【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第3篇 第2讲 用导数研究函数的单调性、极值与最值限时训练 理

1 第第 2 2 讲讲 用导数研究函数的单调性 极值与最值用导数研究函数的单调性 极值与最值 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2012 长春名校联考 已知定义在 R R 上的函数f x 其导函数f x 的大致图象如图所 示 则下列叙述正确的是 A f b f c f d B f b f a f e C f c f b f a D f c f e f d 解析 依题意得 当x c 时 f x 0 当x c e 时 f x 0 因此 函数f x 在 c 上是增函数 在 c e 上是 减函数 在 e 上是增函数 又a bf b f a 选 C 答案 C 2 2013 济宁模拟 若函数h x 2x 在 1 上是增函数 则实数k的取值范 k x k 3 围是 A 2 B 2 C 2 D 2 解析 由条件得h x 2 0 在 1 上恒成立 即k 2x2在 k x2 2x2 k x2 1 上恒成立 所以k 2 答案 A 3 2012 青岛模拟 函数f x x3 3x2 2 在区间 1 1 上的最大值是 A 2 B 0 C 2 D 4 解析 f x 3x2 6x 令f x 0 得x 0 或 2 f x 在 1 0 上是增函数 f x 在 0 1 上是减函数 f x max f x 极大值 f 0 2 答案 C 2 4 已知函数f x x3 ax2 a 6 x 1 有极大值和极小值 则实数a的取值范围是 A 1 2 B 3 6 C 3 6 D 1 2 解析 f x 3x2 2ax a 6 因为函数有极大值和极小值 所以f x 0 有两 个不相等的实数根 所以 4a2 4 3 a 6 0 解得a 3 或a 6 答案 B 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 若函数f x 在x 1 处取极值 则a x2 a x 1 解析 由f x 0 2x x 1 x2 a x 1 2 x2 2x a 0 x 1 又f x 在x 1 处取极值 x 1 是x2 2x a 0 的根 a 3 答案 3 6 已知函数f x ex 2x a有零点 则a的取值范围是 解析 f x ex 2 当x ln 2 时 f x 0 当x ln 2 时 f x 0 f x min f ln 2 2 2ln 2 a 则函数有零点 即f x min 0 2 2ln 2 a 0 a 2ln 2 2 答案 2ln 2 2 三 解答题 共 25 分 7 12 分 2013 浙江五校联考 已知函数f x x3 ax2 bx c x 1 2 且函数 f x 在x 1 和x 处都取得极值 2 3 1 求a b的值 2 求函数f x 的单调递增区间 解 1 f x x3 ax2 bx c f x 3x2 2ax b 由题易知 Error 即Error 解得Error 2 由 1 知 f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 当x 时 f x 0 1 2 3 当x 时 f x 0 2 3 1 当x 1 2 时 f x 0 f x 的单调递增区间为和 1 2 1 2 3 8 13 分 2010 辽宁卷 已知函数f x a 1 ln x ax2 1 1 讨论函数f x 的单调性 3 2 设a 1 如果对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 求实数 a的取值范围 解 1 f x 的定义域为 0 f x 2ax a 1 x 2ax2 a 1 x 当a 0 时 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 当a 1 时 f x 0 故f x 在 0 上单调递减 当 1 a 0 时 令f x 0 解得x a 1 2a 所以当x 时 f x 0 此时函数f x 单调递增 当x 0 a 1 2a 时 f x 0 此时函数f x 单调递减 a 1 2a 2 不妨设x1 x2 而a 1 由 1 知f x 在 0 上单调递减 从而对于任意 的x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 成立 它等价于对任意的 x1 x2 0 有f x2 4x2 f x1 4x1 令g x f x 4x 则g x 2ax 4 式等价于g x 在 0 上单调 a 1 x 递减 即 2ax 4 0 在 0 上恒成立 从而a 2 在 a 1 x 4x 1 2x2 1 2x 1 2 2x2 1 0 上恒成立 由于 2 2 故a的取值范围是 2 2x 1 2 2x2 1 分层 B 级 创新能力提升 1 2013 蚌埠质检 若函数f x 2x2 ln x在其定义域内的一个子区间 k 1 k 1 内 不是单调函数 则实数k的取值范围是 A 1 B 1 3 2 C 1 2 D 3 2 2 解析 因为f x 的定义域为 0 f x 4x 由f x 0 得x 据题 1 x 1 2 意得Error 解得 1 k0 在 1 上的最大值为 则a的值为 x x2 a 3 3 解析 f x x2 a 2x2 x2 a 2 a x2 x2 a 2 当x 时 f x 0 f x 单调递减 a 当 x0 f x 单调递增 aa 当1 时 则f x 在 1 单调递增 aa 在 a 单调递减 所以f x max f a 1 不合题意舍去 所以a 1 a a 2a 3 3 3 43 答案 1 3 4 2013 深圳调研 设函数f x ln x ax2 bx 若x 1 是f x 的极大值点 则a的 1 2 取值范围为 解析 f x 的定义域为 0 f x ax b 由f 1 0 得b 1 a 1 x f x ax a 1 1 x ax 1 x 1 x 若a 0 当 0 x0 此时f x 单调递增 当x 1 时 f x 0 此时f x 单调递减 所以x 1 是f x 的极大值点 若a1 1 a 解得 1 a 1 答案 1 5 2012 重庆 已知函数f x ax3 bx c在x 2 处取得极值为c 16 1 求a b的值 2 若f x 有极大值 28 求f x 在 3 3 上的最小值 5 解 1 因f x ax3 bx c 故f x 3ax2 b 由于f x 在点x 2 处取得极值c 16 故有Error 即Error 化简得Error 解得Error 2 由 1 知f x x3 12x c f x 3x2 12 令f x 0 得x 2 或 2 当x 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 当x 2 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 由此可知f x 在x 2 处取得极大值f 2 16 c f x 在x 2 处取得极小值f 2 c 16 由题设条件知 16 c 28 解得c 12 此时f 3 9 c 21 f 3 9 c 3 f 2 c 16 4 因此f x 在 3 3 上的最小值为f 2 4 6 2012 富阳模拟 已知函数f x x2 ax ln x a R R 1 当a 3 时 求函数f x 在上的最大值和最小值 1 2 2 2 当函数f x 在上单调时 求a的取值范围 1 2 2 解 1 a 3 时 f x 2x 3 1 x 2x2 3x 1 x 函数f x 在区间上仅有极大值点x 1 故这个极大值点也是 2x 1 x 1 x 1 2 2 最大值点 故函数f x 在上的最大值是f 1 2 1 2 2 又f 2 f 2 ln 2 2ln 2 0 1 2 5 4 ln 2 3 4 故f 2 f 1 2 故函数在上的最小值为f 2 2 ln 2 1 2 2 2 f x 2x a 令g x 2x 1 x 1 x 则g x 2 则函数g x 在上递减 在上递增 由g 3 g 2 1 x2 1 2 2 2