2014届高二数学课时章综合检测：第三章《空间向量与立体几何》（新人教A版选修2-1）

空间向量与立体几何 时间 45 分钟 满分 100 分 一 选择题 每小题 6 分 共 48 分 1 1 已知点 A 4 8 6 则点 A 关于 y 轴对称的点的坐标为 A 4 8 6 B 4 8 6 C 6 8 4 D 4 8 6 答案 D 2 2 若a a 0 1 1 b b 1 1 0 且 a a b b a a 则实数 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 答案 D 解析 a a b b 1 1 由 a a b b a a 知 a a b b a a 0 所以 1 1 0 解得 2 3 3 若向量a a 1 2 b b 2 1 2 a a b b夹角的余弦值为 则 等于 A 2B 2 C 2 或D 2 或 答案 C 解析 由公式cos 知 解方程得 2 或 4 4 已知a a 2 1 2 b b 2 2 1 则以a a b b为邻边的平行四边形的面积为 A B C 4D 8 答案 A 解析 a a 3 b b 3 而 a a b b 4 a b a b cos a a b b cos a a b b 故sin a a b b 于是以a a b b为邻边的平行四边形的面积为 S a b a b sin a a b b 3 3 5 5 如图 在四面体ABCD中 已知 b b a a c c 则等于 A a a b b c c B a a b b c c C a a b b c c D a a b b c c 答案 A 解析 a a b b c c 6 6 在三棱锥 P ABC 中 ABC 为等边三角形 PA 平面 ABC 且 PA AB 则二面角 A PB C 的平面角的正切值为 A B C D 答案 A 解析 设PA AB 2 建立空间直角坐标系 平面PAB的一个法向量是m m 1 0 0 平 面PBC的一个法向量是n n 则cos 正切值tan 7 7 已知 A 1 2 3 B 2 1 2 P 1 1 2 点 Q 在直线 OP 上运动 O 为原点 则当取 最小值时 点 Q 的坐标为 A B C D 答案 D 解析 由题意可知 故可设 Q 2 6 2 16 10 6 时 取最小值 此时 Q 的坐标为 8 8 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a E F 分别是 BB1 CD 的中点 则点 F 到平面 A1D1E 的距离为 A aB aC aD a 答案 C 解析 建立如图所示的坐标系 则 A1 a 0 a D1 0 0 a A a 0 0 B a a 0 B1 a a a E F 设平面A1D1E的法向量为n n x y z 则n n 0 n n 0 即 x y z a 0 0 0 x y z 0 ax 0 ay z 0 x 0 y n n d a 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 9 9 若向量a a 4 2 4 b b 1 3 2 则 2a a a a 2b b 答案 32 解析 2a a a a 2b b 2 a a 2 4a a b b 2 36 4 10 32 1010 如图 在矩形 ABCD 中 AB 3 BC 1 EF BC 且 AE 2EB G 为 BC 的中点 K 为 AFD 的外心 沿 EF 将矩形折成 120 的二面角 A EF B 此时 KG 的长为 答案 解析 如图 过 K 作 KM EF M 为垂足 则向量的夹角为 120 2 2 2 2 1 1 0 0 2 1 1 cos 60 0 0 2 cos 180 2 1 3 1111 已知直线 AB CD 是异面直线 AC AB AC CD BD CD 且AB 2 CD 1 则异面 直线AB与CD所成角的大小为 答案 60 解析 设 AB 与 CD 所成的角为 则cos cos 由于 0 12 0 1 cos 由于 0 90 60 故异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 60 三 解答题 共 3 小题 共 34 分 1212 10 分 已知向量a a 1 3 2 b b 2 1 1 点A 3 1 4 B 2 2 2 1 求 2a ba b 2 在直线AB上 是否存在一点E 使得 b b O为原点 解 1 2a b a b 2 6 4 2 1 1 0 5 5 故 2a b a b 5 2 t 3 1 4 t 1 1 2 3 t 1 t 4 2t 若 b b 则 b b 0 所以 2 3 t 1 t 4 2t 0 解得t 因此存在点E 使得 b b 此时E点坐标为 1313 10 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面是边长为 2 的菱形 BAD 120 且 PA 平面 ABCD PA 2 M N分别为PB PD的中点 1 解 MN 平面ABCD 2 过点 A 作 AQ PC 垂足为点Q 求二面角A MN Q的平面角的余弦值 1 解 连结 BD 因为 M N 分别是 PB PD 的中点 所以 MN 是 PBD的中位线 所以MN BD 又因为 MN 平面 ABCD BD 平面 ABCD 所以 MN 平面ABCD 2 解法一 连结 AC 交 BD 于 O 以 O 为原点 OC OD 所在直线为 x y 轴 建立空间 直角坐标系 O xyz 如图所示 在菱形 ABCD 中 BAD 120 得 AC AB 2 BD AB 6 又因为 PA 平面ABCD 所以PA AC 在直角 PAC中 AC 2 PA 2 AQ PC 得QC 2 PQ 4 由此知各点坐标如下 A 0 0 B 0 3 0 C 0 0 D 0 3 0 P 0 2 M N Q 设m m x y z 为平面AMN的法向量 由 知 取z 1 得m m 2 0 1 设n n x y z 为平面QMN的法向量 由 知 取z 5 得n n 2 0 5 于是cos 所以二面角 A MN Q 的平面角的余弦值为 解法二 在菱形 ABCD 中 BAD 120 得AC AB BC CD DA BD AB 又因为 PA 平面ABCD 所以 PA AB PA AC PA AD 所以 PB PC PD 所以 PBC PDC 而 M N 分别是 PB PD 的中点 所以 MQ NQ 且 AM PB PD AN 取线段 MN 的中点 E 连结 AE EQ 则 AE MN QE MN 所以 AEQ为二面角A MN Q的平面角 由 AB 2 PA 2 故在 AMN中 AM AN 3 MN BD 3 得 AE 在直角 PAC中 AQ PC 得 AQ 2 QC 2 PQ 4 在 PBC中 cos BPC 得MQ 在等腰 MQN中 MQ NQ MN 3 得 QE 在 AEQ中 AE QE AQ 2 得 cos AEQ 所以二面角 A MN Q 的平面角的余弦值为 1414 14 分 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC AA1 1 D 是棱 CC1 上的一点 P 是 AD 的延长线与 A1C1的延长线的交点 且 PB1 平面 BDA1 1 求证 CD C1D 2 求二面角 A A1D B 的平面角的余弦值 3 求点 C 到平面 B1DP 的距离 解 如图 以 A1为原点 A1B1 A1C1 A1A 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间 直角坐标系 A1xyz 则 A1 0 0 0 B1 1 0 0 C1 0 1 0 B 1 0 1 1 设 C1D x AC PC1 由此可得 D 0 1 x P 1 0 1 0 1 x 设平面BA1D的一个法向量为n n1 a b c 则 令c 1 则n n1 1 x 1 PB1 平面 BA1D n n1 1 1 x