导数及其应用

1 导数及其应用专题导数及其应用专题 一 知识点一 知识点 1 导数的几何意义导数的几何意义 函数 y f x 在点 x x0处的导数值就是曲线 y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 其切线方程是 y f x0 f x0 x x0 2 导数与函数单调性的关系导数与函数单调性的关系 1 f x 0 是 f x 为增函数的充分不必要条件 如函数 f x x3在 上单调递增 但 f x 0 2 f x 0 是 f x 为增函数的必要不充分条件 当函数在某个区间内恒有 f x 0 时 则 f x 为常数 函 数不具有单调性 3 函数的极值与最值函数的极值与最值 1 函数的极值是局部范围内讨论的问题 函数的最值是对整个定义域而言的 是在整个范围内讨论的问 题 2 函数在其定义区间的最大值 最小值最多有一个 而函数的极值可能不止一个 也可能没有 3 闭区间上连续的函数一定有最值 开区间内的函数不一定有最值 若有唯一的极值 则此极值一定是函 数的最值 4 四个易误导数公式及两个常用的运算法则四个易误导数公式及两个常用的运算法则 1 sin x cos x 2 cos x sin x 3 ax axln a a 0 且 a 1 4 logax a 0 且 a 1 1 xln a 5 f x g x f x g x f x g x 6 g x 0 f x g x f x g x f x g x g x 2 二 考点突破二 考点突破 考点一考点一 导数几何意义的应用导数几何意义的应用 例 1 1 过点 1 0 作曲线 y ex的切线 则切线方程为 2 2013 南京模拟 在平面直角坐标系 xOy 中 设 A 是曲线 C1 y ax3 1 a 0 与曲线 C2 x2 y2 的一 5 2 个公共点 若 C1在 A 处的切线与 C2在 A 处的切线互相垂直 则实数 a 的值是 考点二考点二 利用导数研究函数的单调性与最值利用导数研究函数的单调性与最值 例 2 2013 广东 设函数 f x x3 kx2 x k R 1 当 k 1 时 求函数 f x 的单调区间 2 当 k 0 时 求函数 f x 在 k k 上的最小值 m 和最大值 M 考点三考点三 利用导数解决与方程 不等式 恒成立有关的问题利用导数解决与方程 不等式 恒成立有关的问题 例 3 1 设函数 f x ex x 2 g x ln x x2 3 若实数 a b 满足 f a 0 g b 0 则 A g a 0 f b B f b 0 g a C 0 g a f b D f b g a f x 恒成立 且常数 a b 满足 a b 则下列不等式一 定成立的是 A af b bf a B af a bf b C af a bf b D af b bf a 5 函数 y sin x 的图象大致是 x 3 6 2013 湖北 已知函数 f x x ln x ax 有两个极值点 则实数 a 的取值范围是 A 0 B 0 C 0 1 D 0 1 2 二 填空题 7 已知函数 f x x R 满足 f 1 1 且 f x 的导函数 f x 则 f x f x1 f x2 成立 求实数 m 的取值范围 13 已知函数 f x 2 xaxb g x x e cxd 若曲线 yf x 和曲线 yg x 都过点 P 0 2 且在点 P 处有相同的切线42yx 求a b c d的值 若x 2 时 f x