上海市卢湾区2012届高三数学上学期期末考试试题 理 沪教版

用心 爱心 专心1 上海市卢湾上海市卢湾 20112011 20122012 学年第一学期高三年级期末考试数学试卷学年第一学期高三年级期末考试数学试卷 理科 理科 本卷完成时间为 120 分钟 满分为 150 分 一 填空题 本大题满分 56 分 本大题共有 14 小题 考生应在答题纸相应编号的空格内 直接写结果 每个空格填对得 4 分 否则一律得零分 1 不等式 2 10 xx 的解集为 2 若 1 sin 3 则cos2 3 函数 1 ln 2 yx 0 x 的反函数为 4 若集合 05 Axxx Z 2 k Bx xkA 则AB 用列举法 表示 5 若函数 f xaxb 的零点为2x 则函数 2 g xbxax 的零点是0 x 和x 6 已知二元一次方程组 111 222 a xb yc a xb yc 若记 1 2 a a a 1 2 b b b 1 2 c c c 则该方程 组存在唯一解的条件为 用a b c 表示 7 若 5255 1 1 10axxbxa x 则b 8 若常数t满足 1t 则 21 1 lim n n n ttt t 9 已知数列 n a 若 1 14a 1 2 3 nn aa n N 则使 2 0 nn aa 成立的n的 值是 10 甲 乙 丙三人同在某公司上班 若该公司规定 每位职工可以在每周七天中任选两 天休息 如选定星期一 星期三 以后不再改动 则他们选定的两个休息日相同的概率是 结果用数值表示 11 已知甲射手射中目标的概率为 80 乙射手射中目标的概率为 70 若甲乙两射手的射 击相互独立 则甲乙两射手同时瞄准一个目标射击 目标被射中的概率为 结果用数值表示 12 为了解某校高三学生的视力情况 随机地 抽查了该校100名高三学生的视力情况 得到频 率分布直方图 如右图 由于不慎将部分数据 4 3 0 3 0 1 4 44 5 4 64 74 84 95 15 05 2 频率频率 组距组距 视力视力 用心 爱心 专心2 丢失 但知道前4组的频数成等比数列 后6组的频数成等差数列 那么最大频率为 视力在4 6到5 0之间的学生数为 13 已知函数 x f xabc 0 1 bb 0 x 若其值域为 2 3 则该函数的 一个解析式可以为 f x 14 若对于满足13t 的一切实数t 不等式 222 3 3 0 xttxtt 恒成立 则 x的取值范围为 二 选择题 本大题满分 20 分 本大题共有 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生应在 答题纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得 5 分 否则一律得零分 15 在复平面内 复数 1i iz i为虚数单位 对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 16 2k k Z 是 tantan 成立的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 17 若函数 f x同时满足下列三个条件 有反函数 是奇函数 其定义域与值域相同 则函数 f x可以是 A sinf xx 22 x B 2 xx ee xf C 3 xxf D x x xf 1 1 ln 18 已知函数 2 1 f xx 若0 xy 且 f xf y 则 A 2 4yx 02x B 2 4yx 02x C 2 2yx 02x D 2 2yx 01x 三 解答题 本大题满分 74 分 本大题共有 5 题 解答下列各题必须在答题纸相应的编号 规定区域内写出必要的步骤 19 本题满分 12 分 在 ABC中 角 A B C的对边分别为 a b c 且2 cosabC 3bca 求sin A的值 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 10 分 已知函数 f xxa 2 21g xxax a为正常数 且函数 f x与 g x的图 像在y轴上的截距相等 1 求a的值 2 若 h xf xb g x b为常数 试讨论函数 h x的奇偶性 21 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 已知a b 是两个不共线的非零向量 1 设aOA OBtb t R 3 1 baOC 当A B C三点共线时 求 t的值 OD P E 第 2 小题 用心 爱心 专心3 2 如图 若aOD bOE a与b夹角为120 1ab 点P是以O为圆 心的圆弧ADE上一动点 设OPxODyOE x y R 求xy 的最大值 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 7 分 已知数列 n b 若存在正整数T 对一切 n N都有 n Tn bb 则称数列 n b为周期 数列 T是它的一个周期 例如 数列a a a a 可看作周期为 1 的数列 数列a b a b 可看作周期为 2 的数列 数列a b c a b c 可看作周期为 3 的数列 1 对于数列 它的一个通项公式可以是 n an a bn 为正奇数 为正偶数 试再写出该数列的一 个通项公式 2 求数列 的前n项和 n S 3 在数列 中 若 1 2 1 2 abc 且它有一个形如sin n bAn B 的通 项公式 其中A B 均为实数 0A 0 2 求该数列的一个通项公 式 n b 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 6 分 已知函数 1 xt f x tx t为常数 1 当1t 时 在图中的直角坐标系内作出函数 yf x 的大致图像 并指出该函数所具备的基本性质中的两个 只需写两个 2 设 n af n n N 当10t 且 t N 时 试判断数列 n a的单调性并由此写出该数列中最大 项和最小项 可用 t来表示不超过t的最大整数 3 利用函数 yf x 构造一个数列 n x 方法如下 对于给定的定义域中的 1 x 令 21 xf x 32 xf x 1 nn xf x 2n n N 在上述构造过程中 若 i x i N 在定义域中 则构造数列的过程继续下去 若 i x不在定义域中 则构造数列的过程停止 若取定义域中的任一值作为 1 x 都可以用上述方法构造出一个无穷数列 n x 求实数 t的值 Ox y 1 1 1 1 用心 爱心 专心4 数学参考答案及评分标准 2012 1 一 填空题 本大题满分 56 分 本大题共有 14 小题 每个空格填对得 4 分 否则一律得 零分 1 2 7 9 3 2x ye x R 4 0 1 2 5 1 2 6 a 与b 不平行 7 40 8 1 1t 9 21 10 1 441 11 理 0 94 文 3 12 0 27 78 13 1 53 2 x 满足01b 的b均可 14 4 9 二 选择题 本大题满分 20 分 本大题共有 4 题 选对得 5 分 否则一律得零分 15 B 16 D 17 C 18 D 三 解答题 本大题满分 74 分 19 本题满分 12 分 由2 cosabC 及正弦定理 得sin2sincosABC 又 ABC 可化为sin 2sincosBCBC 展开整理得sin 0BC 4 分 在三角形中得0BC 即BC 可得bc 6 分 于是由3bca 得23ba 因此 1 cos 23 a C b 8 分 可得 2 2 sin 3 C 10 分 故 4 2 sinsin 2 2sincos 9 ACCC 12 分 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 10 分 1 由题意 0 0 fg 即 1a 又0a 故1a 4 分 2 1 1 h xf xb g xxb x 其定义域为R 8 分 1 1 1 1 hxxbxxb x 若 h x为偶函数 即 h xhx 则有1b 此时 2 4h 2 4h 故 2 2 hh 即 h x不为奇函数 若 h x为奇函数 即 h xhx 则1b 此时 2 2h 2 2h 故 2 2 hh 即 h x不为偶函数 综上 当且仅当1b 时 函数 h x为偶函数 且不为奇函数 10 分 当且仅当1b 时 函数 h x为奇函数 且不为偶函数 12 分 当1b 时 函数 h x既非奇函数又非偶函数 14 分 21 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 1 由题意 可设ABkBC 2 分 用心 爱心 专心5 将ABOBOAtba 11 33 BCOCOBat b 代入上式 得 1 33 k tbaakt b 解得3k 1 2 t 6 分 2 以O为原点 OD为x轴建立直角坐标系 则 1 0 D 13 22 E 设POD 0 3 则 cos sin P 由OPxODyOE 得 1 cos 2 xy 3 sin 2 y 于是 2 sin 3 y 1 cossin 3 x 10 分 于是cos3sin2sin 6 xy 故当 3 时 xy 的最大值为2 14 分 另解 设POD 0 3 由OP ODxOD ODyOE OD OP OExOD OEyOE OE 可得 1 cos 2 xy 1 cos 32 xy 于是2 coscos 2sin 36 xy 故当 3 时 xy 的最大值为2 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 7 分 1 1 1 1 1 1 22 nn n ab a 或 sin cos 22 n nn aab 等 3 分 2 当31nk 时 1 3 n n Sabca 5 分 当32nk 时 2 3 n n Sabcab 7 分 当33nk 时 3 n n Sabc k N 9 分 3 由题意 0 应有 2 3 得 2 3 10 分 于是 2 sin 3 n bAnB 把 1 2b 2 1 2 b 3 1b 代入上式得 2 sin 2 1 3 41 sin 2 32 sin 2 1 3 AB AB AB 12 分 由 1 2 可得 3 cos 2 A 再代入 1 的展开式 可得 5 sin 24 A B 与 3 联立得 1 2 B 13 分 用心 爱心 专心6 3 sin 2 A 于是tan3 因为 2 所以 3 14 分 于是可求得3A 15 分 故 21 3sin 332 n n b n N 或写成 21 3sin 31 332 n n bk k Z n N 16 分 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 6 分 1 当1t 时 1 1 11 x f x xx 图像如图 2 分 基本性质 每个 2 分 奇偶性 既非奇函数又非偶函数 单调性 在 1 和 1 上分别递增 零点 0 x 最值 无最大 小值 6 分 2 11 1 n nt a tnnt 当1 nt n N时 数列单调递增 且此时 n a均大于1 当 1nt n N时 数列单调递增 且此时 n a均小于1 8 分 因此 数列中的最大项为 1 t tt a tt 10 分 最小项为 1 2 1 t tt a tt 12 分 3 理 由题意 1 xt f xt tx 在R中无实数解 亦即当