【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时 第八章 第四节 圆锥曲线的综合问题精练 理（全国版）

龙门亮剑龙门亮剑 2011 2011 高三数学一轮课时高三数学一轮课时 第八章第八章 第四节第四节 圆锥曲线圆锥曲线 的综合问题精练的综合问题精练 理 全国版 理 全国版 本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 2010 年安徽模拟 已知曲线 1 和直线 ax by 1 0 a b 为非零实数 在同 x2 a y2 b 一坐标系中 它们的图形可能是 答案 C 2 2010 年浙江杭州名校一模 直线 y x 3 与曲线 1 交点的个数为 y2 9 x x 4 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 x 0 曲线为 1 x 0 曲线为 1 画图可知 直线与曲线 y2 9 x2 4 y2 9 x2 4 的交点个数为 3 个 答案 D 3 2010 年山东济南一模 已知抛物线 y2 2px p 0 与双曲线 1 a 0 b 0 有 x2 a2 y2 b2 相同的焦点 F 点 A 是两曲线的交点 且 AF x 轴 则双曲线的离心率为 A B 1 5 1 22 C 1 D 3 2 2 1 2 解析 由题意知在第一象限的交点为 A 且 c 代入抛物线方程得 c b2 a p 2 p2 4c2 b2 2ac b4 a2 c2 a2 2ac 0 e2 2e 1 0 e 1 2 答案 B 4 2010 年河南周口一模 已知 AB 为半圆的直径 P 为半圆上一点 以 A B 为焦点 且过 P 点作椭圆 当 P 点在半圆上移动时 椭圆的离心率有 A 最小值 B 最大值 2 2 2 2 C 最小值 D 最大值 1 2 1 2 解析 PA r1 PB r2 r1 r2 2a 2 r1r2 a2 r r 4c2 r1 r2 r1r22 12 2 2 2r1r2 4c2 4a2 4c2 2r1r2 r1r2 2a2 2c2 a2 a2 2c2 e2 e 1 2 2 2 答案 A 5 2010 年河南驻马店二模 已知两点 M 2 0 N 2 0 点 P 为坐标平面内的动点 满 足 0 则动点 P x y 的轨迹方程为 MN MP MN NP A y2 8x B y2 8x C y2 4x D y2 4x 解析 将点 M N 动点 P x y 代入化简即得 答案 B 6 2010 年河南安阳 若双曲线 1 的右支上存在一点 P 使点 P 到左准线的距离 x2 a2 y2 b2 与它到右焦点的距离相等 那么该双曲线的离心率的取值范围是 A 1 1 B 1 1 32 C 1 1 D 1 1 32 解析 设 P 点的横坐标为 x x a 根据双曲线的定义得 x e ex a a2 c x a2 c a x e 1 a e 1 1 e 1 求得双曲线的离心率的取值范围是 1 1 故选 a2 c 1 e2 B 答案 B 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 7 给定四条曲线 x2 y2 1 x2 1 y2 1 其中与直线 5 2 x2 9 y2 4 y2 4 x2 4 x y 0 仅有一个交点的曲线是 5 解析 分别将各曲线方程与直线方程联立成方程组 消元后 依次考查判别式 易 得答案为 答案 8 P 是椭圆 1 上的任意一点 F1 F2是它的两个焦点 O 为坐标原点 x2 a2 y2 b2 OQ 则动点 Q 的轨迹方程是 PF1 PF2 解析 由 OQ PF1 PF2 又 2 2 PF1 PF2 PO OP 设 Q x y 则 x y OP 1 2OQ 1 2 x 2 y 2 即 P 点坐标 x 2 y 2 又 P 在椭圆上 则有 1 x 2 2 a2 y 2 2 b2 1 x2 4a2 y2 4b2 即 Q 的轨迹方程为 1 x2 4a2 y2 4b2 答案 1 x2 4a2 y2 4b2 9 2010 年河南调考 椭圆 1 a b 0 的中心 右焦点 右顶点及右准线与 x 轴 x2 a2 y2 b2 的交点依次为 O F G H 则的最大值为 FG OH 解析 e2 e 2 故填 FG OH a c a2 c ac c2 a2 e 1 2 1 4 1 4 1 4 答案 1 4 三 解答题 10 11 每题 15 分 12 题 16 分 共 46 分 10 设直线 l 过双曲线 x2 1 的一个焦点 交双曲线于 A B 两点 O 为坐标原点 y2 3 若 0 求 AB 的值 OA OB 解析 设直线 AB 过右焦点 F 2 0 其斜率为 k 则直线 AB 的方程为 y k x 2 代入双曲线方程 得 3x2 k2 x 2 2 3 即 3 k2 x2 4k2x 4k2 3 0 设点 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 x1x2 4k2 k2 3 4k2 3 k2 3 从而 y1y2 k2 x1 2 x2 2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 k2 4 4k2 3 k2 3 8k2 k2 3 9k2 k2 3 0 x1x2 y1y2 0 OA OB 0 解得 k2 4k2 3 k2 3 9k2 k2 3 3 5 此时 16k4 4 3 k2 4k2 3 0 又当 AB x 轴时 点 A 2 3 B 2 3 不满足条件 故由焦点弦长公式 得 AB 4 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 AB 4 11 2010 年南阳模拟 已知抛物线 C y2 4x F 是 C 的焦点 过点 F 的直线 l 与 C 相 交于 A B 两点 O 为坐标原点 1 求 的值 OA OB 2 设 当三角形 OAB 的面积 S 2 时 求 的取值范围 AF FB 5 解析 1 根据抛物线方程 y2 4x 可得 F 1 0 设直线 l 的方程为 x my 1 将其与 C 的方程联立 消去 x 得 y2 4my 4 0 设 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 y1y2 4 y 4x1 y 4x2 x1x2 y y 1 2 12 2 1 16 2 1 2 2 故 x1x2 y1y2 4 1 3 OA OB 2 A F FB 1 x1 y1 x2 1 y2 即Error Error 又 y 4x1 2 1 y 4x2 2 2 由 消去 y1 y2 得 x1 2x2 将其代入 注意到 0 解得 x2 1 从而三角形 OAB 的面积 S OF y1 y2 1 2 1 2 恒成立 且 2 即 1 1 1 只要解 即可 1 5 所以 的取值范围为 且 1 3 5 2 3 5 2 12 如图 已知椭圆 C m 0 经过椭圆 C 的右 x2 5 y2 3 m2 2 焦点 F 且斜率为 k k 0 的直线 l 交椭圆 C 于 A B 两点 M 为线 段 AB 的中点 设 O 为椭圆的中心 射线 OM 交椭圆于 N 点 1 是否存在 k 使对任意 m 0 总有 成立 若 OA OB ON 存在 求出所有 k 的值 2 若 m3 4m 求实数 k 的取值范围 OA OB 1 2 解析 1 椭圆 C 1 c2 m2 x2 5m2 2 y2 3m2 2 5m2 2 3m2 2 c m F m 0 直线 AB 的方程为 y k x m 由Error Error 消去 y 得 10k2 6 x2 20k2mx 10k2m2 15m2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 x1x2 20k2m 10k2 6 10k2m2 15m2 10k2 6 则 xM yM k xM m x1 x2 2 10k2m 10k2 6 6km 10k2 6 若存在 k 使 总成立 M 为线段 AB 的中点 OA OB ON M 为 ON 的中点 2 OA OB OM 2xM 2yM OA OB 20k2m 10k2 6 12km 10k2 6 即 N 点的坐标为 20k2m 10k2 6 12km 10k2 6 由 N 点在椭圆上 则 2 2 1 5 20k2m 10k2 6 1 3 12km 10k2 6 m2 2 即 5k4 2k2 3 0 k2 1 或 k2 舍去 3 5 故存在 k 1 使对任意 m 0 总有 成立 OA OB ON 2 x1x2 y1y2 OA OB x1x2 k2 x1 m x2 m 1