【师说系列】2014届高考数学一轮练之乐 1.8.5椭圆 文

1 师说系列师说系列 2014 2014 届高考数学一轮练之乐届高考数学一轮练之乐 1 8 51 8 5 椭圆椭圆 文文 一 选择题 1 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在 x 轴上 且长轴长为 12 离心率为 则椭圆方程 1 3 为 A 1 B 1 x2 144 y2 128 x2 36 y2 20 C 1 D 1 x2 32 y2 36 x2 36 y2 32 解析 由题意可设椭圆的方程为 1 x2 36 y2 b2 e c a 36 b2 6 1 3 b2 32 故选 D 答案 D 2 若椭圆的短轴为 AB 它的一个焦点为 F1 则满足 ABF1 为等边三角形的椭圆的离心率 是 A B C D 1 4 1 2 2 2 3 2 解析 本题考查椭圆的离心率及 a b c 三者之间的关系 设椭圆中心为 O 则 AF1O 中 AF1 a F1O c AF1O 30 cos30 c a 3 2 答案 D 3 若点 P 是以 F1 F2 为焦点的椭圆 1 a b 0 上一点 x2 a2 y2 b2 且 0 tan PF1F2 则此椭圆的离心率 e PF1 PF2 1 2 A B C D 5 3 2 3 1 3 1 2 解析 由 0 得 则 tan PF1F2 PF1 PF2 PF1 PF2 PF2 PF1 1 2 设 PF2 m 则 PF1 2m F1F2 m 5 所以 e c a F1F2 PF1 PF2 5 3 答案 A 4 已知椭圆 1 a b 0 的左焦点为 F 右顶点为 A 点 B 在椭圆上 且 BF x 轴 x2 a2 y2 b2 直线 AB 交 y 轴于点 P 若 2 则椭圆的离心率是 AP PB A B C D 3 2 2 2 1 3 1 2 2 解析 由题意知 因为 2 则 OA 2OF a 2c e AP PB 1 2 答案 D 5 若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 x2 4 y2 3 则 的最大值为 OP FP A 2 B 3 C 6 D 8 解析 由椭圆 1 可得点 F 1 0 点 O 0 0 设 P x y 2 x 2 x2 4 y2 3 则 x2 x y2 x2 x 3 1 x2 x 3 x 2 2 2 当且仅当 x 2 时 OP FP x2 4 1 4 1 4 取得最大值 6 OP FP 答案 C 6 设椭圆 1 a b 0 的离心率为 e 右焦点为 F c 0 方程 ax2 bx c 0 x2 a2 y2 b2 1 2 的两个实根分别为 x1 和 x2 则点 P x1 x2 A 必在圆 x2 y2 2 内 B 必在圆 x2 y2 2 上 C 必在圆 x2 y2 2 外 D 以上三种情形都有可能 解析 e 1 2 c a 1 2 a2 b2 c2 b2 a2 3 4 x1 x2 x1 x2 b a c a x x x1 x2 2 2x1x2 1 2 2 12 2 b2 a2 7 4a2 a2 7 4 P 点在圆 x2 y2 2 内 答案 A 二 填空题 7 与椭圆 1 共焦点 且过点 M 3 2 的椭圆方程为 x2 9 y2 4 解析 c2 9 4 5 设所求椭圆方程为 1 将 3 2 代入得 a2 15 或 a2 3 舍去 x2 a2 y2 a2 5 答案 1 x2 15 y2 10 8 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 C 的中心为原点 焦点 F1 F2 在 x 轴上 离心率为 2 2 过 F1 的直线 l 交 C 于 A B 两点 且 ABF2 的周长为 16 那么 C 的方程为 3 解析 根据椭圆焦点在 x 轴上 可设椭圆方程为 1 a b 0 e x2 a2 y2 b2 2 2 c a 2 2 根据 ABF2 的周长为 16 得4a 16 因此 a 4 b 2 所以椭圆方程为 1 2 x2 16 y2 8 答案 1 x2 16 y2 8 9 若椭圆 1 的焦点在 x 轴上 过点 1 作圆 x2 y2 1 的切线 切点分别为 x2 a2 y2 b2 1 2 A B 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程是 解析 由题可设斜率存在的切线的方程为 y k x 1 k 为切线的斜率 即 1 2 2kx 2y 2k 1 0 由 1 解得 k 所以圆 x2 y2 1 的一条切线方程 2k 1 4k2 4 3 4 为 3x 4y 5 0 求得切点 A 易知另一切点 B 1 0 则直线 AB 的方程为 3 5 4 5 y 2x 2 令 y 0 得右焦点为 1 0 令 x 0 得上顶点为 0 2 a2 b2 c2 5 故 得所求椭圆方程为 1 x2 5 y2 4 答案 1 x2 5 y2 4 三 解答题 10 如图 设 P 是圆 x2 y2 25 上的动点 点 D 是 P 在 x 轴上的投影 M 为 PD 上一点 且 MD PD 4 5 1 当 P在圆上运动时 求点 M 的轨迹 C 的方程 2 求过点 3 0 且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度 4 5 解析 1 设 M 的坐标为 x y P 的坐标为 xP yP 由已知得Error Error P 在圆上 x2 y 2 25 即 C 的方程为 1 5 4 x2 25 y2 16 2 过点 3 0 且斜率为 的直线方程为 y x 3 4 5 4 5 设直线与 C 的交点为 A x1 y1 B x2 y2 将直线方程 y x 3 代入 C 的方程 得 4 5 4 1 即 x2 3x 8 0 x2 25 x 3 2 25 x1 x2 3 41 2 3 41 2 线段 AB 的长度为 AB x1 x2 2 y1 y2 2 1 16 25 x1 x2 2 41 25 41 41 5 11 设椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 点 P a b 满足 x2 a2 y2 b2 PF2 F1F2 1 求椭圆的离心率 e 2 设直线 PF2 与椭圆相交于 A B 两点 若直线 PF2 与圆 x 1 2 y 2 16 相交于 3 M N 两点 且 MN AB 求椭圆的方程 5 8 解析 1 设 F1 c 0 F2 c 0 c 0 因为 PF2 F1F2 所以 2c 整理得 2 2 1 0 得 1 舍 或 所以 e a c 2 b2 c a c a c a c a 1 2 1 2 2 由 1 知 a 2c b c 可得椭圆方程为 3x2 4y2 12c2 直线 PF2 的方程为 y 3 x c 3 A B 两点的坐标满足方程组Error Error 消去 y 并整理 得 5x2 8cx 0 解得 x1 0 x2 c 8 5 得方程组的解Error Error Error Error 不妨设 A c c B 0 c 8 5 33 53 所以 AB c 8 5c 2 33 5 c 3c 2 16 5 于是 MN AB 2c 5 8 圆心 1 到直线 PF2 的距离 3 d 3 3 3c 2 3 2 c 2 因为 d2 2 42 所以 2 c 2 c2 16 整理得 7c2 12c 52 0 得 MN 2 3 4 c 舍 或 c 2 26 7 所以椭圆方程为 1 x2 16 y2 12 5 12 如图 已知椭圆 C1 的中心在原点 O 长轴左 右端点 M N 在 x 轴上 椭圆 C2 的短轴 为MN 且 C1 C2 的离心率都为 e 直线 l MN l 与 C1 交于两点 与 C2 交于两点 这四点 按纵坐标从大到小依次为 A B C D 1 设 e 求 BC 与 AD 的比值 1 2 2 当 e 变化时 是否存在直线 l 使得 BO AN 并说明理由 解析 1 因为 C1 C2 的离心率相同 故依题意可设 C1 1 C2 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 b2y2 a4 x2 a2 设直线 l x t t a 分别与 C1 C2 的方程联立 求得 A t B t a ba2 t2 b aa2 t2 当 e 时 b a 分别用 yA yB 表示 A B 的纵坐标 可知 BC AD 1 2 3 2 2 yB 2 yA b2 a2 3 4 2 t 0 时的 l 不符合题意 t 0 时 BO AN 当且仅当