15分式总复习

1 总复习 第十五章分式 知识网络知识网络 思想方法思想方法 1 转化思想 转化是一种重要的数学思想方法 应用非常广泛 运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问 题 把生疏的问题转化为熟悉问题 本章很多地方都体现了转化思想 如 分式除法 分式乘法 分式加减运算的基本思想 异分母的分式加减法 同分母的分式加减法 解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程 从而得到分式方程的解等 2 建模思想 本章常用的数学方法有 分解因式 通分 约分 去分母等 在运用数学知识解决实际问题时 首先要构建一个简单的数学模型 通过数学模型去解决实际问题 经历 实际问题 分式方程模 型 求解 解释解的合理性 的数学化过程 体会分式方程的模型思想 对培养通过数学建 模思想解决实际问题具有重要意义 3 类比法 本章突出了类比的方法 从分数的基本性质 约分 通分及分数的运算法则类比引出了分式的 基本性质 约分 通分及分式的运算法则 从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧 无一不体现了类比思想的重要性 分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程 第一讲 分式的运算 知识要点 1 分式的概念以及基本性质 2 与分式运算有关的运算法则 3 分式的化简求值 通分与约分 4 幂的运算法则 主要公式 1 同分母加减法则 0 bcbc a aaa 2 异分母加减法则 0 0 bdbcdabcda ac acacacac 3 分式的乘法与除法 bdbd acac bcbdbd adacac 4 同底数幂的加减运算法则 实际是合并同类项 5 同底数幂的乘法与除法 am an am n am an am n 6 积的乘方与幂的乘方 ab m am bn am n amn 7 负指数幂 a p a0 1 1 p a 8 乘法公式与因式分解 平方差与完全平方式 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2ab b2 一 一 分式定义及有关题型 分式定义及有关题型 题型一 考查分式的定义题型一 考查分式的定义 例 1 下列代数式中 是分式的有 yx yx yx yx ba ba yx x 1 2 1 22 题型二 考查分式有意义的条件题型二 考查分式有意义的条件 例 2 当有何值时 下列分式有意义x 1 2 3 4 5 4 4 x x 2 3 2 x x 1 2 2 x 3 6 x x x x 1 1 题型三 考查分式的值为题型三 考查分式的值为 0 的条件的条件 例 3 当取何值时 下列分式的值为 0 x 1 2 3 3 1 x x 4 2 2 x x 65 32 2 2 xx xx 题型四 考查分式的值为正 负的条件题型四 考查分式的值为正 负的条件 例 4 1 当为何值时 分式为正 x x 8 4 2 当为何值时 分式为负 x 2 1 3 5 x x 3 当为何值时 分式为非负数 x 3 2 x x 练习 练习 1 当取何值时 下列分式有意义 x 1 2 3 3 6 1 x 1 1 3 2 x x x 1 1 1 2 当为何值时 下列分式的值为零 x 1 2 4 1 5 x x 56 25 2 2 xx x 3 解下列不等式 1 2 0 1 2 x x 0 32 5 2 xx x 2 二 分式的基本性质及有关题型 二 分式的基本性质及有关题型 1 分式的基本性质 MB MA MB MA B A 2 分式的变号法则 b a b a b a b a 题型一 化分数系数 小数系数为整数系数题型一 化分数系数 小数系数为整数系数 例 1 不改变分式的值 把分子 分母的系数化为整数 1 2 yx yx 4 1 3 1 3 2 2 1 ba ba 04 0 03 0 2 0 题型二 分数的系数变号题型二 分数的系数变号 例 2 不改变分式的值 把下列分式的分子 分母的首项的符号变为正号 1 2 3 yx yx ba a b a 题型三 化简求值题题型三 化简求值题 例 3 已知 求的值 5 11 yxyxyx yxyx 2 232 提示 整体代入 转化出 xyyx3 yx 11 例 4 已知 求的值 2 1 x x 2 2 1 x x 例 5 若 求的值 0 32 1 2 xyx yx24 1 练习 练习 1 不改变分式的值 把下列分式的分子 分母的系数化为整数 1 2 yx yx 5 008 0 2 003 0 ba ba 10 1 4 1 5 3 4 0 2 已知 求的值 3 1 x x 1 24 2 xx x 3 已知 求的值 3 11 baaabb baba 232 4 若 求的值 01062 22 bbaa ba ba 53 2 5 如果 试化简 21 x x x 2 2 x x x x 1 1 三 分式的运算 三 分式的运算 1 确定最简公分母的方法 最简公分母的系数 取各分母系数的最小公倍数 最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂 2 确定最大公因式的方法 最大公因式的系数取分子 分母系数的最大公约数 取分子 分母相同的字母因式的最低次幂 题型一 通分题型一 通分 例 1 将下列各式分别通分 1 2 cb a ca b ab c 22 5 3 2 ab b ba a 22 3 4 2 2 21 1 222 xxxx x xx a a 2 1 2 题型二 约分题型二 约分 例 2 约分 1 3 3 3 2 20 16 xy yx nm mn 22 6 2 2 2 xx xx 题型三 分式的混合运算题型三 分式的混合运算 例 3 计算 1 2 42 2 3 2 a bc ab c c ba 2223 3 3 xy xy yx yx a 3 4 mn m nm n mn nm 22 1 1 2 a a a 5 8 7 4 3 2 1 8 1 4 1 2 1 1 1 1 x x x x x x xx 6 5 3 1 3 1 1 1 1 1 xxxxxx 7 1 2 2 1 44 4 2 2 2 x xx x xx x 题型四 化简求值题题型四 化简求值题 例 4 先化简后求值 1 已知 求分子的值 1 x 1 2 1 1 4 4 4 8 1 2 2 xx x x 2 已知 求的值 432 zyx 222 32 zyx xzyzxy 3 3 已知 试求的值 013 2 aa 1 1 2 2 a a a a 题型五 求待定字母的值题型五 求待定字母的值 例 5 若 试求的值 11 1 31 2 x N x M x x NM 练习 练习 1 计算 1 2 1 2 32 1 2 1 1 2 52 a a a a a a ab abb ba a 2 22 3 4 bac cb acb cba cba cba 232 ba b ba 2 2 5 6 4 4 ba ab ba ba ab ba 2 1 2 1 1 1 1 x xx 7 2 1 1 3 1 2 3 2 1 xxxxxx 2 先化简后求值 1 其中满足 1 1 12 4 2 1 22 2 aaa a a a a0 2 aa 2 已知 求的值 3 2 yx 2 3 22 y x x yx yx xy yx 3 已知 试求 的值 121 12 1 45 x B x A xx x AB 4 当为何整数时 代数式的值是整数 并求出这个整数值 a 2 805399 a a 四 四 整数指数幂与科学记数法 整数指数幂与科学记数法 题型一 运用整数指数幂计算题型一 运用整数指数幂计算 例 1 计算 1 2 3132 bca 2322123 5 3 zxyzyx 3 4 2 42 53 baba baba 6223 yxyxyx 题型二 化简求值题题型二 化简求值题 例 2 已知 求 1 的值 2 求的值 5 1 xx 22 xx 44 xx 题型三 科学记数法的计算题型三 科学记数法的计算 例 3 计算 1 2 223 102 8 103 3223 102 104 练习练习 1 计算 1 2008200702 4 25 0 31 3 1 5 1 5 1 3 1 2 322231 3 nmnm 3 2323 2222 3 2 abba baab 4 21 222 2 4 yxyx yxyx 2 已知 求 1 2 的值 015 2 xx 1 xx 22 xx 第二讲 分式方程 知识要点 1 分式方程的概念以及解法 2 分式方程产生增根的原因 3 分式方程的应用题 主要方法 1 分式方程主要是看分母是否有外未知数 2 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程 方程两边同乘以最简公分母 3 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系 恰当地设末知数 一 分式方程题型分析 一 分式方程题型分析 题型一 用常规方法解分式方程题型一 用常规方法解分式方程 例 1 解下列分式方程 1 2 3 4 xx 3 1 1 0 1 3 2 xx 1 1 4 1 1 2 x x x x x x x 4 5 3 5 提示易出错的几个问题 分子不添括号 漏乘整数项 约去相同因式至使漏根 忘记验根 题型二 特殊方法解分式方程题型二 特殊方法解分式方程 例 2 解下列方程 1 2 4 44 1 x x x x 5 6 9 10 8 9 6 7 x x x x x x x x 提示 1 换元法 设 2 裂项法 y x x 16 1 1 6 7 xx x 例 3 解下列方程组 4 3 4 111 2 3 111 1 2 111 xz zy yx 题型三 求待定字母的值题型三 求待定字母的值 例 4 若关于的分式方程有增根 求的值 x 3 1 3 2 x m x m 例 5 若分式方程的解是正数 求的取值范围 1 2 2 x ax a 提示 且 且 0 3 2 a x2 x2 a4 a 题型四 解含有字母系数的方程题型四 解含有字母系数的方程 例 6 解关于的方程x 0 dc d c xb ax 提示 1 是已知数 2 dcba 0 dc 题型五 列分式方程解应用题题型五 列分式方程解应用题 练习 1 解下列方程 1 2 0 21 2 1 1 x x x x 3 4 2 3 xx x 3 4 2 2 3 2 2 xx x 1 7 1 37 2 2 22 x x xxxx 5 6 2 1 23 52 42 45 x x x x 4 1 2 1 5 1 1 1 xxxx 7 6 8 1 1 7 9 2 x x x x x x x x 2 解关于的方程 x 1 2 bxa 211 2 ab 11 ba x b bx a a 3 如果解关于的方程会产生增根 求的值 x 2 2 2 x x x k k 4 当为何值时 关于的方程的解为非负数 kx1 2 1 2 3 xx k x x 5 已知关于的分式方程无解 试求的值 xa x a 1 12 a 二 分式方程的特殊解法 二 分式方程的特殊解法 解分式方程 主要是把分式方程转化为整式方程 通常的方法是去分母 并且要检验 但对一 些特殊的分式方程 可根据其特征 采取灵活的方法求解 现举例如下 一 交叉相乘法一 交叉相乘法 例 1 解方程 2 31 xx 二 化归法二 化归法 例 2 解方程 0 1 2 1 1 2 x x 三 左边通分法三 左边通分法 例 3 解方程 8 7 1 7 8 xx x 四 分子对等法四 分子对等法 例 4 解方程 11 ba x b bx a a 五 观察比较法五 观察比较法 例 5 解方程 4 17 4 25 25 4 x x x x 六 分离常数法六 分离常数法 例 6 解方程 8 7 3 2 9 8 2 1 x x x x x x x x 七 分组通分法七 分组通分法 例 7 解方程 4 1 3 1 5 1 2 1