高三数学二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题人教实验版（B） 知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题高三数学二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题人教实验版人教实验版 B B 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 不等式高考复习四 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 二 教学目的 掌握解决简单的线性规划问题的方法 三 教学重点 难点 重点 从实际问题中抽象出二元一次不等式 组 用平面区域表示二元一次不等式 组 难点 二元一次不等式表示平面区域的探究过程 四 知识分析 1 判断表示的平面区域是在直线的哪一侧 方法为 0AxByC 1 当时 取原点 0 0 当原点坐标使成立时 就是含原0C 0AxByC 点的区域 不成立时 就是不含原点的区域 2 若 C 0 时 取 0 1 或 1 0 使不等式成立的就是含所取点的一侧 不成 立时 是另一侧 2 最优解可有两种确定方法 1 将目标函数的直线平行移动 最先通过或最后通过的顶点便是最优解 2 利用围成可行域的直线的斜率来判断 若围成可行域的直线的斜率分 12 n l ll 别为 而且目标函数的直线的斜率为k 则当时 直线与 12 kk n k 1ii kkk i l 相交的点一般是最优解 1i l 3 利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 1 作出可行解 可行域 将约束条件中的每一个不等式当作等式 作出相应的直线 并确定原不等式表示的半平面 然后求出所有半平面的交集 2 作出目标函数的等值线 3 求出最终结果 在可行域内平行移动目标函数等值线 从图中能判定问题有惟一 最优解 或者是有无穷最优解 或是无最优解 典型例题典型例题 题型题型 1 1 二元一次不等式 组 表示平面区域二元一次不等式 组 表示平面区域 要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域 只需在它所对应直线的某一侧取一个 特殊点 从的正负判定即可 不等式组表示的平面区域是各个不等 00 xy 00 AxByC 式所表示的平面区域的公共部分 例 1 画出下列不等式 组 表示的平面区域 1 2 010yx2 3x 01yx 05yx 解析 解析 1 先画出直线 画成虚线 010yx2 用心 爱心 专心 取原点 0 0 代入 10yx2 010002 原点在表示的平面区域内 不等式表示的区域如图 1 010yx2 010yx2 所示 2 不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面点集的交集 因而是各个不等 式所表示的平面区域的公共部分 不等式表示直线上及右下方的点的集合 表示05yx 05yx 01yx 直线上及右上方的点的集合 表示直线上及左方的点的集合 所以01yx 3x 3x 不等式组表示的平面区域如图 2 所示 题型题型 2 2 求平面区域的面积求平面区域的面积 求平面区域的面积 先要画出不等式组表示的平面区域 然后根据区域的形状求面 积 解本题时要注意到 ABC 为等腰直角三角形 点 B 到直线 AC 的距离即为 ABC 的腰长 AB 由点到直线的距离公式求得 AB 面积便可求出 00 22 AxByC d AB 因此在作出二元一次不等式组表示的平面区域后 要利用图形的形象直观性观察分析 图形的结构特征 挖掘其隐含条件 找到解题的捷径 例 2 求不等式组表示的平面区域的面积 3x 0yx 06yx 解析 解析 不等式表示直线上及右下方的点的集合 表06yx 06yx 0yx 示直线上及右上方的点的集合 表示直线上及左方的点的集合 所以0yx 3x 3x 不等式组表示的平面区域如图所示 因此其区域面积也就是的面积 3x 0yx 06yx ABC 用心 爱心 专心 显然 为等腰直角三角形 B 点坐标为 ABC ACAB 90A 3 3 由点到直线的距离公式 2 12 2 6 3 3 AB 36 2 12 2 12 2 1 S ABC 故不等式组表示的平面区域的面积等于 36 3x 0yx 06yx 题型题型 3 3 求目标函数的最值求目标函数的最值 把每一个二元一次不等式所表示的平面区域在平面中准确地表示出来 然后求交集 就是不等式组所表示的平面区域 但要注意是否包括边界 求目标函数的最大值或最小值 必须先求出准确的可行域 作出目标函数的等值线 根据题意 确定取得最优解的点 从 而求出最值 例 3 已知变量满足 求的最大值和最小值 y x 1x 25y5x3 3y4x yx2z 解析 解析 设l 则 z 的几何意义是直线在 y 轴上 0yx2 l0 zyx2 zx2y 的截距 显然 当直线越往上移动时 对应在 y 轴上的截距越大 即 z 越大 当直线越往 下移动时 对应在 y 轴上的截距越小 即 z 越小 作一组与平行的直线系l 经上下平 0 l 移 可得 当l移动到时 即过点 A 5 2 时 1 l 当l移动到时 即过点 B 1 1 时 12252zmax 2 l 3112zmin 用心 爱心 专心 例 4 已知 求 05yx2 04yx 02yx 1 的最大值 4y2xz 2 的最小值 25y10yxz 22 3 的范围 1x 1y2 z 点拨 点拨 1 表示直线的纵截距问题 4y2xz 2 表示距离的平方问题 25y10yxz 22 3 表示两点连线的斜率问题 1x 1y2 z 解析 解析 作出可行域如图 并求出顶点的坐标 A 1 3 B 3 1 C 7 9 1 易知可行域内各点均在直线的上方 04y2x 故 04y2x 将 C 7 9 代入 z 的最大值为 21 2 表示可行域内任一点 x y 到定点 M 0 5 的距离的平方 22 5y xz 过 M 作直线 AC 的垂线 易知垂足 N 在线段 AC 上 故 z 的最小值是 2 9 MN 3 表示可行域内任一点 与定点 Q 连线的斜率的 1 x 2 1 y 2z y x 2 1 1 两倍 因为 8 3 k 4 7 k QBQA 故 z 的范围为 2 7 4 3 题型题型 4 4 线性规划的应用线性规划的应用 本例是实际生产中合理下料问题 要求得到的最优解是整数解 简称整点最优解 解线性规划应用题的步骤 1 转化 设元 写出约束条件和目标函数 从而将实际问题转化为数学上的线性 规划问题 2 求解 解这个纯数学的线性规划问题 求解过程 用心 爱心 专心 作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意 一条直线 l 平移 将 平行移动 以确定最优解所对应的点的位置 l 求值 解有关方程组求出最优解的坐标 再代入目标函数 求出目标函数的最值 3 作答 就应用题提出的问题作出回答 例 5 某工厂制造 A 种仪器 45 台 B 种仪器 55 台 现需用薄钢板给每台仪器配一个外 壳 已知钢板有甲 乙两种规格 甲种钢板每张面积 2 m2 每张可做 A 种仪器外壳 3 个和 B 种仪器外壳 5 个 乙种钢板每张面积 3m2 每张可做 A 种仪器外壳 6 个和 B 种仪器外壳 6 个 问甲 乙两种矩形钢板各用多少张才能用料最省 用料最省 是指所用钢板的总 面积最小 解析 解析 方法一 设用甲种钢板x块 乙种钢板y块 由题意 55y6x5 45y6x3 0y 0 x 钢板总面积 适合不等式组 的点 的集合如图阴影所示 y3x2S y x 直线 1 与直线 2 的交点 P 5 5 当直线 l45y6x3 l55y6x5 l 经过 P 点时 S 最小 Sy3x2 甲种钢板 乙种钢板各用 5 张时用料最省 方法二 100y12x8 25y3x2 当且仅当时 即时取等号 55y6x5 45y6x3 5y 5x 例 6 某工厂制造甲 乙两种产品 已知制造甲产品 l kg 要用煤 9t 电力 4kW 劳力 按工作日计算 3 个 制造乙产品 l kg 要用煤 4t 电力 5kW 劳动力 10 个 又知制成 甲产品 l kg 可获利 7 万元 制成乙产品 l kg 可获利 12 万元 现在此工厂只有煤 360t 电力 200kW 劳动力 300 个 在这种条件下应生产甲 乙两种产品各多少千克能获得最大 经济效益 解析 解析 设此工厂应分别生产甲 乙产品 xkg ykg 利润 z 万元 则依题意可得约束条 件 0y 0 x 300y10 x3 200y5x4 360y4x9 用心 爱心 专心 利润目标函数为 y12x7z 作出可行域 作直线 把直线 向右上方平移至 1位置 直线经过可 l0y12x7 ll 行域上的点 M 且与原点距离最大 此时取最大值 y12x7z 解方程组 得 M 点坐标为 20 24 200y5x4 300y10 x3 即应生产甲种产品 20t 乙种产品 24t 才能使此工厂获得最大利润 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 2006 黄冈模拟 原点 O 和点 P 1 1 在直线的两侧 则 a 的取值0ayx 范围是 A B 2a0a 或2a0a 或 C D 2a0 2a0 2 取第一象限内的两点 使 1 2 依次成等差数列 y x P y x P 2221111 x 2 x 1 2 依次成等比数列 则点 与射线 的关系为 1 y 2 y 1 P 2 Pl 0 x xy A 点 都在直线 的上方 1 P 2 Pl B 点 都在直线 上 1 P 2 Pl C 点 都在 下方 1 P 2 Pl D 点在 的下方 点在 的上方 1 Pl 2 Pl 3 2006 滨州模拟 可行域 如图 为四边形 ABCD 的内部 包括边界 其中 A 2 1 B 4 1 C 3 3 D 0 3 目标函数取最大值的最优解是无穷yaxz 多个时 实数 a 的值为 A 0B 2C 1 或 2D 0 或 2 4 一批长 400cm 的条形钢材 需要将其截成长为 518mm 与 698mm 的两种毛坯 则钢材的 最大利用率是 A 99 75 B 99 65 C 94 85 D 95 70 5 在中 三顶点 A 2 4 B 1 2 C 1 0 点 P x y 在内部ABC ABC 及边界运动 则的最大值为 yxz A 1B C D 3 1 3 二 填空题 6 由及围成几何图形的面积是 2y 1 x y x 7 设且 则点 p q 的0z 0y 0 x 1zyx z4y2xq z2yx3p 活动区域是 三 解答题 用心 爱心 专心 8 求下列不等式组的整数解 06yx2 04y4x 02y2x3 9 关于 x 的方程的两根分别在区间 0 1 与 1 2 内 求的0b2axx 2 2a 2b 取值范围 10 某人上午 7 时 乘摩托艇以匀速 v 海里 小时 从 A 港出发到距 50 海里20v4 的 B 港去 然后乘汽车以匀速 W 千米 小时 自 B 港向距 300 千米的 C 市驶100W30 去 应该在同一天下午 16 时至 21 时到达 C 市 设汽车 摩托艇所用的时间分别是 x y 小 时 1 作图表示满足上述条件的的范围 yx 2 如果已知所需的经费 元 那么 v W 分别是多少时 y8 2 x5 3100z 走得最经济 此时需花费多少元 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1 C2 C 3 D对于目标函数 可化为 表示斜率为 在 y 轴上截距为yaxz zaxy a z 的直线 又取得最大值的最优解有无穷多个 则表示的直线必与yaxz zaxy DC 重合或 BC 重合 即 2ka0ka BCDC 或2a0a 或 4 B5 A 6 3 7 08qp6 015q4p3 014q5p3 8 解析 作出直线 02y2x3 l1 04y4x l2 06yx2 l3 在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域 此三角形内的整数占 2 1