高考数学 4.1平面向量教案

用心 爱心 专心1 4 14 1 平面向量平面向量 高考目标定位 一 平面向量的概念及其线性运算 1 考纲点击 1 了解向量的实际背景 2 理解平面向量的概念 理解两个向量相等的含义 3 理解向量的几何表示 4 掌握向量加法 减法的运算 并理解其几何意义 5 掌握向量数乘的运算及其几何意义 理解两个向量共线的含义 6 了解向量线性运算的性质及其几何意义 2 热点提示 1 重点考查平面向量的有关概念 线性运算及其几何表示 2 多以选择 填空的形式呈现 有时和其他知识相结合 在知识的交汇点处命题 二 平面向量的基本定理及坐标表示 1 考纲点击 1 了解平面向量的基本定理及其意义 2 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3 会用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 4 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 2 热点提示 1 向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件是高考考查的热点 常以选择 填 空题的形式出现 为中 低档题 2 向量的坐标运算常与三角 解析几何等知识结合 在知识交汇点处命题 以解答题的 形式呈现 属中档题 三 平面向量的数量积及平面向量应用举例 1 考纲点击 1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 4 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 2 热点提示 1 平面向量数量积的运算 模与夹角 平行与垂直问题的高考命题的热点 多以选择 填空题的形式出现 属中低档题 但灵活多变 2 可与三角函数 解析几何等知识综合命题 是高考的另一个热点 考纲知识梳理 一 平面向量的概念及其线性运算 1 向量的有关概念及表示方法 1 向量的有关概念 名称定义备注 向量既有大小又有方向的量 向 量的大小叫做向量的长度 用心 爱心 专心2 或模 零向量长度为 0 的向量 其方向是 任意的 记作0 单位向量长度等于 1 个单位的向量 平行向量方向相同或相反的非零向量 共线向量平行向量双叫做共线向量 0 与任一向量平行或共线 相等向量长度相等且方向相同的向量 相反向量长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为0 2 向量的表示方法 字母表示法 如 a AB 等 几何表示法 用一条有向线段表示向量 2 向量的线性运算 向量运算定义法则 或几何意义 运算律 加法 求两个向量和的 运算 1 交换律 abba 2 结合律 abcabc 减法 求a 与b 的相反 向量 b 的和的运 算叫做a 与b 的 差 数乘 求实数 与向量 a 的积的运算 1 aa 2 当 0 时 a 与a 的方向相同 当 0 时 a 与a 的 方向相反 当 0 时 a 0 aa aaa abab 用心 爱心 专心3 注 式子 2222 2 ababab 的几何意义为 平行四边形两条对角线的平方 和等于它们四条边的平方和 3 向量 0 a a 与向量b 共线的充要条件为存在唯一一个实数 使 ba 注 用向量法证明三点 A B C 共线时 首先求出AB AC 然后证明AB AC 即 ABAC 与 共线即可 二 平面向量的基本定理及坐标表示 1 两个向量的夹角 1 定义 已知两个非零向量a 和b 作 OAa OAb 则 AOB 叫做向量a 与b 的夹角 2 范围 向量夹角 的范围是 00 1800 a 与b 同向时 夹角 00 a 与b 反向时 夹角 1800 3 向量垂直 如果向量a 与b 的夹角是 900 则a 与b 垂直 记作a b 注 在 ABC 中 设 ABa BCb 则向量a 与b 的夹角为 ABC 是否正确 答 不 正确 求两向量的夹角时 两向量起点应相同 向量a 与b 的夹角为 ABC 2 平面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理 定理 如果 12 e e 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量a 有 且只有一对实数 1 2 使 1 122 aee 其中 不共线的向量 12 e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 3 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与 x 轴 y 轴方向相同的两个单位向量 i j 作为基底 对 于平面内的一个向量a 有且只有一实数 x y 使a xiy j 把有序数对 x y 叫做向 量a 的坐标 记作a x y 其中 x 叫做a 在 x 轴上的坐标 y 叫做a 在 y 轴上的坐标 设OA xiy j 则向量OA 的坐标 x y 就是终点 A 的坐标 即若OA x y 则 用心 爱心 专心4 A 点坐标为 x y 反之亦成立 O 为坐标原点 3 平面向量的坐标运算 1 加法 减法 数乘运算 向量 a b a b a b a 坐标 x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 y1 2 向量坐标的求法 已知 A x1 y1 B x2 y2 则AB x2 x1 y2 y1 即一个向量的坐标等于该向量终 点的坐标减去始点的坐标 3 平面向量共线的坐标表示 设a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 则a 与b 共线 a b x1y2 x2y1 0 注 a x1 y1 b x2 y2 则a b 的充要条件不能写成 因为 x2 y2 有可能为 0 故应表示成 x1y2 x2y1 0 热点难点精析 一 平面向量的概念及其线性运算 一 向量的有关概念 相关链接 1 着重理解向量以下几个方面 1 向量的模 2 向量的方向 3 向量的几何表示 4 向量的起点和终点 2 判定两个向量的关系时 特别注意以下两种特殊情况 1 零向量的方向及与其他向量的关系 2 单位向量的长度及方向 例题解析 例 1 给出下列命题 有向线段就是向量 向量就是有向线段 若 ABDC 则 ABCD 为平行四边形 若 ab bcac 则 若 ab bcac 则 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 思路解析 正确理解向量的有关概念是解决本题的关键 注意到特殊情况 否定某个命题 只要举出一个反倒即可 解答 选 B 错 向量可用有向线段表示 但并不是有向线段 错 因为 ABDC 则可能 A B C D 四点在一条直线上 正确 错 若 0b 则对不共线 的向量a 与c 也有a 0 0 c 但a 与c 不平行 用心 爱心 专心5 例 2 下列结论中 不正确的是 向量AB CD 共线与向量AB CD 同义 若向量AB CD 则向量AB 与DC 共线 若向量AB CD 则向量BA DC 只要向量a b 满足 a b 就有a b 解答 选 D 根据平行向量 或共线向量 定义知 A B 均正确 根据向量相等的概念知 C 正确 D 不正确 二 向量的线性运算 相关链接 1 用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功 除利用向量的加 减法 数 乘向量外 还应充分利用平面几何的一些定理 2 在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中 运用平行四边形法则 三角形法 则 利用三角形中位线 相似三角形对应边成比例等平面几何的性质 把未知向量转化为 与已知向量有直接关系的向量求解 注 若 A 为 BC 的中点 则 例题解析 例 1 在 ABC 中 2 DEN 3 ADAB DEBCAC 交于E BC 边上的中线AM 交于 BC DDN AMABa ACba bAEEAN 用表示向量 思路解析 解本题要进行向量的加 减法外 还有数乘向量运算 如 211 333 ABAD DBABa 11 33 BDABa 在进行计算时要充分利用 DEBCADE ABC ADN ABM 等条件 解答 BCACABba 由 ADE ABC 得 22 33 DEBCba 又 AM 是 ABC 的 用心 爱心 专心6 中线 DE BC 且 AM 与 DE 交于点 N 得 11 23 DNDEba 111 222 AMABBMaBCabaab 2 在 OAB 中 延长 BA 到 C 使 AC BA 在 OB 上取点 D 使 1 3 DBOB DC 与 OA 交于 E 设 OAa OBb 用 a b 表示向量OC 及向量DC 解答 A 是 BC 的中点 1 2 OAOBOC 即 22 OCOAOBab 225 22 333 DCOCODOCOBabbab 三 向量的共线问题 例 设两个非零向量a 与b 不共线 若 28 3 ABab BCab CDab 求证 A B D 三点共线 试确定实数 k 使ka b 和a kb 共线 思路解析 1 由已知求BD 判断AB 和BD 的关系 判断 A B D 的关系 2 应用共线向量的充要条件 列方程组 解方程组得 k 值 解答 1 28 3 ABab BCab CDab 283 28335 5BDBCCDabababababAB AB BD 共线 又 它们有公共点 B A B D 三点共线 2 ka b 和a kb 共线 存在实数 使ka b a kb 即ka b akb 1 kakb a b 是不共线的两个非零向量 用心 爱心 专心7 k 1k 2 k 1 0 k 1 注 1 向量共线的充要条件中要注意当两向量共线量时 通常只有非零向量才能表示与 之共线的其他向量 要注意待定系数法的运用和方程思想 2 证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联 系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 二 平面向量的基本定理及坐标表示 一 平面向量基本定理及其应用 相关链接 1 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底 该平面内的任意一个向量都可表示成这组 基底的线性组合 基底不同 表示也不同 2 对于两个向量a b 将它们用同一组基底表示 我们可通过分析这两个表示式的关系 来反映a 与b 的关系 3 利用已知向量表示未知向量 实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加 减运算或进行数乘运算 注 由于基底向量不共线 所以0 不能作为一个基底向量 例题解析 例 如图 在平行四边形 ABCD 中 M N 分别为 DC BC 的中点 已知 AMc ANd 试用 c d 表示 AB AD 思路解析 直接用 c d 表示 AB AD 有难度 可换一个角度 由 AB AD 表示AM AN 进而解方程组可求 AB AD 解答 方法一 设则 将 代入 得 得 用心 爱心 专心8 方法二 设因 M N 分别为 CD BC 中点 所以 因而 即 二 平面向量的坐标运算 相关链接 1 向量的坐标运算主要是利用加 减 数乘运算法则进行 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求出向量的坐标 解题过程中要注意方程思想的运用 2 利用向量的坐标运算解题 主要是根据相等的向量坐标相同这一原则 通过列方程 组 进行求解 3 利用坐标运算求向量的基底表示 一般先求出基底向量和被表示向量的坐标 再用待定 系数法求出线性系数 4 向量的坐标运算 使得向量的线性运算都可用坐标来进行 实现了向量运算完全代数化 将数与形紧密结合起来 就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算 例题解析 例 已知 A 2 4 B 3 1 C 3 4 设 ABa BCb 且 3 2 CMc CNb 求 1 3 3 abc 2 满足a mbnc 的实数 m n 3 M N 的坐标及向量MN 的坐标 思路解析 利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点 终点坐标的关系求解 解答 由已知得 5 5 6 3 1 8 abc 1 3 3abc 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 2 6 38 5 5 mbncmnmn 651 3851 mnm mnn 解得 用心 爱心 专心9 3 3CMOMOCc 3 3 24 3 4 0 20 OMcOC M 0 20 又 2CNONOCb 2 12 6 3 4 9 2 ONbOC N 9 2 9 18 MN 三 平面向量共线的坐标表示 相关链接 1 凡遇到与平行有关的问题时 一般地要考虑运用向量平行的充要条件 2 向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法 也为点共线 线平行 问题的处理提供了容易操作的方法 解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式 特征 应学会利用这一点来构造函数和方程 以便用函数与方程的思想解题 例题解析 例 已知 1 2 3 2 ab 当 k 为何值时 ka b 与 3ab 平行 平行时它们是同 向还是反向 思路解析 将ka b 用坐标表示 将 3ab 用坐标表示 应用共线向量的充要条件求 k 把 k 代入向量判断结果 解答 ka b k 1 2 3 2 k 3 2k 2 3ab 1 2 3 3 2 10 4 ka b 与 3ab 平行等价于 k 3 4 10 2k 2 0 解得 k 1 3 故当 k 1 3 时 ka b 与 3ab 平行 此时ka b 11 3 33 abab ka b 与 3ab 反向 注 向量平行的坐标公式裨是把向量问题转化为实数的运算 通过坐标公式建立参数的方 程 通过解方程或方程组求得参数 充分体现了方程思想在向量中的应用 四 向量与其他知识的综合 例 已知向量 ux y 现向量 2 vyyx 的对应关系用 vf u 表示 1 设 1 1 1 0 ab 求向量 f a 与 f b 的坐标 2 求使 f cp qpqc 为常数的向量的坐标 3 证明 对任意的向量a b 及常数 m n 恒有 f manbmf anf b 成立 思路解析 本题关键是找出 函数 vf u 的对应关系 此处的变量为向量的坐标 用心 爱心 专心10 因此 可通过坐标运算来解决问题 解答 1 1 1 1 2 1 1 1 1 af a 又 1 0 0 2 0 1 0 1 bf b 2 2 2 2 2 ypxpq cx yf cyyxp q yxqyp cpq p 设则 3 12121122 222211221221 222211 22 2 2 22 aa abb bmanbmanb manb f manbmanbmanbmanbmf am aaanf bbbb mf anf bmanbmanbmanbf manbmf anf b 设则 注 对于信息处理题应注意以下几点 认真领会题中所给信息 注意概念的内涵与外延 将所得到的信息 应用于题目中去 即解决实际问题 当然注意条件与结论 往往是三 段论推理 三 平面向量的数量积及平面向量应用举例 一 平面向量的数量积的运算及向量的模问题 相关链接 1 向量的数量积有两种计算方法 一是利用公式来计算 二 是利用来计算 具体应用时可根据已知条件的特征来选择 同时 要注意数量积运算律的应用 2 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用 要掌握此类问题的处理方法 例 已知 a 与b 的夹角为 3 4 求 1 3 2 2 abab A 2 ab 思路解析 利用平面向量数量积的定义及其运算律 可求出第 1 问 求 ab 可先求 2 ab 再开方 解答 1 32 cos3 4 6 2 42 a ba b AA 22 2 39 16 ab 用心 爱心 专心11 3 2 2 abab A 22 3843 98 6 2 649148 2 aa bb A 2 22 22 292 6 2 1625 12 2ababaa bb A 25 12 2ab 二 平面向量的垂直问题 相关链接 1 非零向量 2 当向量是非坐标形式时 要把 用已知的不共线的向量表示 注 把向量都用坐标表示 并不一定都能够简化运算 要因题而异 例 已知向量 cos sin cos sin 22 ab 1 求证 2 若存在不等于 0 的实数 k 和 t 使 满足试求此时的最小值 思路解析 1 可通过求证明 2 由得 即求出关于 k t 的一个方程 从而求出的代数表达 式 消去一个量 k 得出关于 t 的函数 从而求出最小值 解答 1 cos cos sin sin sincossincos0 22 a b ab AAA 2 由得 即 22 232 22 3 22 33 232 22 2 3 0 3 3 0 3 0 1 1 30 3 3111 3 24 111 24 atbkatbkatt btk ta b k att b abkttktt ktttt ttt tt kt t t AA 又 故当时 有最小值 用心 爱心 专心12 三 平面向量的夹角问题 相关链接 1 当是非坐标形式时 求的夹角 需求得及或得出它们 的关系 2 若已知的坐标 则可直接利用公式 注 平面向量的夹角 例题解析 例 已知都是非零向量 且与7 5ab 垂直 4ab 与7 2ab 垂直 求a 与b 的夹角 思路解析 把向量垂直转化为数量积为 0 联立求a 与b 的关系 应用夹角公式求结果 解答 22 22 222 2 2 3 75 0 4 72 0 716150 73080 2 1 1 2 cos 60