【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第一章4 空间图形的基本关系与公理第2课时目标导学 北师大版必修2

1 第第 2 2 课时课时 公理公理 4 4 平行公理平行公理 与异面直线所成的角与异面直线所成的角 问题导学问题导学 1 公理 4 的应用 活动与探究 1 在空间四边形ABCD中 E F G H分别为AB BC CD AD上的点且 2 3 AECF EBFB 请回答并证明当空间四边形ABCD的四条边及点G H满足什么条件时 四边形EFGH 1 为平行四边形 2 为菱形 迁移与应用 如图 已知E F G H分别是空间四边形ABCD的边AB BC CD DA的中点 1 求证 四边形EFGH是平行四边形 2 若四边形EFGH是矩形 求证 AC BD 空间中证明两直线平行的方法 1 借助平面几何知识 如三角形的中位线性质 平行四边形的性质 成比例线段平 行 2 利用公理 4 即证明两条直线都与第三条直线平行 2 等角定理的应用 活动与探究 2 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M M1分别是棱AD和A1D1的中点 1 求证 四边形BB1M1M为平行四边形 2 求证 BMC B1M1C1 迁移与应用 如图 空间图形A BCD的四个面分别为 ABC ACD ADB和 BCD E F G分别 是线段AB AC AD上的点 且满足AE AB AF AC AG AD 求证 EFG BCD 2 1 要明确等角定理的两个条件 即两个角的两条边分别对应平行 并且方向相同 这 两个条件缺一不可 2 空间中证明两个角相等 可以利用等角定理 也可以利用三角形的相似或全等 还 可以利用平行四边形的对角相等 在利用等角定理时 关键是弄清楚两个角对应边的关 系 3 异面直线及其所成的角 活动与探究 3 如图 已知正方体ABCD A B C D 1 哪些棱所在的直线与直线BC 是异面直线 2 求异面直线AD 与B C A C与AB所成角的正切值 迁移与应用 已知正方体ABCD A B C D 求 1 BC 与CD 所成的角 2 AD与BC 所成的角 由异面直线所成角的定义求异面直线所成角的一般步骤是 平移 构造三角形 解三 角形 作答 在几何体中进行平移构造异面直线所成角时 一般选择两异面直线中一条上 的一点 或几何体顶点 棱的中点等特殊点 当堂检测当堂检测 1 空间两个角 的两边分别对应平行 且 50 则 等于 A 50 B 130 C 40 D 50 或 130 2 空间四边形的两条对角线长度相等 顺次连接四条边的中点得到的四边形是 A 梯形 B 平行四边形 3 C 菱形 D 矩形 3 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是棱BC CC1的中点 则异面直线EF 与B1D1所成的角为 第 3 题图 4 如图所示 在三棱锥P ABC的六条棱所在的直线中 异面直线共有 对 第 4 题图 提示 用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识 的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记 答案 答案 课前预习导学课前预习导学 预习导引 1 平行 a c 预预习交流习交流 1 提示 1 本质 表明了空间中线线平行的传递性 2 作用 公理 4 给出了空间两条直线平行的一种证明方法 它是论证平行问题的主要 依据之一 也是研究空间两直线的位置关系 直线与平面位置关系的基础 3 关键 寻找第三条直线分别与前两条直线平行是应用公理 4 证明线线平行的关键 2 相等或互补 预习交流预习交流 2 提示 相等 互补 3 不在 预习交流预习交流 3 提示 一定不相交 若对角线相交 则四个顶点共面 这与定义中四个 顶点不共面相矛盾 4 锐角 直角 互相垂直 预习交流预习交流 4 提示 两条异面直线所成角的范围是 0 90 课堂合作探究课堂合作探究 问题导学 活动与探究活动与探究 1 思路分析 由 可想到证明EF AC 为使四边形EFGH为平 AE EB CF FB 2 3 行四边形 需证明GH EF 且GH AC 为使四边形EFGH为菱形 在 1 成立的情况下 还 需证明EH EF 进一步可得AC BD的关系 解 解 1 当 时 AH HD CG GD 2 3 4 四边形EFGH为平行四边形 理由 AE EB CF FB 2 3 EF AC且EF AC 3 5 若 AH HD CG GD 2 3 则HG AC且HG AC 3 5 EF HG EF HG 四边形EFGH为平行四边形 2 当 且AC BD时 四边形EFGH为菱形 AH HD CG GD 2 3 2 3 理由 由 1 知 若 AH HD CG GD 2 3 则四边形EFGH为平行四边形 且EF AC EH BD 若AC BD 则 3 5 2 5 2 3 EF AC BD EH 3 5 2 5 平行四边形EFGH为菱形 迁移与应用迁移与应用 证明 1 如题图 在 ABD中 EH是 ABD的中位线 EH BD EH BD 1 2 又FG是 CBD的中位线 FG BD FG BD 1 2 FG EH E F G H四点共面 又FG EH 四边形EFGH是平行四边形 2 由 1 知EH BD 同理AC GH 四边形EFGH是矩形 EH GH AC BD 活动与探究活动与探究 2 思路分析 1 欲证四边形BB1M1M是平行四边形 可证其一组对边平行 且相等 2 可结合 1 利用定理证明或利用三角形全等证明 证明 1 在正方形ADD1A1中 M M1分别为AD A1D1的中点 MM1 AA1 MM1 AA1 又 AA1 BB1 AA1 BB1 MM1 BB1 且MM1 BB1 四边形BB1M1M为平行四边形 2 方法一 由 1 知四边形BB1M1M为平行四边形 B1M1 BM 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形 C1M1 CM 由平面几何知识可知 BMC和 B1M1C1都是锐角 BMC B1M1C1 方法二 由 1 知四边形BB1M1M为平行四边形 B1M1 BM 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形 C1M1 CM 又 B1C1 BC BCM B1C1M1 BMC B1M1C1 5 迁移与应用迁移与应用 证明 在 ABD中 AE AB AG AD EG BD 同理 GF DC EF BC 又 GEF与 DBC两组对边方向分别相同 GEF DBC 同理 EGF BDC EFG BCD 活动与探究活动与探究 3 思路分析 1 按照异面直线的定义进行判断 2 根据异面直线所成 角的定义进行求解 解 解 1 所在直线与BC 是异面直线的棱有 AA DD A B DC AD A D 2 因为AD BC 所以AD 与B C所成的角就是BC 与B C所成的角 而 BC B C 所以AD 与B C所成的角等于 90 其正切值不存在 因为AB CD 所以 A CD就是异面直线A C与AB所成的角 在 A CD中 若设正方体棱长为a 则CD a A D a A C a 23 因此 A CD是直角三角形 于是 tan A CD 2a a2 迁移与应用