hf专题三、立体几何中的折叠与展开问题

1 A B C D F E G A 立体几何中的折叠 展开立体几何中的折叠 展开 折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题 这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中 体现 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形 并弄清折叠前后哪些发生了变化 哪些 没有发生变化 这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据 而表面展开问题是折叠问题的逆向 思维 逆过程 一般地 涉及到多面体表面的问题 解题时不妨将它展开成平面图形试一试 一 折叠与展开中的垂直问题一 折叠与展开中的垂直问题 例例 1 如图在 ABC 中 AD BC ED 2AE 过 E 作 FG BC 且将 AFG 沿 FG 折起 使 A ED 60 求证 A E 平面 A BC 解析 弄清折叠前后 图形中各元素之间的数量关系和位置关系 解析 弄清折叠前后 图形中各元素之间的数量关系和位置关系 解解 FG BC AD BC A E FG A E BC 设 A E a 则 ED 2a 由余弦定理得 A D2 A E2 ED2 2 A E EDcos60 3a2 ED2 A D2 A E2 A D A E A E 平面 A BC 例例 2 如图 D E 是是等腰直角三角形 ABC 中斜边 BC 的两个三等分点 沿 AD 和 AE 将 ABD 和 ACE 折起 使 AB 和 AC 重合 求证 平面 ABD 平面 ABE 解析 过解析 过 D D 作作 DF ABDF AB 交交 ABAB 于于 F F 连结 连结 EFEF 计算 计算 DFDF EFEF 的长 又的长 又 DEDE 为已知 三边长满足勾股定理 为已知 三边长满足勾股定理 DFE DFE 0 90 二 折叠与展开中的空间角问题二 折叠与展开中的空间角问题 例例 3 矩形 ABCD AB 3 BC 4 沿对角线 BD 把 ABD 折起 使点 A 在平面 BCD 上的射影 A 落在 BC 上 求二面角 A BD C 的余弦值 解析 这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题 解决问题的关键在解析 这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题 解决问题的关键在 于搞清折叠前后于搞清折叠前后 变变 与与 不变不变 结果在平面图形中过 结果在平面图形中过 A 作作 AE BD 交交 BD 于于 O 交 交 BC 于于 E 则折叠后 则折叠后 OA OE 与与 BD 的垂直关系不变 但的垂直关系不变 但 OA 与与 OE 此时变成相交两线段并确定一平面 此平面必与棱垂直 由特此时变成相交两线段并确定一平面 此平面必与棱垂直 由特 征征 可知 面可知 面 AOE 与面与面 ABD 面 面 CBD 的交线的交线 OA 与与 OE 所成的角 即为所求二面角的平面角 另外 所成的角 即为所求二面角的平面角 另外 A 在面在面 BCD 上的射影必在上的射影必在 OE 所在的直线上 又题设射影落所在的直线上 又题设射影落 在在 BC 上上 所以所以 E 点就是点就是 A 答案 答案 16 9 2 例例 4 如图 ABCDEF 为正六边形 将此正六边形沿对角线 AD 折叠 1 求证 AD EC 且与二面角 F AD C 的大小无关 2 FC 与 FE 所成的角为 30 时 求二面角 F AD C 的余弦值 解析 解析 1 1 正六边形正六边形 ABCDEFABCDEF 在折叠前有 在折叠前有 AD ECAD EC 设 设 ADAD 与与 ECEC 交于交于 M M 折叠后即有 折叠后即有 AD MEAD ME AD MC AD MC 则则 AD AD 平平 面面 EMCEMC 无论 无论 EMC EMC 的大小如何 总有的大小如何 总有 AD EC 2 AD EC 2 利用余弦定理 有利用余弦定理 有 cos EMCcos EMC 9 7 三 折叠与展开中的距离与体积问题三 折叠与展开中的距离与体积问题 例例 5 5 如图 矩形 ABCD 中 AB 2 BC 2 3 以 AC 为轴翻折半平面 使二平面角 B AC D 为 120 求 翻折后 D 到平面 ABC 的距离 解析 研究翻折问题 通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形 对应点的字母要相同解析 研究翻折问题 通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形 对应点的字母要相同 解 解 分别过 B D 作 AC 的垂线 垂足是 E F 过 F 作 FB BE 过 B 作 BB AC 交点 B 则四边形 EFB B 是矩形 AC DF AC B F AC 平面 B FD 即 DF B 就是二面角 B AC D 的平面角 DFB 120 过 D 作 DO B F 垂足为 O DO平面 DFB AC 平面 DFB DO AF DO 平面 ABC 在 Rt ADC 中 CD 2 AD 2 DF OD DF sin60 33 2 3 例例 6 6 正三棱柱 ABC A1B1C1中 各棱长均为 2 M 为 AA1中点 N 为 BC 的中点 在棱柱表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少 解析 解析 1 从侧面到 N 如图 1 沿棱柱的侧棱 AA1剪开 并展开 则 MN 22 ANAM 22 12 1 10 2 从底面到 N 点 沿棱柱的 AC BC 剪开 展开 如图 2 则 MN 120cos2 22 ANAMANAM 2 1 312 3 1 22 34 34 10 min MN34 3 立体几何中的折叠与展开练习立体几何中的折叠与展开练习 1 在矩形 ABCD 中 AB a AD 2b a n 1 BO n 1 BO 所以 cos cos n 1 BO 4 3 1 1 BOn BOn 即二面角 O AC O1的大小是 4 3 arccos 7 解法二 I 证明 由题设知 OA OO1 OB OO1 所以 AOB 是所折成的直二面角的平面角 即 OA OB 从而 AO 平面 OBCO1 OC 是 AC 在面 OBCO1内的射影 因为 所以 OO1B 60 O1OC 30 从而 OC BO1 3tan 1 1 OO OB BOO 3 3 tan 1 1 1 OO CO OCO 由三垂线定理得 AC BO1 7 II 解 由 I AC BO1 OC BO1 知 BO1 平面 AOC 设 OC O1B E 过点 E 作 EF AC 于 F 连结 O1F 如图 4 则 EF 是 O1F 在平面 AOC 内的射影 由三垂线定理得 O1F AC 所以 O1FE 是二面角 O AC O1的平面角 由题设知 OA 3 OO1 O1C 1 所以 313 32 2 1 2 1 2 1 2 1 COAOACOOOAAO 从而 又 O1E OO1 sin30 所以 13 32 11 1 AC COAO FO 2 3 4 13 sin 1 1 1 FO EO FEO 即二面角 O AC O1的正弦值是 4 13 8 8 解 将正三棱锥 A BCD 的侧面沿 AB 展开 始图 5 B1为正三棱锥 A BCD 的顶点 B 的对应点 很明显 BB1的长 就是截面 BEF 的周长的最小值 因为 BB1 CD 所以 1 2 由题设知 2 3 故 1 2 3 因此 ADB1 B1FD 由 AD AB1 2a DB1 a 得又 AEF ACD D AC 2a aAFaFB a DF 2 3 2 1 CD a AF 可得 EF 故截面 BEF 的周长的最小值为 3 2 a 3 4 a aaaaFBEFBEBB 4 11 4 3 11 此时 E F 两点的位置满足 aAFAE 2 3 评析评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题 从而使问题得到解决 这是求曲 面上最短路线的一种常用方法 9 9 证由 PBA 为 Rt C AB D 为 AC 中点 AD BD DC ABD 为正三角形 又 30AC 2 1 E 为 BD 中点 BD AE BD EF 又由 A EEF E 且 A E EF平面 A EF BD 平面 A EF 面 A B O C O1 D 图 4 7 A EF 平面 BCD 2 BD AE BD EF 得 A EF 为二面角 A BD C 的平面角的大小即 A EF 延长 FE 到 G 使 A GGF 于 G 连结 BG 并延长交 CD 于 H 若 A BCD 则 BHCD 在 Rt