学习乘法公式应注意的问题

学习乘法公式应注意的问题学习乘法公式应注意的问题 乘法公式是初中数学中的重要公式之一 应用也很广泛 但要真正学好它 必须注意以下几点 一 注意掌握公式的特征 认清公式中的一 注意掌握公式的特征 认清公式中的 两数两数 例例 1 计算 2x2 5 2x2 5 分析 本题两个因式中 5 相同 2x2 符号相反 因而 5 是公式 a b a b a2 b2中的 a 而 2x2 则是公式中的 b 解 原式 5 2x2 5 2x2 5 2 2x2 2 25 4x4 例例 2 计算 a2 4b 2 分析 运用公式 a b 2 a2 2ab b2时 a2 就是公式中的 a 4b 就是公式中的 b 若将题目 变形为 4b a2 2时 则 4b 是公式中的 a 而 a2 就是公式中的 b 解略 二 注意为使用公式创造条件二 注意为使用公式创造条件 例例 3 计算 2x y z 5 2x y z 5 分析 粗看不能运用公式计算 但注意观察 两个因式中的 2x 5 两项同号 y z 两项异号 因而 可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式 解 原式 2x 5 y z 2x 5 y z 2x 5 2 y z 2 4x2 20 x 25 y 2yz z2 例例 4 计算 a 1 2 a2 a 1 2 a6 a3 1 2 分析 若先用完全平方公式展开 运算十分繁冗 但注意逆用幂的运算法则 则可利用乘法公式 使运算简便 解 原式 a 1 a2 a 1 a6 a3 1 2 a3 1 a6 a3 1 2 a9 1 2 a18 2a9 1 例例 5 计算 2 1 22 1 24 1 28 1 分析 此题乍看无公式可用 硬乘 太繁 但若添上一项 2 1 则可运用公式 使问题化繁 为简 解 原式 2 1 2 1 22 1 24 1 28 1 22 1 22 1 24 1 28 1 24 1 24 1 28 1 28 1 28 1 216 1 三 注意公式的推广三 注意公式的推广 计算多项式的平方 由 a b 2 a2 2ab b2 可推广得到 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 可叙述为 多项式的平方 等于各项的平方和 加上每两项乘积的 2 倍 例例 6 计算 2x y 3 2 解 解 原式 2x 2 y2 3 2 2 2x y 2 2x 3 2 y 3 4x2 y2 9 4xy 12x 6y 四 注意公式的变换 灵活运用变形公式四 注意公式的变换 灵活运用变形公式 例例 7 1 已知 x y 10 x3 y3 100 求 x2 y2的值 2 已知 x 2y 7 xy 6 求 x 2y 2的值 分析 粗看似乎无从下手 但注意到乘法公式的下列变形 x2 y2 x y 2 2xy x3 y3 x y 3 3xy x y x y 2 x y 2 4xy 问题则十分简单 解 1 x3 y3 x y 3 3xy x y 将已知条件代入得 100 103 3xy 10 xy 30 故 x2 y2 x y 2 2xy 102 2 30 40 2 x 2y 2 x 2y 2 8xy 72 8 6 1 例例 8 计算 a b c 2 a b c 2 a b c b a c 2 分析 直接展开 运算较繁 但注意到由和及差的完全平方公式可变换出 a b 2 a b 2 2 a2 b2 因而问题容易解决 解 原式 a b c 2 a b c 2 c a b 2 c a b 2 2 a b 2 c2 2 c2 a b 2 2 a b 2 a b 2 4c2 4a2 4b2 4c2 五 注意乘法公式的逆运用五 注意乘法公式的逆运用 例例 9 计算 a 2b 3c 2 a 2b 3c 2 分析 若按完全平方公式展开 再相减 运算繁杂 但逆用平方差公式 则能使运算简便得多 解 原式 a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c 2a 4b 6c 8ab 12ac 例例 10 计算 2a 3b 2 2 2a 3b 5b 4a 4a 5b 2 分析 分析 此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算 但逆用完全平方公式 则运算更为简 便 解 原式 2a 3b 2 2 2a 3b 4a 5b 4a 5b 2 2a 3b 4a 5b 2 6a 2b 2 36a2 24ab 4b2 学习学习 乘法公式乘法公式 六注意六注意 初学者对于各乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义往往不易掌握 运用时容易混淆 因此要学习好乘法公式 必须注意以下几点 一 注意乘法公式的推导一 注意乘法公式的推导 乘法公式是直接计算特殊的多项式乘法得来的 即 平方差公式 a b a b a 2 ab ab b2 a 2 b2 完全平方公式 a b 2 a b a b a 2 ab ab b2 a 2 2ab b2 a b 2 a b a b a 2 ab ab b2 a 2 2ab b2 由此可见 理解乘法公式要与多项式乘法联系起来 这样对公式才理解的深 记得准 记得牢 一旦把公式忘记了 自己也可以把公式推导出来 二 注意掌握乘法公式的结构特征二 注意掌握乘法公式的结构特征 乘法公式的结构特征是各公式的本质所在 在学习时 应仔细观察其结构特征 并会用语言加以 表述 平方差公式 a b a b a 2 b2 结构特征 公式的左边是两个数的和与这两个数的差的积 而右边是这两个数的平方差 完全平方公式 a b 2 a 2 2ab b2 结构特征 公式的左边是两数和 或差 的平方 而右边是这两个数的平方和加上 或减去 这 两个数的积的 2 倍 三 注意弄清乘法公式中的字母含义三 注意弄清乘法公式中的字母含义 公式中的字母 a b 可以是具体的数 也可以是单项式 多项式 只要符合公式的结构特征 就可 以利用公式 例如 2m 5n 2m 5n 2m 2 5n 2 4m 2 25n2 4x 3y 2 4x 2 2 4x 3y 3y 2 16x 2 24xy 9y 2 四 注意运用公式容易出现的错误四 注意运用公式容易出现的错误 在学习中不少同学经常出现如下错误 1 a b a b a 2 b2 2 a b 2 a 2 b2 a b 2 a 2 b2 错误 1 的原因是模仿平方差公式所至 切记只有平方差公式 没有平方和公式 错误 2 的 原因是与积的平方 ab 2 a2 b2 相混淆 对于这些错误 同学们只要利用多项式的乘法计算一下 即可得到验证 五 注意掌握公式的形式变形五 注意掌握公式的形式变形 平方差公式的常见变形 1 位置变化 a b b a 2 符号变化 a b a b 3 系数变化 3a 2b 3a 2b 4 指数变化 a 3 b2 a 3 b2 5 项数变化 a 2b c a 2b c 6 连用变化 a b a b a 2 b2 只要掌握了平方差公式的结构特征 这些变形即可得解 完全平方公式的常见变形 1 a 2 b2 a b 2 2ab a b 2 2ab 2 a b 2 a b 2 2 a 2 b2 3 a b 2 a b 2 4ab 这些变形应用十分广泛 因而要熟记这些变形公式 六 注意公式的灵活运用六 注意公式的灵活运用 1 连续运用乘法公式 例 1 计算 x 3 x 3 x 2 9 解 原式 x 2 9 x2 9 x 4 81 例 2 计算 m n m n m2 n2 解 原式 m2 n2 m2 n2 m2 n2 2 m4 2m2 n2 n4 说明 例 1 是两次运用平方差公式 例 2 是先运用平方差公式 再运用完全平方公式 2 灵活选用乘法公式 例 3 计算 x 3y x 3y 2 分析 本题若先根据积的乘方性质 再用完全平方公式计算比较复杂 而先用平方差公式 再运 用完全平方公式 简捷明快 富有较强的灵活性 解 原式 x 2 9y 2 2 x 4 18 x 2y 2 81y 4 3 逆用乘法公式 例 4 计算 ab 1 2 ab 1 2 课本 P38 第 1 3 题 分析 本题的常规解法是先用完全平方公式将 ab 1 2和 ab 1 2展开