三角形中外线

三角形的中位线平行于第三边 不与中位线接触 并且等于第三边的一半 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线 一 证明 如图 已知 ABC 中 D E 分别是 AB AC 两边中点 求证 DE 平行于 BC 且等于 BC 2 方法一 过 C 作 AB 的平行线交 DE 的延长线于 G 点 CG AD A ACG AED CEG AE CE A ACG 用大括号 ADE CGE A S A AD CG 全等三角形对应边相等 D 为 AB 中点 AD BD BD CG 又 BD CG BCGD 是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 DG BC 且 DG BC DE DG 2 BC 2 三角形的中位线定理成立 方法二 相似法 D 是 AB 中点 AD AB 1 2 E 是 AC 中点 AE AC 1 2 又 A A ADE ABC AD AB AE AC DE BC 1 2 ADE B AED C BC 2DE BC DE 方法三 坐标法 设三角形三点分别为 x1 y1 x2 y2 x3 y3 则一条边长为 根号 x2 x1 2 y2 y1 2 另两边中点为 x1 x3 2 y1 y3 2 和 x2 x3 2 y2 y3 2 这两中点距离为 根号 x2 x3 2 x1 x3 2 2 y2 y3 2 y1 y3 2 2 最后化简时将 x3 y3 消掉正好中位线长为其对应边长的一半 方法 4 延长 DE 到点 G 使 EG DE 连接 CG 点 E 是 AC 中点 AE CE AE CE AED CEG DE GE ADE CGE S A S AD CG G ADE D 为 AB 中点 AD BD BD CG 点 D 在边 AB 上 DB CG BCGD 是平行四边形 DE DG 2 BC 2 三角形的中位线定理成立 方法五 向量 DE DA AE BA AC 2 BC 2 DE BC 且 DE BC 2 二 逆定理 逆定理一逆定理一 在三角形内 与三角形的两边相交 平行且等于三角形第三边一半的线段是 三角形的中位线 如图 DE BC DE BC 2 则 D 是 AB 的中点 E 是 AC 的中点 证明 DE BC ADE ABC AD AB AE AC DE BC 1 2 AD AB 2 AE AC 2 即 D 是 AB 中点 E 是 AC 中点 逆定理二逆定理二 在三角形内 经过三角形一边的中点 且与另一边平行的线段 是三角形的 中位线 如图 D 是 AB 的中点 DE BC 则 E 是 AC 的中点 DE BC 2 证明 取 AC 中点 E 连接 DE 则有 AD BD AE CE DE 是三角形 ABC 的中位线 DE BC 又 DE BC DE 和 DE 重合 过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 E 是中点 DE BC 2 如图 在 ABC 中 D 是 AB 中点 E 在 AC 上 DE BC 2 那么 DE 不一定是 ABC 的中位线 理由如下 以 D 为圆心 DE 为半径作圆 设 D 与 AC 交于另一点 E 则有 DE DE BC 2 但 DE 不是三角形的中位线 但在一定条件下该命题是真命题 根据正弦定理解三角形可知 若 A 是锐角 当 DE AD 即当 BC AB 或