2014届高考数学总复习课时精练（文科专用）：第四章第二节平面向量的分解及向量的坐标表示

1 了解平面向量的基本定理及其意义 2 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3 会用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 4 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 知识梳理知识梳理 一 平面向量基本定理 如果 e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于该平面内任一向量 a 有且只 有一对实数 1 2 满足 a 1e1 2e2 其中不共线的向量 e1 e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底 记为 e1 e2 称 1e1 2e2为 e1 e2的线性组合 二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系中 分别取与 x 轴 y 轴方向相同的两个单位向量 i j 作为基底 由平 面向量的基本定理知 该平面内的任一向量 a 可表示成 a xi yj 由于 a 与数对 x y 是 一一对应的 因此把 x y 叫做向量 a 的坐标 记作 a x y 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的 坐标 y 叫做 a 在 y 轴上的坐标 规定 1 相等的向量坐标相同 坐标相同的向量是相等的向量 2 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点 终点的具体位置无关 只与其相对位 置有关系 三 平面向量的坐标运算 1 若 a b 则 a b x1 x2 y1 y2 x1 y1 x2 y2 2 若 A B 则 x1 y1 x2 y2 AB x2 x1 y2 y1 3 若 a x y 则 a x y 四 向量的运算 向量的加减法 数与向量的乘积及其各运算的坐标表示和性质 若 a x1 y1 b x2 y2 运算类型几何方法坐标方法运算性质 向量的加法 1 平行四边形法则 2 三角形法则 a b x1 x2 y1 y2 a b b a a b c a b c AB BC AC 向量的减法三角形法则a b x1 x2 y1 y2 a b a b AB BA OB OA AB 数乘向量法 a 是一个向量 满足 0 时 a 与 a 同向 0 当 a 与 b 异向时 0 的大小由a a及b b的大小确定 因此 当a a b b确定时 的符号与大小就 a a b b 确定了 这就是实数乘向量中 的几何意义 基础自测 1 2013 揭阳二模 已知点 A 1 5 和向量 a 2 3 若 3a 则点 B 的坐标为 AB A 7 4 B 7 14 C 5 4 D 5 14 解析 设 B x y 由 3a 得 x 1 y 5 6 9 AB 故有Error Error 解得Error Error 故选 D 答案 D 2 2012 肇庆二模 已知 ABCD 中 3 7 2 3 对角线 AC 与 BD 交于 AD AB 点 O 则的坐标为 CO A B 1 2 5 1 2 5 C D 1 2 5 1 2 5 解析 2 3 3 7 1 10 AC AB AD 故选 D OC 1 2AC 1 2 5 CO 1 2 5 答案 D 3 2012 深圳松岗中学模拟 已知向量 a 2 3 b x 6 共线 则 x 解析 依题意有 3x 2 6 0 得 x 4 答案 4 4 已知平面内不共线的四点 O A B C 满足 则 OB 1 3OA 2 3OC AB BC 解析 AB OB OA 1 3OA 2 3OC OA 2 3 OC OA BC OC OB OC 21 1 3OA 2 3OC 1 3 OC OA AB BC 2 3 1 3 答案 21 1 2013 广东卷 设 a 是已知的平面向量且 a 0 关于向量 a 的分解 有如下四个命 题 给定向量 b 总存在向量 c 使 a b c 给定向量 b 和 c 总存在实数 和 使 a b c 给定单位向量 b 和正数 总存在单位向量 c 和实数 使 a b c 给定正数 和 总存在单位向量 b 和单位向量 c 使 a b c 上述命题中的向量 b c 和 a 在同一平面内且两两不共线 则真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 利用向量加法的三角形法则 易得 是对的 利用平面向量的基本定理 易得 是对的 以 a 的终点作长度为 的圆 这个圆必须和向量 b 有交点 这个不一定能满足 是错的 利用向量加法的三角形法则 结合三角形两边的和大于第三边 即必须 b c a 所以 是假命题 故选 B 答案 B 2 2013 北京卷 向量 a b c 在正方形网格中的位置如图所示 若 c a b R 则 解析 以向量 a 的起点为原点建直角坐标系 则 a 1 1 b 6 2 c 1 3 根据 c a b 1 3 1 1 6 2 有 6 1 2 3 解之得 2 且 故 4 1 2 答案 4 1 2013 珠海二模 已知平面向量 a 1 2 b 2 m 且 a b 则 b A B C 2 D 2 3552 解析 因为 a b 所