦的坐标表示 3 主要内容与时间分配 1 投影与投影定理 25 分钟 2 分向量与向量的坐标 30 分钟 3 模与方向余弦的坐标表示 35 分钟 重点难点 1 投影定理 2 分向量 3 方向余弦的坐标表示 教学方法和手段启发式教学法 使用电子教案 一 向量在轴上的投影一 向量在轴上的投影 1 几个概念 1 轴上有向线段的值 设有一轴 是轴上的有向线段 如果数满足uABu 且当与轴同向时是正的 当与轴反向时是负的 那么数叫AB ABu ABu 做轴上有向线段的值 记做AB 即 设e e是与轴同方向的单位向量 则uABAB u e AB 2 设A B C是u u轴上任意三点 不论三点的相互位置如何 总有BCABAC 3 两向量夹角的概念 设有两个非零向量和b b 任取空间一点O 作 aa OA 规定不超过的称为向量和b b的夹角 记为b OB AOB a ba 4 空间一点A在轴上的投影 通过点A作轴的垂直平面 该平面与轴的交点uuu 叫做点A在轴上的投影 Au 5 向量在轴上的投影 设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别ABuABu 为点和 那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影 记做 A Bu B AABu ABjuPr 2 投影定理 性质 1 向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦 u cosPrABABju 性质 2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和 即 2121 aaaajjjuPrPr Pr 4 性质 3 向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法 即 aajjuPr Pr 二 向量在坐标系上的分向量与向量的坐标二 向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1 向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法 使平面上或空间的点与有序数组之间建立 了一一对应关系 同样地 为了沟通数与向量的 研究 需要建立向量与有序数之间的对应关系 设a a 是以为起点 21M M 1111 zyxM 为终点的向量 i i j j k k分别表示 图 7 5 2222 zyxM 沿x y z轴正向的单位向量 并称它们为这一坐标系的基本单位向量 由图 7 5 并应 用向量的加法规则知 i i j j k k 1221 xxMM 12 yy 12 zz 或a a ax i i ayj j azk k 上式称为向量a a按基本单位向量的分解式 有序数组ax ay az与向量a a一一对应 向量a a在三条坐标轴上的投影ax ay az就 叫做向量a a的坐标 并记为 a a ax ay az 上式叫做向量a a的坐标表示式 于是 起点为终点为的向量可以表示为 1111 zyxM 2222 zyxM 12121221 zzyyxxMM 特别地 点对于原点O的向径 zyxM zyxOM 注意注意 向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别 向量a a在坐标轴上的投影是三个数ax ay az 向量a a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i i ayj j azk k 2 向量运算的坐标表示 设 即 zyx aaa a zyx bbb bkjia zyx aaa kjib zyx bbb 5 则 1 加法 kjiba zzyyxx bababa 减法 kjiba zzyyxx bababa 乘数 kjia zyx aaa 或 zzyyxx bababa ba zzyyxx bababa ba zyx aaa a 平行 若a a 0 0 时 向量相当于 即ab ab zyxzyx aaabbb 也相当于向量的对应坐标成比例即 z z y y x x a b a b a b 三 向量的模与方向余弦的坐标表示式三 向量的模与方向余弦的坐标表示式 设 可以用它与三个坐标轴的 zyx aaa a 夹角 均大于等于 0 小于等于 来表 示它的方向 称为非零向量a a的方向角 见图 7 6 其余弦表示形式称为 coscoscos 方向余弦 图7 6 1 模 222 zyx aaa a 2 方向余弦 由性质 1 知 当时 有 coscos coscos coscos 21 21 21 a a a MMa MMa MMa z y x 0 222 zyx aaaa 6 222 222 222 cos cos cos zyx zz zyx yy zyx xx aaa aa aaa aa aaa aa a a a 任意向量的方向余弦有性质 1coscoscos 222 与非零向量a a同方向的单位向量为 cos cos cos 1 zyx aaa aa a a 0 3 例子 已知两点M1 2 2 M2 1 3 0