二次函数建模

20172017 年中考数学专题复习年中考数学专题复习 二次函数建模二次函数建模 实际问题 几何综合 数形结合一直以来是襄阳中考后三大轴 题 其中实际问题从 2015 年开始以二次函数为模型创设实际问题 它涉猎的知识和方法有整式运算 方程 不等式 一次函数二次函 数图象性质及配方法 待定系数法等等 要求同学们既要弄清题意 还要有过硬的计算能力 可谓一分难求 基本问题设计基本问题设计 1 构建二次函数关系式 2 解一元二次方程 3 求最值 顶点式的最值 非顶点式的最值 4 解二次不等式 5 根据自变量的取值范围及一次函数的最大 小 值 6 利用二次函数性质求参数范围 题干呈现形式题干呈现形式 1 用表格或图象提供解答问题的信息 2 函数要分段 答题注意事项答题注意事项 1 计算要准确 2 格式 步骤要规范 数学练习数学练习 1 1 化简下列函数 化简下列函数 y 0 25x 30 20 120 2x 0 5x0 5x2 2 10 x 1200 10 x 1200 y 0 5x 48 20 120 2x x x2 2 116x 3360 116x 3360 2 2 求下列函数的最大值 求下列函数的最大值 当当 1 x 241 x 24 时 时 y y 0 5x0 5x2 2 10 x 1200 10 x 1200 解解 y 0 5x2 10 x 1200 0 5 x 10 2 1250 又 y 是 x 的二次函数且 a 0 5 0 当 x 10 时 y 最大 1250 当当 25 x 4825 x 48 时 时 y xy x2 2 116x 3360 116x 3360 解 解 y x2 116x 3360 x 58 2 4 又 y 是 x 的二次函数且 a 1 0 开口向上 且对称轴为直线 x 58 又 25 x 48 在对称轴 x 58 左侧 y 随 x 增大而减小 当 x 25 时 y 最大 1085 3 3 根据二次函数的性质确定下列不等式的解集 根据二次函数的性质确定下列不等式的解集 0 5x2 10 x 1200 1152 解 解 解方程 0 5x2 10 x 1200 1152 得 x1 4 x2 24 根据 y 0 5x2 10 x 1200 图象 如右图 得 y 0 5x2 10 x 1200 1152 的解集是 4 x 24 例题例题 某超市以每千克 20 元购进一种水果 经调研发现 这种水果在未来 48 天的销 售单价 p 元 kg 及日销售量 m kg 与时间 x 天 之间的函数关系式如下表 时间 x 天 1 x 24 的整数25 x 48 的整数 销售单价 p 元 kg 0 25x 30 0 5x 48 日销售量 m kg 2x 120 1 1 求日销售利润 求日销售利润 y y 元元 与与 x x 之间函数关系式 之间函数关系式 解 当 1 x 24 时 y 0 25x 30 20 120 2x 0 5x2 10 x 1200 当 25 x 48 时 y 0 5x 48 20 120 2x x2 116x 3360 综上可得 y 48253360116 2411200105 0 2 2 xxx xxx 2 2 该超市第几天的销售利润为 该超市第几天的销售利润为 11521152 元 元 解 解 当 1 x 24 时 y 0 5 x 10 2 1250 1152 解之得 x1 4 舍 x2 24 当 25 x 48 时 y x 58 2 4 1152 解之得 x1 24 舍 x2 94 舍 综上可得 该超市第 24 天的销售利润为 1152 元 3 3 问哪一天的销售利润最大 最大日销售利润为多少 问哪一天的销售利润最大 最大日销售利润为多少 解 解 当 1 x 24 时 y 0 5x2 10 x 1200 0 5 x 10 2 1250 y 是 x 的二次函数且 a 0 5 0 当 x 10 时 y 最大 1250 当 25 x 48 时 y x2 116x 3360 x 58 2 4 y 是 x 的二次函数且 a 1 0 开口向上 且对称轴为直线 x 58 又 25 x 48 在对称轴 x 58 左侧 y 随 x 增大而减小 当 x 25 时 y 最大 1085 综上可得 在第 10 天的销售利润最大 最大利润为 1250 元 x y 1152 O 424 4 4 若日销售利润不低于 若日销售利润不低于 11521152 元 元 求求 x x 的取值范围 的取值范围 该超市至少需要多少元的进货款 该超市至少需要多少元的进货款 解 解 当 25 x 48 时 最大利润为 1085 元 1152 元 这种范围内所获得利润不能不低于 1152 元 当 1 x 24 时 由 y 0 5x2 10 x 1200 1152 得 x1 4 x2 24 根据 y 0 5x2 10 x 1200 图象 如右图 得 y 0 5x2 10 x 1200 1152 时 x 的范围是 4 x 24 又 1 x 24 1 x 24 故若日销售利润不低于 1152 元时 x 的取值范围是 1 x 24 设超市的总进货款为 P 元 则当 1 x 24 时 P 20 2x 120 40 x 2400 P 是 x 一次函数 且 k 40 0 P 随 x 增大而减小 当 x 24 时 P 最小值是 40 24 2400 1440 故若日销售利润不低于 1152 元时 超市的至少需要 1440 元的进货款 5 5 在实际销售的前 在实际销售的前 2424 天中 该公司决定每销售天中 该公司决定每销售 1kg1kg 的这种水果 就捐赠的这种水果 就捐赠 n n 元利润元利润 n n 9 9 给果农 公司通过销售记录发现 前给果农 公司通过销售记录发现 前 2424 天中 每天扣除捐赠后的日销售利天中 每天扣除捐赠后的日销售利 润随时间润随时间 x x 天天 的增大而增大 请直接写出的增大而增大 请直接写出 n n 的取值范围 的取值范围 解 解 当 1 x 24 设扣除捐赠后的日销售利润为 P 元 则则 P 0 25x 30 20 n 120 2x 0 5x2 2n 10 x 1200 120n y 是 x 二次函数 且 a 0 5 0 开口向下 且对称轴为 x 2n 10 要使在前 24 天 y 随 x 的增大而增大 由二次函数的图像及性质知 2n 10 24 解得 n 7 又 n 9 7 n 9 x y 1152 O 424 练习练习 1 某商场经销一种商品 这种商品在第 x 1 x 90 天的售价及与销售量与 x 之间关 系如下表 已知该商品的进价为每件 30 元 设销售该商品的每天利润为 y 元 1 求出 y 与 x 的函数关系式 2 问销售该商品第几天时 当天销售利润最大 最大利润是多少 3 若该商品的日销售利润不低于 4800 元时 求该商场至少需要多少进货款 2 为了扶持大学生自主创业 市政府提供了 80 万元无息贷款 用于某大学生开办公司生 产并销售自主研发的一种电子产品 并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款 已 知该产品的生产成本为每件 40 元 员工每人每月的工资为 2500 元 公司每月需支付其 它费用 15 万元 该产品每月销售量 y 万件 与销售单价 x 元 之间的函数关系如图 所示 1 直接写出 y 与 x 之间的函数关系式 2 当销售单价定为 50 元时 为保证公司月利润达到 5 万元 该公司可安排员工多少人 利润 销售额 生产成本 员 工工资 其它费用 3 若该公司有 80 名员工 求月销售利润 W 万元 与 x 之 间的函数关系式 4 若该公司有 80 名员工 则该公司最早可在几个月后还清 无息贷款 3 某公司进行甲 乙两种产品加工 已知加式甲种产品每件需成本费 30 元 加工乙种产 品每件需成本费 20 元 经调研 甲种产品年销售量为 y 万件 与销售单价为 x 元 件 的函数关系式如下图所示 乙种产品年销售量稳定在 10 万件 物价部门规定这两种产品 的销售单价之和为 90 元 1 直接写出 y 与 x 之间的函数关系式 2 若公司第一年的年销售量利润为 W 万元 则如何定 价 可使第一年的年销售利润最大 最大年销售利润是多少 年销售利润 年销售收入 生产成本 3 第二年公司可重新对产品进行定价 在 2 的条件下 并要求甲种产品的销售单价 x 元 在 50 x 70 范围内 该公司希望到第二年年底 两年的总盈利不低于 85 万元 请直接写出第二年乙种产品的 x万 万 万 万 y 万 万 万 O 8 70 10 50 11 45 销售单价 m 元 的范围 总盈利 两年的年销售利润之和 投资成本 2 解 1 10060505 0 604081 0 xx xx y 2 设公司可安排员工 a 人 定价 50 元时 由 5 0 1 50 8 50 40 15 0 25a 解之得 a 40 所以公司可安排员工 40 人 3 设公司月利润为 W 元 当 40 x 60 时 W 0 1x 8 x 40 15 20 0 1 x 60 2 5 则当 x 60 时 W 的最大值为 5 万元 当 60 x 100 时 W 0 05x 5 x 40 15 0 25 80 0 05 x 70 2 10 x 70 时 W 的最大值 10 万元 要尽早还清贷款 只有当单价 x 70 元时 获得最大月利润 10 万元 设该公司 n 个月后还清贷款 则 10n 80 n 8 n 的最小值为 8 答 该公司最早可在 8 个月后还清无息贷款 3 解 1 1 y 7050151 0 5045202 0 xx xx 2 2 当 45 x 50 时 W x 30 20 0 2x 10 90 x 20 0 2x2 16x 100 0 2 x 40 2 420 W 是 x 的二次函数且 a 0 2 0 开口向下且对称轴为 x 40 45 x 50 在对称轴的右侧 W 随 x 的增大而减小 当 x 45 时 W 的最大值为 0 2 45 40 2 420 415 万元 当 50 x 70 时 W x 30 0 1x 15 10 90 x 20 0 1x2 8x 250 0 1 x 40 2 410 W 是 x 的二次函数且 a 0 1 0 开口向下且对称轴为 x 40 50 x 56 在对称轴的右侧 W 随 x 的增大而减小 当 x 50 时 W 有最大值为 0 1 50 40 2 410 400 万元 综上所述 当 x 45 W 的最大值是 415 答 甲 乙两种产品定价均为 45 元时 第一年的年销售利润最大 最大年销售利润是 415 万元 3 3 根据题意得 W 0 1x2 8x 250 415 700 0 1x2 8x 35 当 W 85 则 0 1x2 8x 35 85 解得 x1 20 x2 60 W 是 x 的二次函数且 a 0 1 0 开口向下 根据二次函数的性质得当 W 85 时 20 x 60 又 50 x 65 50 x 60 即 50 90 m 60 解之得 30 m 40 第二年乙种产品的销售单价 m 元 的范围是 30 m 40 二次函数建模复习专题二次函数建模复习专题 数学基础练习数学基础练习 1 1 化简下列函数 化简下列函数 y 0 25x 30 20 120 2x y 0 5x 48 20 120 2x 2 2 求下列函数的最大值 求下列函数的最大值 当 1 x 24 时 y 0 5x2 10 x 1200 当 25 x 48 时 y x2 116x 3360 3 3 根据二次函数的性质确定下列不等式的解集 根据二次函数的性质确定下列不等式的解集 0 5x2 10 x 1200 1152 讲练例题讲练例题 某超市以每千克 20 元购进一种水果 经调研发现 这种水果在未来 48 天 的销售单价 p 元 kg 及日销售量 m kg 与时间 x 天 之间的函数关系式如下表 时间 x 天 1 x 24 的整数25 x 48 的整数 销售单价 p 元 kg 0 25x 30 0 5x 48 日销售量 m kg 2x 120 1 1 求日销售利润 y 元 与 x 之间函数关系式 2 2 该超市第几天的销售利润为 1152 元 3 3 问哪一天的销售利润最大 最大日销售利润为多少 4 4 若日销售利润不低于 1152 元 求 x 的取值范围 该超市至少需要多少元的进货款 5 5 在实际销售的前 24 天中 该公司决定每销售 1kg 的这种水果 就捐赠 n 元利润 n 9 给果农 公司通过销售记录发现 前 24 天中 每天扣除捐赠后的日销售利 润随时间 x 天 的增大而增大 请直接写出 n 的取值范围 课后练习课后练习 1 某商场经销一种商品 这种商品在第 x 1 x 90 天的售价及与销售量与 x 之间关 系如下表 已知该商品的进价为每件 30 元 设销售该商品的每天利润为 y 元 1 求出 y 与 x 的函数关系式 2 问销售该商品第几天时 当天销售利润最大 最大利润是多少 3 若该商品的日销售利润不低于 4800 元时 求该商场至少需要多少进货款 2 为了扶持大学生自主创业 市政府提供了 80 万元无息贷款 用于某大学生开办公司生 产并销售自主研发的一种电子产品 并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款 已 知该产品的生产成本为每件 40 元 员工每人每月的工资为 2500 元 公司每月