（三管齐下）贵州省2014届高三数学 复习试题54 直线与圆锥曲线的位置关系 理（含解析）新人教A版

1 5454 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 导学目标 1 了解圆锥曲线的简单应用 2 理解数形结合的思想 自主梳理 1 直线与椭圆的位置关系的判定方法 1 将直线方程与椭圆方程联立 消去一个未知数 得到一个一元二次方程 若 0 则直线与椭圆 若 0 则直线与椭圆 若 0 时 直线与双曲线 当 0 时 直线与双曲线 当 b 0 的一条弦 M x0 y0 是AB的中点 则 x2 a2 y2 b2 kAB kAB kOM 点差法求弦的斜率的步骤是 将端点坐标代入方程 1 1 x2 1 a2 y2 1 b2 x2 2 a2 y2 2 b2 两等式对应相减 0 x2 1 a2 x2 2 a2 y2 1 b2 y2 2 b2 分解因式整理 kAB y1 y2 x1 x2 b2 x1 x2 a2 y1 y2 b2x0 a2y0 2 运用类比的手法可以推出 已知AB是双曲线 1 的弦 中点M x0 y0 则 x2 a2 y2 b2 kAB 已知抛物线y2 2px p 0 的弦AB的中点M x0 y0 则 kAB 3 弦长公式 直线l y kx b与圆锥曲线C F x y 0 交于A x1 y1 B x2 y2 两点 则 AB x1 x2 1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 或 AB y1 y2 1 1 k2 1 1 k2 y1 y2 2 4y1y2 自我检测 1 抛物线y2 4x的焦点为F 准线为l 经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上 3 方的部分相交于点A AK l 垂足为K 则 AKF的面积是 A 4 B 3 C 4 D 8 33 2 2011 中山调研 与抛物线x2 4y关于直线x y 0 对称的抛物线的焦点坐标是 A 1 0 B 1 16 0 C 1 0 D 0 1 16 2 3 2011 许昌模拟 已知曲线 1 和直线ax by 1 0 a b为非零实数 x2 a y2 b 在同一坐标系中 它们的图形可能是 4 2011 杭州模拟 过点的直线l与抛物线y x2交于A B两点 O为坐 0 1 2 标原点 则 的值为 OA OB A B C 4 D 无法确定 1 2 1 4 探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系 例 1 k为何值时 直线y kx 2 和曲线 2x2 3y2 6 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 变式迁移 1 已知抛物线C的方程为x2 y 过A 0 1 B t 3 两点的直线与抛 1 2 物线C没有公共点 则实数t的取值范围是 A 1 1 B 2 2 2 2 C 2 2 22 D 22 探究点二 圆锥曲线中的弦长问题 例 2 如图所示 直线y kx b与椭圆 y2 1 交于A B两点 x2 4 记 AOB的面积为S 1 求在k 0 0 bb 0 双曲线 1 的两条渐近线 x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 为l1 l2 过椭圆C的右焦点F作直线l 使l l1 又l与l2交于P点 设l与椭圆C的两个 交点由上至下依次为A B 1 当l1与l2夹角为 60 双曲线的焦距为 4 时 求椭圆C的方程及离心率 2 求的最大值 FA AP 答题模板 解 1 双曲线的渐近线为y x 两渐近线夹角为 60 又 1 POx 30 b a b a tan 30 a b 又a2 b2 22 b a 3 33 3b2 b2 4 2 分 b2 1 a2 3 椭圆C的方程为 y2 1 x2 3 离心率e 4 分 a2 b2 a 6 3 2 由已知 l y x c 与y x联立 a b b a 解方程组得P 6 分 a2 c ab c 设 则 F c 0 设A x0 y0 则 x0 c y0 FA AP FA AP a2 c x0 ab c y0 x0 y0 即A 8 分 c a2 c 1 ab c 1 c a2 c 1 ab c 1 将A点坐标代入椭圆方程 得 c2 a2 2 2a4 1 2a2c2 等式两边同除以a4 e2 2 2 e2 1 2 e 0 1 10 分 2 3 e4 e2 e2 2 2 e2 2 2 e2 2 3 3 2 1 2 2 e2 2 2 e222 5 当 2 e2 即e2 2 时 有最大值 1 即的最大值为 1 12 222 FA AP 2 分 突破思维障碍 最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容 一是在准确把握题意 的基础上 建立函数 不等式模型 利用二次函数 三角函数的有界性 基本不等式解决 二是利用数形结合 考虑相切 相交的几何意义解决 易错点剖析 不能把转化成向量问题 使得运算繁琐造成错误 由 2 不会求最值或 FA AP e4 e2 e2 2 忽视e2 2b 0 的两个焦点 P是椭圆上任一 x2 a2 y2 b2 点 从任一焦点引 F1PF2的外角平分线的垂线 垂足为Q 则点Q的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 2 若双曲线 1 的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小 抛物线 x2 9 y2 4 y2 2px p 0 通过点A 则p的值为 A B 2 C D 9 2 2 13 13 13 13 3 2011 武汉月考 已知直线l1 4x 3y 6 0 和直线l2 x 1 抛物线y2 4x 上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 A 2 B 3 C D 11 5 37 16 4 已知直线y k x 2 k 0 与抛物线C y2 8x相交于A B两点 F为C的焦 点 若 FA 2 FB 则k等于 A B C D 1 3 2 3 2 3 2 2 3 5 斜率为 1 的直线l与椭圆 y2 1 相交于A B两点 则 AB 的最大值为 x2 4 A 2 B 4 5 5 6 C D 4 10 5 8 10 5 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 2011 届合肥期末 若直线y kx 1 k R 与焦点在x轴上的椭圆 1 恒有 x2 5 y2 t 公共点 则t的范围是 7 P为双曲线x2 1 右支上一点 M N分别是圆 x 4 2 y2 4 和 x 4 y2 15 2 y2 1 上的点 则 PM PN 的最大值为 8 2010 全国 已知抛物线C y2 2px p 0 的准线为l 过M 1 0 且斜率为 的直线与l相交于点A 与C的一个交点为B 若A M 则p 3 M B 三 解答题 共 38 分 9 12 分 已知抛物线y x2 3 上存在关于直线x y 0 对称的相异两点A B 求 AB 的长 10 12 分 2010 天津 已知椭圆 1 a b 0 的离心率e 连接椭圆的四 x2 a2 y2 b2 3 2 个顶点得到的菱形的面积为 4 1 求椭圆的方程 2 设直线l与椭圆相交于不同的两点A B 已知点A的坐标为 a 0 点Q 0 y0 在线段AB的垂直平分线上 且 4 求y0的值 QA QB 11 14 分 2011 江西 P x0 y0 x0 a 是双曲线E 1 a 0 b 0 上一 x2 a2 y2 b2 点 M N分别是双曲线E的左 右顶点 直线PM PN的斜率之积为 1 5 1 求双曲线的离心率 2 过双曲线E的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于A B两点 O为坐标原点 C为 7 双曲线上一点 满足 求 的值 OC OA OB 54 直线与圆锥曲线的位置关系 自主梳理 1 1 相交 相切 相离 2 相交 相切 相离 一个 3 平行 一个 2 1 2 b2x0 a2y0 b2 a2 b2x0 a2y0 p y0 自我检测 1 C 2 C 3 C 4 B 课堂活动区 例 1 解题导引 用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数 可以研究直线 与圆锥曲线的位置关系 也就是用代数的方法研究几何问题 这是解析几何的重要思想方 法 方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数 若含参数 需按二次项系 数是否为零进行分类讨论 只有二次项系数不为零时 方程才是一元二次方程 后面才可 以用判别式 的符号判断方程解的个数 从而说明直线与圆锥曲线的位置关系 解 由Error 得 2x2 3 kx 2 2 6 即 2 3k2 x2 12kx 6 0 144k2 24 2 3k2 72k2 48 当 72k2 48 0 即k 或k 时 直线和曲线有两个公共点 6 3 6 3 当 72k2 48 0 即k 或k 时 直线和曲线有一个公共点 6 3 6 3 当 72k2 48 0 即 k 时 直线和曲线没有公共点 6 3 6 3 变式迁移 1 D 直线AB的方程为y x 1 t 0 时不合题意 舍去 与抛物线方 4 t 程x2 y联立得x2 x 0 由于直线AB与抛物线C没有公共点 所以 1 2 2 t 1 2 2或t0 1 2 3 2 故直线AB的方程是 y x 或y x 或y x 或y x 2 2 6 2 2 2 6 2 2 2 6 2 2 2 6 2 变式迁移 2 解 1 设椭圆方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 则c a 2 b 1 3 c a 3 2 所求椭圆方程为 y2 1 x2 4 2 由Error 消去y得关于x的方程 5x2 8mx 4 m2 1 0 则 64m2 80 m2 1 0 解得m2 5 设P x1 y1 Q x2 y2 则x1 x2 m 8 5 x1x2 y1 y2 x1 x2 4 m2 1 5 PQ x1 x2 2 y1 y2 22 x1 x2 2 2 2 8 5m 2 16 5 m2 1 解得m2 满足 m 15 8 30 4 例 3 解题导引 直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看 就是直线方程与圆 锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题 结合判别式 研究 利用设而不求与整体代入 等技巧与方法 从而延伸出一些复杂的参数范围的研究 解 由Error x 1 得 k2 1 x2 2kx 2 0 设A x1 y1 B x2 y2 则Error 1 k0 解得k 1 2 k2 2 2 2 2 即k的取值范围为 2 2 2 2 2 设P x1 y1 Q x2 y2 则 x1 x2 y1 y2 OP OQ 由方程 x1 x2 4 2k 1 2k2 又y1 y2 k x1 x2 2 2 而A 0 B 0 1 1 2 AB 2 所以 与共线等价于x1 x2 y1 y2 OP OQ AB 2 将 代入上式 解得k 2 2 由 1 知k 故没有符合题意的常数k 2 2 2 2 课后练习区 1 A 2 C 3 A 4 D 5 C 6 1 5 7 5 8 2 9 解 设直线AB的方程为y x b 由Error 消去y得x2 x b 3 0 3 分 x1 x2 1 于是AB的中点M b 1 2 1 2 且 1 4 b 3 0 即b 6 分 13 4 又M b 在直线x y 0 上 b 1 符合 8 分 1 2 1 2 x2 x 2 0 由弦长公式可得 AB 3 12 分 1 12 1 2 4 2 2 10 解 1 由e 得 3a2 4c2 c a 3 2 再由c2 a2 b2 得a 2b 由题意可知 2a 2b 4 即ab 2 1 2 解方程组Error 得Error 所以椭圆的方程为 y2 1 4 分 x2 4 2 由 1 可知A 2 0 且直线l的斜率必存在 设B点的坐标为 x1 y1 直线l 的斜率为k 则直线l的方程为y k x 2 于是A B两点的坐标满足方程组Error 由方程组消去y并整理 得 1 4k2 x2 16k2x 16k2 4 0 由根与系数的关系 得 2x1 16k2 4 1 4k2 所以x1 从而y1 2 8k2 1 4k2 4k 1 4k2 设线段AB的中点为M 则M的坐标为 6 分 8k2 1 4k2 2k 1 4k2 以下分两种情况讨论 10 当k 0 时 点B的坐标是 2 0 线段AB的垂直平分线为y轴 于是 2 y0 2 y0 QA QB 由 4 得y0 2 8 分 QA QB 2 当k 0 时 线段AB的垂直平分线的方程为 y x 2k 1 4k2 1 k 8k2 1 4k2 令x 0 解得y0 6k 1 4k2 由 2 y0 x1 y1 y0 QA QB 2x1 y0 y1 y0 QA QB 2 2 8k2 1 4k2 6k 1 4k2 4k 1 4k2 6k 1 4k2 4 4 16k4 15k2 1 1 4k2 2 整理得 7k2 2 故k 14 7 所以y0 11 分 2 14 5 综上 y0 2或y0 12 分 2 2 14 5 11 解 1 由点P x0 y0 x0 a 在双曲线 1 上 有 1 x2 a2 y2 b2 x2 0 a2 y2 0 b2 由题意有 3 分 y0 x0 a y0 x0 a 1 5 可得a2 5b2 c2 a2 b2 6b2 e 6 分 c a 30 5 2 联立Error 得 4x2 10cx 35b2 0 设A x1 y1 B x