（江西版）2013年高考数学总复习 第八章8.5 椭圆教案 理 北师大版

1 20132013 年高考第一轮复习数学北师年高考第一轮复习数学北师 江西版江西版 理第八章理第八章 8 58 5 椭圆椭圆 考纲要求考纲要求 1 掌握椭圆的定义 几何图形 标准方程及简单性质 2 理解数形结合的思想 3 了解椭圆的简单应用 了解椭圆的实际背景 了解椭圆在刻画现实世界和解决实际 问题中的作用 知识梳理知识梳理 1 椭圆的定义 平面内与两个定点F1 F2的距离之和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 这两 个定点叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做椭圆的 平面内到定点的距离和它到定直线的距离之比为一个常数e 0 e 1 的点的轨迹是椭圆 其中定点是椭圆的一个焦点 定直线为椭圆的一条准线 这个常数e就是椭圆的离心率 2 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 1 a b 0 y2 a2 x2 b2 图形 范围 a x a b y b b x b a y a 对称性对称轴 坐标轴对称中心 原点 顶点 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b A1 0 a A2 0 a B1 b 0 B2 b 0 焦点F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 轴长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为 焦距 F1F2 通径长 2b2 a 离心率e 0 1 性 质 准线 x a2 c y a2 c a b c 的关系 基础自测基础自测 1 已知椭圆 1 长轴在x轴上 若焦距为 4 则m等于 x2 10 m y2 m 2 A 4 B 5 C 7 D 8 2 椭圆的焦点坐标为 5 0 和 5 0 椭圆上一点与两焦点的距离和是 26 则椭圆的 方程为 A 1 B 1 x2 169 y2 144 x2 144 y2 169 2 C 1 D 1 x2 169 y2 25 x2 144 y2 25 3 已知椭圆的长轴的长是短轴长的 2 倍 则椭圆的离心率为 A B C D 1 3 3 3 1 2 3 2 4 若焦点在x轴上的椭圆 1 的离心率为 则m等于 x2 2 y2 m 1 2 A B C D 3 3 2 8 3 2 3 5 椭圆 1 的焦点为F1 F2 点P在椭圆上 若 PF1 4 则 x2 9 y2 2 PF2 F1PF2的大小为 思维拓展思维拓展 1 在椭圆的定义中 如何把握 PF1 PF2 F1F2 这一条件 提示 提示 在椭圆的定义中 除了满足 PF1 PF2 定值 还要满足 PF1 PF2 F1F2 这一条件 动点P的轨迹才是椭圆 若 PF1 PF2 F1F2 则动点P的轨迹是线段F1F2 若 PF1 PF2 F1F2 则动点P的轨迹不存在 2 用待定系数法求椭圆的标准方程时 应注意什么 提示 提示 用待定系数法求椭圆的方程时 要 先定型 再定量 不能确定焦点的位置时 可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 一 椭圆的定义及应用 例 1 一动圆与已知圆O1 x 3 2 y2 1 外切 与圆O2 x 3 2 y2 81 内切 试 求动圆圆心的轨迹方程 方法提炼方法提炼在利用椭圆定义解题的时候 一方面要注意到常数 2a F1F2 这个条件 另一 方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的 焦点三角形 中的数量关系 请做请做 针对训练针对训练 3 3 二 求椭圆的标准方程 例 2 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴的长是短轴长的 3 倍 并且过点P 3 0 求椭圆的方程 方法提炼方法提炼求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法 具体过程是先定形 再定量 即首 先确定焦点所在位置 然后再根据条件建立关于a b的方程组 如果焦点位置不确定 要 考虑是否有两解 有时为了解题方便 也可把椭圆方程设成mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 请做请做 针对训练针对训练 1 1 三 椭圆的几何性质 例 3 如图 在平面直角坐标系xOy中 A1 A2 B1 B2为椭圆 1 a b 0 的 x2 a2 y2 b2 四个顶点 F为其右焦点 直线A1B2与直线B1F相交于点T 线段OT与椭圆的交点M恰为线 段OT的中点 则该椭圆的离心率为 方法提炼方法提炼离心率是椭圆的几何性质中考查的重点 求离心率的方法通常是根据条件列出 a c所满足的齐次方程 或不等式 然后再求离心率的值或取值范围 请做请做 针对训练针对训练 2 2 3 考情分析考情分析 通过对近几年高考试题的分析可以看出 对于椭圆的考查 选择 填空 解答的形式均 可能出现 与椭圆有关的解答题通常是数学高考的压轴题 整个命题过程主要侧重以下几点 1 以椭圆的定义为载体 求椭圆的方程 2 以椭圆的方程为载体 研究与参数 a b c e有关的问题 其中求椭圆的离心率是重点 针对训练针对训练 1 2011 全国课标高考 理 14 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的中心为原点 焦点 F1 F2在x轴上 离心率为 过F1的直线l交C于A B两点 且 ABF2的周长为 16 那么 2 2 C的方程为 2 已知F1 F2是椭圆的两个焦点 P为椭圆上一点 F1PF2 60 则椭圆离心率的 取值范围为 3 在 ABC中 BC 24 AC AB边上的中线长之和等于 39 求 ABC的重心的轨迹方 程 4 2011 陕西高考 文 17 设椭圆C 1 a b 0 过点 0 4 离心率为 x2 a2 y2 b2 3 5 1 求C的方程 2 求过点 3 0 且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标 4 5 5 设F1 F2分别是椭圆E x2 1 0 b 1 的左 右焦点 过F1的直线l与E相交 y2 b2 于A B两点 且 AF2 AB BF2 成等差数列 1 求 AB 2 若直线l的斜率为 1 求b的值 4 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 焦点 焦距 2 2a 2b 2c c2 a2 b2 c a 基础自测基础自测 1 A 解析 解析 椭圆焦点在x轴上 a2 10 m b2 m 2 又c 2 10 m m 2 4 m 4 2 A 解析 解析 由题意知a 13 c 5 b2 a2 c2 144 又 椭圆的焦点在x轴上 椭圆方程为 1 x2 169 y2 144 3 D 解析 解析 由 2a 2 2b a 2b c a a2 b2 a 4b2 b2 2b 3 2 4 B 解析 解析 a2 2 b2 m c2 2 m e2 c2 a2 2 m 2 1 4 m 3 2 5 2 120 解析 解析 由题意知a 3 b c 由椭圆定义得 PF1 PF2 6 27 PF1 4 PF2 2 又 F1F2 2 7 在 F1PF2中 由余弦定理可得 cos F1PF2 1 2 F1PF2 120 考点探究突破考点探究突破 例 1 解 解 如图所示 设动圆的圆心为C 半径长为r 则由圆相切的性质知 CO1 1 r CO2 9 r CO1 CO2 10 而 O1O2 6 10 点C的轨迹是以O1 O2为焦点的椭圆 其中 2a 10 2c 6 b 4 动圆圆心的轨迹方程为 1 x2 25 y2 16 例 2 解 解 若椭圆焦点在x轴上 设其方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 椭圆过P 3 0 1 32 a2 02 b2 又 2a 3 2b 5 a 3 b 1 椭圆方程为 y2 1 x2 9 若椭圆焦点在y轴上 设其方程为 1 a b 0 y2 a2 x2 b2 椭圆过点P 3 0 1 02 a2 32 b2 又 2a 3 2b a 9 b 3 椭圆方程为 1 y2 81 x2 9 所求椭圆的方程为 y2 1 或 1 x2 9 y2 81 x2 9 例 3 2 5 解析 解析 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b F c 0 7 直线A1B2的方程为y x b 直线B1F的方程为y x b b a b c 联立解得交点T 2ac a c b a c a c 又 中点M在椭圆上 ac a c b a c 2 a c 则 1 3a2 c2 10ac 0 即e2 10e 3 0 ac a c 2 a2 b a c 2 a c 2 b2 又 0 e 1 e 2 5 7 演练巩固提升演练巩固提升 针对训练针对训练 1 1 解析 解析 根据椭圆焦点在x轴上 可设椭圆方程为 1 a b 0 x2 16 y2 8 x2 a2 y2 b2 e 2 2 c a 2 2 根据 ABF2的周长为 16 得 4a 16 因此a 4 b 2 2 椭圆方程为 1 x2 16 y2 8 2 解析 解析 不妨设椭圆方程为 1 a b 0 令 PF1 t1 PF2 t2 1 2 1 x2 a2 y2 b2 则 cos 60 222 1212 1 2 2 ttFF t t t1 t2 2 F1F2 2 2t1t2 2t1t2 t1t2 4a2 2t1t2 4c2 t1t2 b2 2 a2 4 3 t1 t2 2 3a2 4b2 4 a2 c2 e c a 1 2 1 2 又 0 e 1 e 1 2 1 3 解 解 如图 以线段BC所在直线为x轴 线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系 6 设M是 ABC的重心 BD是AC边上的中线 CE是AB边上的中线 由重心的性质知 BM BD CM CE 2 3 2 3 于是 MB MC BD CE BD CE 39 26 2 3 2 3 2 3 2 3 根据椭圆的定义知 点M的轨迹是以B C为焦点的椭圆 2a MB MC 26 a 13 又 2c BC 24 c 12 b2 a2 c2 132 122 25 故所求的轨迹方程为 1 y 0 x2 169 y2 25 4 解 解 1 将 0 4 代入C的方程得 1 2 16 b b 4 又e 得 即 1 c a 3 5 22 2 ab a 9 25 2 16 a 9 25 a 5 C的方程为 1 2 25 x 2 16 y 2 过点 3 0 且斜率为 的直线方程为y x 3 4 5 4 5 设直线与C的交点为A x1 y1 B x2 y2 将直线方程y x 3 代入C的方程 得 1 4 5 2 25 x 2 3 25 x 即 3x 8 0 解得 2 x 1 x 3 41 2 2 x 3 41 2 x 12 2 xx 3 2 6 即AB的中点坐标为 y 12 2 yy 2 5 12 xx 6 5 3 2 6 5 5 解 解 1 由椭圆定义知 AF2 AB BF2 4 又 2 AB AF2 BF2