寒假专题——添加辅助线

第 1 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 年年 级级初二学学 科科数学版版 本本人教新课标版 课程标题课程标题寒假专题 添加辅助线 编稿老师编稿老师徐文涛一校一校付秋花二校二校黄楠审核审核刘敏 一 考点突破一 考点突破 知识点知识点考纲要求考纲要求命题角度命题角度备注备注 全等三角形的证明方法综合运用 作辅助线构造全等三角形 利用全等三 角形的性质证明角或线段相等 常考 等腰三角形的性质和判定综合运用 作辅助线构造等腰三角形 利用等腰三 角形的性质判定线段相等或垂直关系 常考 二 重难点提示二 重难点提示 重点重点 1 全等三角形的判定 掌握综合证明的基本思路 2 等腰及等边三角形的性质及其判定 3 归纳常见辅助线的作法 掌握分析问题的方法 提升解题能力 难点难点 1 根据实际问题选择辅助线的作法解决问题 2 理解等腰三角形性质与判定的区别以及二者在具体问题中的应用 微课程微课程1 添加辅助线构造全等三角形 添加辅助线构造全等三角形 考点精讲考点精讲 全等三角形辅助 线的添加方法 构造中心对称型全等三角形 构造轴对称型全等三角形 构造旋转型全等三角形 构造平移型全等三角形 1 中心对称型全等三角形 一个三角形绕着某一点旋转 180 得到的三角形与原三角形是 一对中心对称型全等的三角形 2 轴对称型全等三角形 把一个三角形沿着某条直线翻折 180 与另一个三角形重合 那 么这一对三角形就是轴对称型全等三角形 3 旋转型全等三角形 一个三角形绕着某一点旋转一定的角度得到的三角形与原三角形 第 2 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 是一对旋转型全等的三角形 4 平移型全等三角形 把某个三角形沿某方向平行移动 得到的三角形与原三角形称为 平移型全等三角形 典例精析典例精析 例题例题 1 如图 在 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 F 为 AC 边上的一点 连接 BF 交 AD 于点 E 若 BED CAD 求证 AC BE 思路导航思路导航 此题应先作辅助线 延长 AD 到 G 使 DG AD 连接 BG 由已知 AD 是 BC 边上的中线 所以推出 BDG CDA 则得到 G CAD BG AC 再想法证 BG BE 已知 BED CAD 所以 G BED 即 BG BE 故 AC BE 答案 答案 证明 延长 AD 到 G 使 DG AD 连接 BG DG AD BD DC BDG ADC BDG CDA G CAD BG AC BED CAD G BED BG BE AC BE 点评 点评 此题考查的知识点是全等三角形的判定和性质 解答此题的关键是先作辅助线 构造三角形全等 通过等量代换得证 本题构造的为中心对称型全等三角形 例题例题 2 已知 如图 四边形 ABCD 中 BC AB BD 平分 ABC A C 180 求证 AD CD 第 3 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 思路导航 思路导航 在边 BC 上截取 BE BA 连接 DE 根据 SAS 证 ABD EBD 推出 AD ED A BED 求出 DEC C 即可 答案 答案 证明 在边 BC 上截取 BE BA 连接 DE BD 平分 ABC ABD CBD 在 ABD 和 EBD 中 BDBD EBDABD BEBA ABD EBD SAS AD ED A BED 又 A C 180 BED CED 180 C CED CD ED AD CD 点评 点评 本题考查了等腰三角形的判定 全等三角形的性质和判定等知识点的应用 解 此题的关键和难点是正确作出辅助线 本题的解题思路是把 AD 和 CD 归到一个三角形中 根据等腰三角形的判定进行证明 本题构造的为轴对称全等三角形 例题例题 3 如图 在 ABC 中 AB AC BAC 80 O 为 ABC 内一点 且 OBC 10 OCA 20 求 AOB 的度数 思路导航 思路导航 作 BAC 的角平分线与 CO 的延长线交于点 D 连接 BD 根据已知利用 SAS 可判定 ABD ACD 从而推出 ABD ACD 20 再根据 OBD ABD DOB DAB 可判定 ABD OBD 从而得到 AB OB 从而 根据三角形内角和定理即可求得 AOB 的度数 答案 答案 解 作 BAC 的角平分线与 CO 的延长线交于点 D 连接 BD BAD DAC AB AC AD AD ABD ACD BD CD ABD ACD DBC DCB BAC 80 ABC ACB 50 又 OCA 20 ABD ACD 20 OBD ABC ABD OBC 50 20 10 20 ABD DOB OBC OCB 40 BAD OBD ABD DOB DAB BD BD ABD OBD AB OB BAO AOB 第 4 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 AOB 180 ABO 180 ABC OBC 180 40 2 1 2 1 2 1 70 点评 点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质 通过作辅助线构造三角形全等 然 后利用全等三角形的性质证明线段和角相等 本题的辅助线非常重要 注意在平时的学习 中积累经验 在判定三角形全等时 关键是选择恰当的判定条件 总结提升总结提升 1 中心对称型全等三角形的基本图形如下 构造的方法是将基本图形不完整的部分补充完整 有时过端点作平行线 有时加倍以 线段中点为端点的线段 2 轴对称型全等三角形的基本图形如下 添加辅助线的方法 1 沿某直线添加对称图形 2 没有对称轴的添加对称轴 3 平移型全等三角形的基本图形如下 添加辅助线的方法通常以作平行线为主 3 在解决翻折型全等三角形的问题时 要抓住折痕这条辅助线 寻找对折前后的两个三 角形 或其他图形 全等 微课程微课程2 巧添辅助线构造等腰三角形 巧添辅助线构造等腰三角形 考点精讲考点精讲 构造等腰三角形常用的方法 作角平分线的垂线构造等腰三角形 过角平分线上一点作角的一边的平行线 构造等 腰三角形 利用轴对称构造等腰三角形 第 5 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 1 从角平分线上的一点作角平分线的垂线 使之与另一边相交 则截得一个等腰三角形 垂足为底边上的中点 该角平分线又成为底边上的中线和高 以利用等腰三角形三线合一 的性质 若题目条件中有垂直于角平分线的线段 则延长该线段止于角的另一边 2 有角平分线时 可过角平分线上一点作角的一边的平行线 从而构造等腰三角形 3 图形含有垂线 或高线 则可以垂线 或高线 为对称轴 利用轴对称变换构造等 腰三角形 典例精析典例精析 例题 例题 已知 如图 在 ABC 中 ABC 3 C 1 2 BE AE 求证 AC AB 2BE 思路导航 思路导航 延长 BE 交 AC 于 M 利用三角形内角和定理 得出 3 4 AB AM AC AB AC AM CM 再利用 4 是 BCM 的外角 以及等腰 三角形对边相等 得出结论 答案 答案 证明 延长 BE 交 AC 于 M BE AE AEB AEM 90 在 ABE 中 1 3 AEB 180 3 90 1 同理 4 90 2 1 2 3 4 AB AM AC AB AC AM CM ABM 为等腰三角形 且 1 2 BE EM BM 2BE 4 是 BCM 的外角 4 5 C ABC 3 5 4 5 且 ABC 3 C 3 C 4 5 2 5 C 5 C CM BM AC AB CM BM 2BE 点评 点评 此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握 解题关键是作好辅助 线 延长 BE 交 AC 于 M 利用三角形内角和定理 三角形外角的性质进行解题 例题例题 2 已知 如图 ABC AB AC 中 D E 在 BC 上 且 DE EC 过 D 作 DF BA 交 AE 于点 F DF AC 求证 AE 平分 BAC 思路导航 思路导航 延长 FE 到 G 使 EG EF 连接 CG 由于已知条件通过 SAS 证得 DEF CEG 得到 DF GC DFE G 由平行线的性质和已知条件得到 G CAE 故 有 BAE CAE 结论可得 第 6 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 答案 答案 证明 如图 延长 FE 到 G 使 EG EF 连接 CG 在 DEF 和 CEG 中 EGFE CEGDEF ECED DEF CEG DF GC DFE G DF AB DFE BAE DF AC GC AC G CAE BAE CAE 即 AE 平分 BAC 例题例题 3 小明在找等边三角形 ABC 一边的三等分点时 是这样做的 先做 ABC ACB 的角平分线并且相交于点 O 然后做线段 BO CO 的垂直平分线 分别交 BC 于 E F 他说 E F 就是 BC 边的三等分点 你同意他的说法吗 请说明你的理由 思路导航 思路导航 连接 OE OF 构建等腰三角形 BOE 和 CFO 利用等腰三角形的 三线合一 推知 BE OE OF CF 在等边三角形 ABC 中 根据等边三角形的三个内角都是 60 的性 质 角平分线的性质证得 OEF 是等边三角形 最后由等边三角形 OEF 的三条边都相等 等量代换证得 BE EF FC 即 E F 是线段 BC 的三等分点 答案 答案 解 E F 是 BC 的三等分点 理由 连接 OE OF DE 垂直平分 OB BE OE 同理 OF CF 第 7 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 EBO BOE FCO FOC ABC 为等边三角形 ABC ABC ACB 60 BO 平分 ABC CO 平分 ACB EBO ABC 30 FCO ACB 30 2 1 2 1 BOE EBO 30 FOC FCO 30 OEF BOE EBO 60 OFE FOC FCO 60 OEF 是等边三角形 OE OF EF BE EF FC 即 E F 是线段 BC 的三等分点 点评 点评 本题综合考查了等边三角形的性质 线段垂直平分线的性质 解答该题时 要 充分利用等腰三角形的底边上的高线 中线 对角的角平分线三线合一的特性 总结提升总结提升 三角形是初中几何的基本内容 也是中考数学的重点之一 巧添辅助线 可以提示三 角形中隐含的关系 达到开拓解题思路的目的 下面举例说明 1 有倍角关系时 转移倍角 构造等腰三角形 例例 在 ABC 中 ABC 2 C 求证 2AC AB BC 证明 如图 1 延长线 CB 到 D 使 BD BA 连接 AD 则 ADB DAB ABC ADB DAB 2 ADB 又 ABC 2 C 2 ADB 2 C 即 ADB C 则 ADC 是等腰三角形 AD AC 在 ADC 中 AD AC DC 即 2AC BD BC 2AC AB BC 2 有三角形中线时 延长中线 构造全等三角形 例例 在 ABC 中 AD 为 ABC 的中线 求证 AB AC 2AD 证明 如图 2 延长 AD 至 E 使 DE AD 连接 BE 则 AE 2AD D 是 BC 中点 BD CD 在 ACD 和 EBD 中 BD CD ADC EDB AD ED ACD EBD SAS BE CA 在 ABE 中 AB BE AE AB AC 2AD 第 8 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 3 有角平分线时 在角的两边截取相等的线段 构造全等三角形 4 有和角平分线垂直的线段时 延长这条线段 构造全等三角形 寒假专题寒假专题 因式分解的应用因式分解的应用 一 预习新知一 预习新知 1 已知 x y 6 xy 3 则 x2y xy2 2 如果 a b 3 a b 6 那么代数式 a2 b2的值是 3 如果 a 2013 a b 1 那么 2a2 2ab 4 计算 21 3 14 62 3 14 17 3 14 5 计算 99 201 二 问题思考二 问题思考 1 因式分解的方法有哪些 2 因式分解的步骤是什么 3 你能简单地说一下因式分解有哪些方面的应用吗 答题时间 答题时间 60 分钟 分钟 添加辅助线构造全等三角形添加辅助线构造全等三角形 1 下列命题 有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等 有两条 边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等 有两条边和第三条边上的高对应相 等的两个三角形全等 其中正确的是 A B C D 2 如图 在 ABC 中 C 90 AD 平分 BAC 若 AB 6 CD 2 则 ABD 的面积 是 3 如图 在 ABC 中 AD 为 BC 边上的中线 已知 AC 5 AD 4 则 AB 的取值范 围是 第 9 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 4 如图 四边形 ABCD 中 BAD BCD 90 AB AD 若四边形 ABCD 的面积为 24cm2 则 AC 长是 cm 5 如图 两个全等的含30 60 角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起 DEA ACB 90 DAE ABC 30 E A C三点在一条直线上 连接BD 取BD 中点M 连接ME MC 试判断 EMC的形状 并说明理由 6 如图 已知点O到 ABC的两边AB AC所在直线的距离相等 且OB OC 1 如图 若点O在边BC上 试说明AB AC 2 若点O在 ABC的内部 求证 AB AC 7 如图 ABC是正三角形 BDC是顶角 BDC 120 的等腰三角形 以D为顶点作一 个60 角 使角的两边分别交AB AC边于M N两点 连接MN 当MN BC时 求证 MN BM CN 当MN与BC不平行时 则 中的结论还成立吗 为什么 第 10 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 巧添辅助线构造等腰三角形巧添辅助线构造等腰三角形 1 已知 如图 AB CD BE 平分 ABC CDE 150 则 C A 150 B 30 C 120 D 60 2 如图所示的正方形网格中 网格线的交点称为格点 已知 A B 是两格点 如果 C 也 是图中的格点 且使得 ABC 为等腰三角形 则点 C 的个数是 A 6 B 7 C 8 D 9 3 如图 在 ABC 中 ABC 和 ACB 的平分线交于点 E 过点 E 作 MN BC 交 AB 于 M 交 AC 于 N 若 BM CN 9 则线段 MN 的长为 A 6 B 7 C 8 D 9 4 如图 D 为 ABC 内一点 CD 平分 ACB BE CD 垂足为 D 交 AC 于点 E A ABE 若 AC 5 BC 3 则 BD 的长为 A 2 5 B 1 5 C 2 D 1 5 如图 在 ABC 中 BC 5cm BP CP 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线 且 PD AB PE AC 则 PDE 的周长是 cm 6 如图 PBQ 中 BP 6 点 A C D 分别在 BP BQ PQ 上 且 CD PB AD BQ QDC PDA 则四边形 ABCD 的周长为 第 11 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 7 已知 ABD ACD 60 ADB 90 BDC 2 1 求证 ABC 为等腰三角形 8 已知 ABC 中 A 90 AB AC BE 平分 ABC 且 BE CE 于 E 求证 CE BD 2 1 9 已知 如图所示 ABC 中 AB AC BAC 120 EF 为 AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于 F 交 AB 于点 E 求证 FC 2BF 10 已知 如图 AD 为 ABC 的内角平分线 且 AD AB CM AD 于 M 求证 AM AB AC 2 1 第 12 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 添加辅助线构造全等三角形添加辅助线构造全等三角形 1 A 解析 正确 可以用 AAS 或者 ASA 判定两个三角形全等 正确 可以用 倍 长中线法 用 SSS 定理 判断两个三角形全等 不正确 因为这个高可能在三角形的 内部 也有可能在三角形的外部 也就是说 这两个三角形可能一个是锐角三角形 一个 是钝角三角形 所以就不全等了 2 6 解析 过点 D 作 DE AB 于 E 点 AD 平分 BAC C 90 AB 6 CD 2 DE CD 2 S ABD AB DE 6 2 6 2 1 2 1 3 3 AB 13 解析 延长 AD 到 E 使 DE AD 连接 CE 则 AE 2AD 2 4 8 AD 是 BC 边上的中线 BD CD 在 ABD 和 ECD 中 BD CD ADB EDC DE AD ABD ECD SAS CE AB 又 AC 5 5 8 13 8 5 3 3 CE 13 即 AB 的取值范围是 3 AB 13 4 4 解析 延长 CD 至点 E 使 DE BC 连接 AE BAD BCD 90 3 ADC B 180 ADE ADC 180 ADC B 180 ADE B 在 ABC 与 ADE 中 AB AD ADE B DE BC ABC ADE SAS EAD BAC AC AE BAD 90 EAC 90 ACE 是等腰直角三角形 四边形 ABCD 的面积为 24cm2 AC2 24 解得 AC 4 cm 2 1 3 5 解 EMC的形状是等腰直角三角形 理由是 连接AM 8 30 9 60 DAB 180 30 60 90 M为BD中点 AD AB AM BD AM BM DM 5 6 180 90 45 4 BDA 45 2 1 7 30 MBC 45 30 75 同理 MAE 75 MBC 在 BCM和 AEM中 BM AM MBC MAE BC AE BCM AEM SAS 第 13 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 EM CM 3 2 AM BD 1 2 90 1 3 90 EMC是等腰直角三角 形 6 证明 1 过点O分别作OE AB OF AC E F分别是垂足 点O到 ABC的两边AB AC所在直线的距离相等 OE OF 又 OB OC Rt OEB Rt OFC HL B C AB AC 2 过点O分别作OE AB OF AC E F分别是垂足 由题意知 OE OF 在Rt OEB和Rt OFC中 OE OF OB OC Rt OEB Rt OFC HL OBE OCF 又 OB OC OBC OCB EBO OBC OCF OCB 即 ABC ACB AB AC 7 证明 ABC是正三角形 MN BC AMN是等边三角形 AM AN 则BM NC BDC是顶角 BDC 120 的等腰三角形 DBC DCB 30 DBM DCN 90 在 BDM和 CDN中 BM NC MBD DCN BD DC BDM CDN SAS DM DN BDM CDN MDN 60 DMN是等边三角形 BDM CDN 30 NC BM DM MN 2 1 2 1 MN MB NC 成立 理由如下 证明 延长AC至E 使CE BM 连接DE BDC是顶角 BDC 120 的等腰三角形 ABC是等边三角形 BCD 30 ABD ACD 90 即 ABD DCE 90 在Rt DCE和Rt DBM中 BD CD BM EC Rt DCE Rt DBM HL BDM CDE 又 BDC 120 MDN 60 BDM NDC BDC MDN 60 CDE NDC 60 即 NDE 60 MDN NDE 60 DM DE 在 DMN和 DEN中 DM DE MDN NDE DN DN DMN DEN SAS BM CN NM 巧添辅助线构造等腰三角形巧添辅助线构造等腰三角形 1 C 解析 直线 AB CD CDB ABD CDB 180 CDE 30 ABD 30 BE 平分 ABC ABD CBD ABC CBD ABD 60 第 14 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 AB CD C 180 ABC 180 60 120 2 C 解析 如图 分情况讨论 AB 为等腰 ABC 底边时 符合条件的 C 点有 4 个 AB 为等腰 ABC 其中的一条腰时 符合条件的 C 点有 4 个 3 D 解析 ABC ACB 的平分线相交于点 E MBE EBC ECN ECB MN BC EBC MEB NEC ECB M BE MEB NEC ECN BM ME EN CN MN ME EN 即 MN