计数原理与排列组合

2013 届高三数学复习第一季 1 12 授课日期授课班级 课 题计数原理与排列组合 一 课 型复习课 考 纲 解 读 理解计数原理 掌握计数原理问题的处理方法与基本策略 教学重点掌握计数原理 会应用两个原理解决实际问题 教学难点两个原理的区别与联系 教学后记 板书设计 知识点 1 分类加法计数原理 完成一件事有类不同的方案 在第一类方案中有种不同的办法 在第二类方n 1 m 案中有种不同的办法 在第类方案中有种不同的办法 则完成这 2 mn n m 件事情 共有 种不同的办法 N 2 分步乘法计数原理 完成一件事需要分个不同的步骤 完成第一步有种不同的办法 完成第二步n 1 m 有种不同的办法 完成第步有种不同的办法 则完成这件事情 2 mn n m 共有 种不同的办法 N 3 两个原理的区别与联系 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 都涉及完成一件事情的不同办法的 总数 它们的区别在于 分类加法计数原理与分类有关 各种办法相互独立 用其中的任何一种办法都可以完成这件事 分步乘法计数原理与分步有关 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才完成 4 学习策略 运用分类计数原理时 要恰当选择分类标准 做到不重不漏 运用分步计数原理时 要确定好次序 并且每一步都是独立 互不干扰的 还要注意元素 是否可以重复使用 对于复杂问题 可同时运用两个基本原理或借助列表 画图的方法来帮助分析 例题与练习 例例 1 1 1 1 有一项活动 需要在 3 名老师 8 名男同学和 5 名女同学中选人参加 1 若只需一人参加 有多少种不同的选法 2 若需一名老师 一名同学参加 有多少种不同的选法 3 若需老师 男同学 女同学各一人参加 有多少种不同的选法 例例 1 1 2 2 有 5 位同学想参加语文 数学 外语三种课外兴趣小组 每人只能报一项 则有 种不同 的报名方式 A 8 种 B 15 种 C 种 D 种 5 3 3 5 2013 届高三数学复习第一季 2 12 例例 1 1 3 3 集合有个元素 集合有个元素 则 edcbaA 5 hfnmB 4 1 从集合到集合可以建立 个不同映射 AB 2 从集合到集合可以建立 个不同映射 BA 3 若集合中的元素都是象 则从集合到集合可以建立 个不同映射 BAB 变式练习变式练习 1 1 1 某学校高二年级有 12 名语文教师 13 名数学教师 15 名英语教师 市教育局拟召开一个新课程研讨 会 1 若选派 1 名教师参会 有多少种派法 2 若三个学科各派 1 名教师参会 有多少种派法 3 若选派 2 名不同学科的教师参会 有多少种派法 2 5 位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则报名方法共有 A 10 种 B 20 种 C 25 种 D 32 种 3 某班新年联欢原定的 5 个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将这 2 个节目插入原节目单中 那么不同的插法的种类为 4 某人有 3 个不同的电子邮箱 他要发 5 个电子邮件 有 种发送方法 A 8 B 15 C D 5 3 3 5 5 已知集合 从两个集合中各取一个元素作为点的坐标 可得直角坐标系 3 2 1 M 7 6 5 4 N 中第一 二象限不同点的个数是 A 18 B 16 C 14 D 10 6 设集合 则方程表示焦点位于 y 轴的椭圆有 个 AbaA 5 4 3 2 11 22 b y a x 7 已知集合 1 0 1 A 6 5 4 3 2 B 1 从到的不同映射可以有 个 AB 2 从到的不同映射可以有 个 BA 3 从到且满足为奇数的有 个 AB xxfxfx 8 三封信投入四个信箱 全部投完 共有多少种不同的投法 9 同室四人各写一张贺年卡 先集中起来 然后每人从中拿出一张别人写的卡片 则不同的分配方式有多 少种 10 三人踢毽子 互相传递 每人每次只能踢一下 由甲开始踢 经过 4 次传递后 毽子又被踢回甲 则不同 2013 届高三数学复习第一季 3 12 的传递方式共有 A 6 种 B 8 种 C 10 种 D 16 种 授课日期授课班级 课 题计数原理与排列组合 二 课 型复习课 考 纲 解 读 理解排列 组合的概念 掌握排列组合问题的处理方法与基本策略 教学重点掌握排列组合问题的处理方法并能解决实际问题 教学难点解决实际问题 教学后记 板书设计 知识点 1 排列与排列数 2 排列数公式 3 组合与组合数 4 组合数公式 5 组合数的性质 6 学习策略 1 在解决排列 组合综合性问题时 必须深刻理解排列与组合的概念 能够熟练确定一个问题是排列 问题还是组合问题 牢记排列数 组合数公式与组合数性质 容易产生的错误是重复和遗漏计数 2 常见的解题策略有以下几种 a 特殊元素与准确分类的策略 b 合理分类与准确分步的策略 c 相邻问题捆绑处理的策略 d 不相邻问题插空处理的策略 e 分排问题直排处理的策略 f 定序问题除法处理的策略 g 交叉问题集合法处理的策略 h 至多 少 问题间接法处理的策略 i 正难则反 等价转化的策略 j 排列 组合混合问题先选后排的策略 k 小集团 排列问题中先整体后局部的策略 l 构造模型的策略 2013 届高三数学复习第一季 4 12 例例 2 2 排队问题排队问题 名同学 女生名 男生名 排成一列 743 1 共有多少种排法 2 男生甲必排在中间有多少种排法 3 男生甲不排在两端的排法有多少种 4 甲 乙必不相邻的排法有多少种 5 甲 乙 丙三人必相邻的排法有多少种 6 女 男分别相邻的排法有多少种 43 7 甲 乙不相邻的排法有多少种 8 男生不相邻的排法有多少种 9 女生不相邻的排法有多少种 10 男女生互相间隔的排法有多少种 11 甲必在乙的左侧的排法有多少种 12 甲左 乙中 丙右的排法有多少种 13 排成两排 前排人 后排人排法有多少种 34 14 排成三排 第一排 人 第二排人 第三排人排法有多少种 124 变式练习变式练习 2 2 A B C D E 五人站成一排 1 共有多少种排法 2 A B 两人相邻的不同排法有多少种 3 A B 两人不相邻的不同排法有多少种 4 A B C 两两不相邻的排法有多少种 5 A B C 相邻的排法有多少种 6 A B 中间有且只有一个人的排法有多少种 7 A B 两人相邻 但都不与 C 相邻的排法有多少种 8 A 在 B 左边的排法有多少种 9 A 在 B 左边 B 在 C 左边的排法有多少种 10 A 在 B C 中间的排法有多少种 11 A 在中间的排法有多少种 12 A 在两端的排法有多少种 13 A 不在排头 B 在排尾的排法有多少种 14 A 不在排头 B 不在排尾的排法有多少种 例例 3 3 排数问题排数问题 由组成无重复数字的五位数 7 6 5 4 3 2 1 1 共有多少个 2 奇数共有多少个 3 偶数共有多少个 4 的倍数共有多少个 5 5 的倍数共有多少个 3 6 的倍数共有多少个 4 7 比小的数共有多少个 24531 8 所有无重复数字的五位数的各位数字之和为多少 2013 届高三数学复习第一季 5 12 9 所有重复五位数字的之和为多少 10 奇数数字不相邻的排法共有多少个 11 偶数数字不相邻的排法共有多少个 12 奇偶相间的排法共有多少个 变式练习变式练习 3 3 1 由数字 0 1 2 3 4 5 组成的四位数有多少个 其中偶数有多少个 2 由数字 0 1 2 3 4 5 组成的无重复数字的四位数有多少个 其中偶数有多少个 奇数多少个 能被 5 整除的有多少个 能被 3 整除的有多少个 3 用数字 0 1 2 3 4 5 可以组成 个没有重复数字且比 13000 大的正整数 4 用数字 0 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的四位数 将这些数从小到大排列 则 2013 是其中第 个 5 由组成无重复数字的五位数 6 5 4 3 2 1 0 1 共有多少个 2 奇数共有多少个 3 偶数共有多少个 4 的倍数共有多少个 5 5 的倍数共有多少个 25 6 的倍数共有多少个 3 7 的倍数共有多少个 4 8 比大的数有多少个 24531 9 所有无重复数字的五位数各位数字之和共有多少个 10 所有无重复数字的五位数之和共有多少个 11 奇数数字不相邻排法有多少种 12 偶数数字不相邻的排法有多少种 13 奇偶相间的排法有多少种 2013 届高三数学复习第一季 6 12 授课日期授课班级 课 题计数原理与排列组合 三 课 型复习课 考 纲 解 读 理解排列 组合的概念 掌握排列组合问题的处理方法与基本策略 教学重点掌握排列组合问题的处理方法并能解决实际问题 教学难点解决实际问题 教学后记 板书设计 例例 4 4 至多 至少 恰好问题至多 至少 恰好问题 一个口袋内装有大小相同的 4 个白球和 3 个黑球 1 从口袋内取出 4 个球 共有 种取法 2 从口袋内取出 4 个球 其中恰好含有 1 个黑球取法有 种 3 从口袋内取出 4 个球 其中至少含有 1 个黑球的取法有 种 4 从口袋内取出 4 个球 其中至多含有 2 个黑球的取法有 种 5 从口袋内取出 4 个球 其中白球的个数不少于黑球的个数的取法有 种 6 从口袋内取出 4 个球 若计白球为 2 分 黑球为 1 分 则总分不少于 6 分的取法 有 种 变式练习变式练习 4 4 1 200 件产品中有 5 件是次品 现从中任意抽取 4 件 按下列条件 各有多少种不同的抽法 1 都不是次品的取法有 种 2 至少有 1 件次品的取法有 种 3 不都是次品的取法有 种 以上各题只写出运算表达式即可 2 从 7 名男生 5 名女生中选出 5 人当班干部 分别求符合下列条件的选法总数有多少种 1 A B 必须当选 2 A B 必不当选 3 A B 不全当选 4 至少有 2 名女生当选 2013 届高三数学复习第一季 7 12 5 选 3 名男生和 2 名女生分别担任班长 体委等 5 种不同的工作 但体委必须由男生担任 班长必须 由女生担任 3 4 个不同的小球全部放在三个不同的盒子里 每个盒子至少放一个的方法有 种 4 从 4 台甲型与 5 台乙型电视机中任取 3 台 其中至少要有甲型与乙型电视机各一台 则不同的取法共有 种 A 140 B 84 C 70 D 35 例例 5 5 分组与分配问题分组与分配问题 按下列要求分配 6 本不同的书 各有多少种不同的分配方式 1 分成三份 1 份 1 本 1 份 2 本 1 份 3 本 2 分给甲 乙 丙三人 一人 1 本 一人 2 本 一人 3 本 3 平均分成三份 每份 2 本 4 平均分给甲 乙 丙三人 每人 2 本 5 分成三份 1 份 4 本 另两份每份 1 本 6 分给甲 乙 丙三人 甲 1 本 乙 1 本 丙 4 本 7 分给甲 乙 丙三人 一人 4 本 另两人各 1 本 8 分成三份 每份至少 1 本 9 分给甲 乙 丙三人 每人至少一本 变式练习变式练习 5 5 1 把 4 个男同志和 4 个女同志平均分成 4 组 到 4 辆公共汽车里参加劳动 如果同样两人在不同汽车上 算作不同情况 1 有几种不同的分配方法 2 每个小组必须是一个男同志和一个女同志有几种不同的分配方法 3 男同志和女同志分别分组 有几种不同的分配方法 2 从 20 名教师中选 1 人到 A 校听课 2 人到 B 校听课 3 人到 C 校听课 共有多少种 不同的选派方法 三位同学分别给出如下答案 甲 乙 丙 则 3 17 2 19 1 20 CCC 3 4 2 6 6 20 CCC 2 5 5 19 1 20 CCC A 仅甲正确 B 仅甲 乙正确 C 仅乙 丙正确 D 甲 乙 丙都正确 3 2 名医生和 4 名护士被分配到 2 所学校为学生体检 每校分配 1 名医生和 2 名护士 不同的分配方法共有 种 例例 6 6 名额分配问题 插板法 名额分配问题 插板法 2013 届高三数学复习第一季 8 12 某校高一年级 8 个班协商组成年级篮球队 共需 10 名队员 每个班至少要出一名 不同的组成方式 有多少种 变式练习变式练习 6 6 1 已知方程10 zyx 1 方程的正整数解有 组 2 自然数解有 组 3 都大于等于的整数解有 组 1 4 满足的整数解有 组 2 1 0 zyx 2 将 10 个相同的小球装入 3 个编号为 1 2 3 的盒子 每次要把 10 个球装完 要求每个 盒子里球的个数不小于盒子的编号数 则共有 种装法 3 马路上有 9 盏路灯 为了节约用电 可以关掉其中的三盏灯 要求灭掉的灯不能相邻 且不在马路的两头 则关灯的不同方法共有 种 例例 7 7 交叉问题 集合法 交叉问题 集合法 某公司有 8 名翻译 其中 5 人会英语 6 人会法语 现要选出英语 法语翻译个 2 名组成谈判小组 共有 多少种不同的方案 变式练习变式练习 7 7 某校文艺小队共有 7 名成员 其中 5 人会跳舞 5 人会唱歌 若要表演一个 1 人唱歌 两人跳舞的节目 共有多少种不同的方案 例例 8 8 1 1 几何问题几何问题 过三棱柱任意两个顶点的直线共条 其中异面直线有 15 A 对 B 对 C 对 D 对18243036 例例 8 8 2 2 以正七边形的顶点几个边中点为三角形的顶点 构成的三角形数目是 A B C D 以上都不对 3 14 C 3 7 3 7 CC 7 3 14 C 例例 8 8 3 3 四面体的顶点和各棱中点共个点 在其中取个不共面的点 不同的取法共有104 A 种 B 种 C 种 D 种150147144141 变式练习变式练习 8 8 1 正方体每一条面对角线与正方体的棱可组成异面直线的对数最多是 A 对 B 对 C 对 D 对361224 2 在排成方阵的个点中 中心个点在某一圆内 其余个点在圆外 在这个点中任选三44 1641216 个点构成三角形 其中至少有一个顶点在圆内的共有 A B C D 312328340264 3 已知平面 在内有个点 在内有个点 4 6 1 过这个点中的点作一平面 最多可作多少个不同的平面 103 2013 届高三数学复习第一季 9 12 2 以这些点为顶点 最多可作多少个三棱锥 3 上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积 授课日期授课班级 课 题计数原理与排列组合 四 课 型复习课 考 纲 解 读 理解排列 组合的概念 掌握排列组合问题的处理方法与基本策略 教学重点掌握排列组合问题的处理方法并能解决实际问题 教学难点解决实际问题 教学后记 板书设计 例例 9 9 1 1 着色问题着色问题 用种不同的颜色给图中的四个区域涂色 规定每个区域只能涂一种颜色 相邻区域 有公共5DCBA 边 颜色不同 求有多少种不同的涂色方法 1 2 3 4 例例 9 9 2 2 用 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色 如图所示 要求在 四个区域中相邻 有公 共边界 的区域不用同一种颜色 1 若 为甲着色时共有多少种不同的方法 6n 2 若为乙着色时共有 120 种不同方法 求 n 变式练习变式练习 9 9 1 某城市有甲 乙 丙 丁四个城区 分布如图 1 所示 现用五种不同的颜色涂在该城市地图上 要求相邻 区域的颜色不相同 不同的涂色方案共有多少种 AB CD AB CDE A B CD AB CD 2013 届高三数学复习第一季 10 12 2 用 5 种不同的颜色给图中四个区域涂色 规定每个区域只涂一种 A B C D 颜色 相邻区域颜色不同 求有多少种不同的涂色方法 3 如图所示 一个地区分为 5 个行政区域 现给地图着色 要求相邻区域不得使用 同一颜色 现有 5 种颜色可供选择 则不同的着色方法共有多少种 4 将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色 并使每一条棱的两端点异色 若只有五种颜色可使用 则不 同的染色的方法总数为多少种 综合练习综合练习 1 三科教师都布置了作业 在同一时刻 4 名学生都做作业的可能情形有 A 64 B 81 C 24 D 4 2 四个不同的小球放入编号为 1 2 3 4 的四个盒中 则恰有一个空盒的放法有 种 3 有 11 名学生 其中女生 3 名 男生 8 名 从中选出 5 名学生组成代表队 要求至少有 1 名女生参加 则不同的选派方法种数是 A 406 B 560 C 462 D 154 4 某学生要邀请 10 位同学中的 6 位参加一项活动 其中有 3 位同学不能同时参加 则邀请的方法 有 种 5 从 5 双不同的鞋中任取 4 只 其中至少有一双的选法共有 种 6 某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门 其中甲乙两门课程不能都选 则不同的选课方案有 种 7 从 5 男 4 女中选 4 位代表 其中至少有 2 位男同志 且至少有 1 位女同志 分别到四个不同的工厂调 查 不同的分派方法有 A 100 种 B 400 种 C 480 种 D 2400 种 8 某班有 50 名学生 其中有一名正班长 一名负班长 现选派 5 人参加一次游览活动 至少有一名班长 包 括正副班长 参加 共有 种不同的选法 写出计算表达式即可 9 将 20 件相同的物品分给 4 个学生 要求每个学生至少得 3 件 共有分法种数为 甲 乙 丙 丁 图 1 2013 届高三数学复习第一季 11 12 10 如图所示 在某个城市中 M N 两地之间有整齐的道路网 若规定只能向东或向北两个 方向沿图中路线前进 则从 M 到 N 不同的走法共有 种 11 身高均不相同的 7 个人排成一列 要求正中间的个子最高 从中间向两边看 一个比一个矮 有 种不同的排法 12 从正方体的 8 个顶点中选取 4 个作为四面体的顶点 可得到的不同四面体的个数为 个 13 从正方体的六个面中选取 3 个面 其中有 2 个面不相邻的选法共有 A 8 种 B 12 种 C 16 种 D 20 种 14 某餐厅供应客饭 每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种 现在餐厅准备 了 5 种不同的荤菜 若要保证每位顾客有 100 种以上的不同选择 则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种 15 把正方形的四个顶点 四边中点以及中心都用线段连接起来 则以这九个点中的三个点为顶点的三 角形的个数是 A 54 B 76 C 81 D 84 16 两条异面直线 a b 上分别有 5 个点和 8 个点 经过这些点中的不共线 3 点 最多能构成多少 个平面 17 在由数字 0 1 2 3 4 5 所组成的没有重复数字的四位数中 不能被 5 整除的数共有 个 18 在直角坐标系 xOy 平面上 平行直线 x n n 0 1 2 5 与平行直线 y n n 0 1 2 5 组成的图形 中 矩形共有 A 25 个 B 36 个 C 100 个 D 225 个 19 五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目 每个工程队承