东北四校2012届高考数学第一次模拟考试试题 理

用心 爱心 专心1 东北四校东北四校 20122012 届第一次高考模拟考试数学试题 理 届第一次高考模拟考试数学试题 理 考试说明 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 1 答题前 考生先将自己的姓名 准考证号填写清楚 2 选择题必须使用 2B 铅笔填涂 非选择题必须使用 0 5 毫米黑色字迹的签字笔书写 字体工 整 字迹清楚 3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答 超出答题区域书写的答案无效 在草 稿纸 试 题卷上答题无效 4 保持卡面清洁 不得折叠 不要弄破 弄皱 不准使用涂改液 刮纸刀 参考公式 圆锥侧面积Srl 第 I 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是 符合题目要求的 1 集合 12 xNZ x 中含有的元素个数为 A 4B 6C 8D 12 2 已知方程 22 1 221 xy kk 表示焦点在 y 轴上的椭圆 则实数 k 的取值范围是 A 1 2 2 B 1 C 1 2 D 1 1 2 3 下列有关命题的说法中 正确的是 A 命题 若 2 1x 则1x 的否命题为 若 2 1x 则1x B 命题 若 tantan 则 的逆命题为真命题 C 命题 2 10 xRxx 使得 的否定是 2 10 xRxx 都有 用心 爱心 专心2 D 1x 是 2 20 xx 的充分不必要条件 4 2 5 PM是指大气中直径小于或等于 2 5 微米的颗粒物 也称为可 入肺颗粒物 右图是据北京某日早 7 点至晚 8 点甲 乙两个 2 5 PM 监测点统计的数据 单位 毫克 每立方米 列出的茎叶图 则 甲 乙两地浓度的中位数较低的是 A 甲B 乙 C 甲乙相等D 无法确定 5 若 1 1 2 3ln2 1 a xdxa x 则 a 的值是 A 2B 3 C 4D 6 6 某程序框图如右图所示 则输出的结果是 A 43B 44 C 45D 46 7 已知 a b 是两个互相垂直的单位向量 且1 2c ac bc 则对任意的正实数 t 1 ctab t 的最小值是 A 2B 2 2 C 4D 4 2 8 一个几何体的三视图及尺寸如下图所示 其中正视图是直角三角形 侧视图是半圆 俯 视图是等腰三角形 该几何体的表面积是 A 16 216 B 16 28 C 8 216 D 8 28 9 过双曲线的右焦点 F 作实轴所在直线的垂线 交双曲线于 A B 两点 设双曲线的左顶 点 M 若MAB 是直角三角形 则此双曲线的离心率 e 的值为 用心 爱心 专心3 A 3 2 B 2C 2D 3 10 如下图 给定两个平面向量OAOB 和 它们的夹角为120 点 C 在以 O 为圆心的圆 弧 AB 上 且OCxOAyOB 其中 x yR 则满足2xy 的概率为 A 21 B 3 4 C 4 D 3 11 已知定义在 R 上的奇函数 f x 设其导函数 fx 当 0 x 时 恒有 xfxfx 令 F xf x 则满足 3 21 FFx 的实数 x 的取值范围 是 A 1 2 B 1 1 2 C 1 2 2 D 2 1 12 已知 2 4 0 2 0 axx x f x f xx 且函数 2yf xx 恰有 3 个不同的零点 则实 数 a 的取值范围是 A 4 0 B 8 C 4 D 0 第 II 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 将答案填在题后的横线上 13 已知 i 为虚数单位 则复数 1 3 3 i i 的虚部是 14 已知函数 2sin 2 f xx 若 5 58 是 f x的一个单调递增区间 则 的值为 15 给出下列不等式 111113111 11 1 12 2323722315 1115 1 23312 则按此规律可猜想第 n 个不等式为 用心 爱心 专心4 16 在ABC 中 30 2 5 ABCD 是 AB 边上的一点 CD 2 BCD 的面积为 4 则 AC 的长为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知 n a为等比数列 16 1 243 n aaS 为等差数列 n b的前 n 项和 15 3 35 bS 1 求 nn ab和的通项公式 2 设 1 122nnn Taba ba b 求 n T 18 本小题满分 12 分 哈尔滨冰雪大世界每年冬天都会吸引大批游客 现准备在景区内开设经营热饮等食品 的店铺若干 根据以往对 500 名 40 岁以下 含 40 岁 人员和 500 名 40 岁以上人员的 统计调查 有如下一系列数据 40 岁以下 含 40 岁 人员购买热饮等食品的有 260 人 不购买热饮食品的有 240 人 40 岁以上人员购买热饮等食品的有 220 人 不购买 热饮等食品的有 280 人 请根据以上数据作出 2 2 列联表 并运用独立性检验思想 判断购买热饮等食品与年龄 按上述统计中的年龄分类方式 是否有关系 注 要求达到 99 9 的把握才能认定为有关系 s 19 本小题满分 12 分 已知斜三棱柱 ABC A1B1C1的底面是正三角形 侧面 ABB1A1是菱形 且 1 60A AB M 是 A1B1的中点 MBAC 用心 爱心 专心5 1 求证 MB 平面 ABC 2 求二面角 A1 BB1 C 的余弦值 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 M 的中心为坐标原点 且焦点在 x 轴上 若 M 的一个顶点恰好是抛物线 2 8yx 的焦点 M 的离心率 1 2 e 过 M 的右焦点 F 作不与坐标轴垂直的直线l 交 M 于 A B 两点 1 求椭圆 M 的标准方程 2 设点 N t 0 是一个动点 且 NANBAB 求实数 t 的取值范围 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 ax f x xb 在1x 处取得极值为 2 设函数 yf x 图象上任意一点 00 xf x处的切线斜率为 k 1 求 k 的取值范围 2 若对于任意 12 01xx 存在 k 使得 21 21 f xf x k xx 求证 102 xxx 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 用心 爱心 专心6 22 本小题满分 10 分 选修 41 几何证明选讲 如图 12 OOAA与相交于 A B 两点 AB 是 2 OA的直径 过 A 点作 1 OA的切线交 2 OA于点 E 并与 BO1的延长线交于点 P PB 分别与 1 OA 2 OA交于 C D 两点 求证 1 PA PD PE PC 2 AD AE 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 曲线 2 sin2cosL 过点 A 5 为锐角且 3 tan 4 作平行于 4 R 的直线l 且l与曲线 L 分别交于 B C 两点 1 以极点为原点 极轴为 x 轴的正半轴 取与极坐标相同单位长度 建立平面直角 坐标系 写出曲线 L 和直线l的普通方程 2 求 BC 的长 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知关于 x 的不等式 2 21 1 logxxa 其中0a 1 当 a 4 时 求不等式的解集 2 若不等式有解 求实数 a 的取值范围 用心 爱心 专心7 参 考 答 案 一 选择题 一 选择题 题号 123456789101112 答案 BCDBACBDBBAC 二 填空题 二 填空题 13 1 14 4 15 2 1 12 1 3 1 2 1 1 1 n n 16 22或4 三 解答题 三 解答题 17 1 3 n n a 3 分 12 nbn 6 分 12 3123123513 nn n nnT nn n nnT31231235333 12 得 nn n nT312333232 12 9 分 整理得 n n nT3 12 分 18 由题得22 列联表 购买热饮等食品不购买热饮等食品总计 40 岁以下 260240500 41 岁以上 220280500 总计 4805201000 4 分 2 2 1000 260 280220 240 500 500 480 520 K 410 6 828 10 10 分 所以没有 99 9 的把握认定为有关系 12 分 19 侧面 11A ABB是菱形且 o 60 1 ABA 11 ABB 为正三角形 又 点M为 11 AB的中点 11 BMAB 用心 爱心 专心8 A1 C B A B1 C1 M H AB 11 AB BMAB 由已知ACMB MB平面ABC 4 分 法一 连接MC1 作 1 BBMH 于H 连接HC1 由 知 MC1面 11ABB A 11 BBMC 又 1 BBMH 1 BB面MHC1 HCBB 11 MHC1 为所求二面角的平面角 8 分 设菱形 11A ABB边长为 2 则3 1 MC 在MBBRt 1 中 由MBMBBBMH 11 知 2 3 MH 在MHCRt 1 中 2tan 1 1 MH MC MHC 5 5 cos 1 MHC 即二面角 11 ABBC 的余弦值为 5 5 12 分 法二 如图建立空间直角坐标系 设菱形 11A ABB边长为 2 得 1 0 1 3B 0 2 0A 3 1 0C 1 0 1 3A 则 1 0 1 3BA 0 2 0BA 1 0 1 3BB 3 1 0BC 设面 11A ABB的法向量 1111 nx y z 由 1 nBA 11 nBA 得 1 11 20 30 y yz 令 1 1x 得 1 1 0 0n 8 分 A1 C BA B1 C1 M z x y 用心 爱心 专心9 设面 11 BBC C的法向量 2222 nxy z 由 21 nBB 2 nBC 得 22 22 30 30 yz xy 令3 2 y 得 1 3 1 2 n 10 分 得 5 5 51 1 cos 21 21 21 nn nn nn 又二面角 11 ABBC 为锐角 所以所求二面角的余弦值为 5 5 12 分 20 椭圆M的标准方程 1 34 22 yx 4 分 设 11 y xA 22 y xB 设1 myxl 0 mRm 1 34 1 22 yx myx 09643 22 myym 由韦达定理得 43 6 2 21 m m yy 6 分 ABNBNA NBNA 2 1 2 1 ytx 2 2 2 2 ytx 02 2 2 2 12121 yytxxxx 将1 11 myx 1 22 myx代入上式整理得 0221 21 2 21 tmyymyy 由 21 yy 知 0221 21 2 tmyym 将 代入得 43 1 2 m t 10 分 所以实数t 4 1 0 12 分 21 22 2 bx axab xf 用心 爱心 专心10 由 01 f 及 21 f得 1 4 ba 2 分 2 0 2 2 0 0 1 1 1 2 4 x x xfk 设t x 2 0 1 1 1 0 t得 4 2 1 k 4 分 22 2 1 44 x x xf 令 1 10 xxf xf的增区间为 1 1 故当10 21 xx时 0 12 12 xx xfxf 即0 k 故 1 1 0 x 6 分 法一 由于 00 xfxf 故只需要证明 1 0 0 x时结论成立 由 12 12 xx xfxf k 得 1122 kxxfkxxf 记kxxfxh 则 12 xhxh kxfxh 则0 0 x h 设 1 0 1 1 2 x x x xg 0 1 3 3 x x xg xg为减函数 故 x f 为减函数 故当 0 xx 时有kxfxf 0 此时0 x h xh为减函数 当 0 xx 时0 x h xh为增函数 所以 0 xh为 xh的唯一的极大值 因此要使 12 xhxh 必有 201 xxx 综上 有 201 xxx 成立 12 分 用心 爱心 专心11 法二 由已知 11 1 11 1 2 2 2 1 21 2 0 2 0 2 0 xx xx xx x 下面以反证法证明结论 假设 120 xxx 则 21 2 0 xxx 因为 1 1 0 x 1 0 21 xx 所以 21 2 0 110 xxx 又 11 1 1 1 0 2 2 2 1 2 2 0 xx x 故 11 1 11 1 2 2 2 1 21 2 0 2 0 2 0 xx xx xx x 与 式矛盾 假设 210 xxx 同理可得 11 1 11 1 2 2 2 1 21 2 0 2 0 2 0 xx xx xx x 与 式矛盾 综上 有 201 xxx 成立 12 分 22 PBPE 分别是 2 O的割线 PBPDPEPA 2 分 又PBPA 分别是 1 O的切线和割线 PBPCPA 2 4 分 由 得PCPEPDPA 5 分 连结AC ED 设DE与AB相交于点F BC是 1 O的直径 90CAB AC是 2 O的切线 6 分 由 知 PD PC PE PA AC ED AB DE ADECAD 8 分 又 AC是 2 O的切线 AEDCAD 又ADECAD ADEAED AEAD 10 分 DC B P E A O1 O2 F 用心 爱心 专心12 23 由题意得 点A的直角坐标为 3 4 1 分 曲线L的普通方程为 xy2 2 3 分 直线l的普通方程为 1 xy 5 分 设 B 11 y x C 22 y x 1 2 2 xy