复件对《全日制义务教育数学课程标准》修订工作的认识-孔凡哲、史宁中

1 对对 义务教育数学课程标准 义务教育数学课程标准 20112011 年版 年版 的理解的理解 国家基础教育实验中心 孔凡哲 史宁中 福建教育 2012 年第 6 期 中国基础教育课程改革发展的基本动因 一方面在于 使得基础教育能够真正满足我国经济社 会快速发展的需求 进而促进国家的可持续发展和民族的振兴 另一方面则在于 实现每位学生的 全面 健康 和谐 可持续发展 也就是说 国家利益 学生需要是改革的根本动因 全日制义务教育数学课程标准 实验稿 的修订工作正是基于这两个基本动因 根据义务 教育法的有关规定 按照基础教育课程改革的总体方向 根据 2001 年 9 月实施新课程实验以来总 结的经验和发现的问题 以促进义务教育阶段实施素质教育为目标 本着实事求是 严谨科学 顾 全大局 求同存异的态度 通过充分的研究与认真的讨论 最终形成 义务教育数学课程标准 2011 年版 并于 2011 年 12 月正式颁布 出版 本文阐述我们对于 义务教育数学课程标准 2011 年版 的特点 基本理念 课程目标和内 容结构的理解和认识 一 从数学课程标准与教学大纲的差异看课程标准的特点一 从数学课程标准与教学大纲的差异看课程标准的特点 对于广大的中小学教师来说 理解数学课程标准的特点 总是将其与以往的数学教学大纲相比 较 其实 二者的作用和关注点都有很大差异 首先 作为中小学数学教学的核心文件之一 教学大纲关心的是应当教哪些内容 应当教到什 么程度 而作为中小学数学课程 教学的核心文件之一 课程标准关心的是学什么 学到什么程度 教什么 教到什么程度 考什么 考到什么程度 教材如何编写 课程资源如何开发 在此基础上 教学大纲的考核关注规定的内容是否教了 学生的掌握是否达到了要求 其次 教学大纲规定的课程目标是一维 即着眼于知识 技能 亦即 双基 而课程标准不 仅关注知识 技能的掌握情况 而且更加关注学生在实践能力 数学科学精神等方面的均衡发展 也就说 课程标准考核的是人的全面发展状况 其课程目标是三维的 即知识技能 过程方法 情 感态度价值观 最后 二者的基本理念不同 教学大纲的基本理念在于 以知识为本 旨在为社会培养专门 性人才 相比之下 课程标准的基本理念在于 以人为本 不仅注重学生的全面发展 而且更主 张站在学生的立场思考有关的课程 教学 同时 这种 以人为本 源于马克思关于人的自由发展的有关理论 而不是杜威的 人本主义 二 二 义务教育数学课程标准 义务教育数学课程标准 20112011 年版 年版 下的基本理念下的基本理念 一 数学课程标准下的基本理念形成的背景 一 数学课程标准下的基本理念形成的背景 数学课程标准 的基本理念具体表现在新的数学课程观 课程教材编写观 教学观与学生观 作者简介 作者简介 史宁中 男 东北师范大学校长 教授 博士生导师 国家基础教育实验中心主任 中国教育学会副会 长 国家义务教育数学课程标准修订组组长 孔凡哲 男 国家基础教育实验中心副主任 东北师范大学教育科学学院教授 博士生导师 教育学博士 东北师 范大学南湖实验学校校长 E mail fzkong fzkong13957313266 2 评价观 以及信息技术与课程整合观等若干方面 1 1 基本出发点在于学生发展观 基本出发点在于学生发展观 之所以选择这些理念作为义务教育数学课程标准的立论出发点 其主要原因在于教育的本质 教育必须为国家 社会培养创新人才的需求 以及中国数学教育的传统与发展 很多人认为 教育是社会的需要 在我们看来 教育是人生存的需要 是主动的 而社会的需 要是通过人才的需求体现出来 是 以知识为本 事实上 教育 一词来源于孟子的阐述 得天下英才而教育之 三乐也 孟子 尽心上 在英语 法语和德语中 教育一词均源于拉丁词语 educare 含有引出和引导之意 无论从历史的视角 还是从人的成长规律思考 教育都是主动的 教育的产生不是出于社会的 需要 而是由于人生存的需要 教育是主动的行为 每个人都有受教育的欲望 1 因而 教育要保持 发展学生学习的兴趣 不仅如此 教育还要激活学生的潜能 学会观察 学会思考 同时 教育更要培养学生智慧 与传统的知识教育相比 教育更需要智慧的教育 事实上 知识是结果的 可以是思考的结果 也可以是经验的结果 以知识为本 的教育其本质是结果的教育 而智慧表现于过程之中 既可 以是思考的过程 也可以是实践的过程 以人为本 的教育必须是 结果 过程 的复合教育 2 2 基础教育的根本在于培养创新人才 基础教育的根本在于培养创新人才 教育必须培养创新人才 而培养创新人才必须从基础教育抓起 之所以这样理解 主要原因在于 这是国家发展的需要 时代需要创新人才 我国急需建立创 新性国家 只有这样 我们的国家才能屹立于高速发展的当今世界 不仅如此 从基础教育阶段培 养创新人才 更是学生发展的需要 今天的社会是市场经济 而未来社会更是信息爆炸 知识指数 增长的信息社会 创新意识 甚至创新能力 都是在基础教育阶段培养的 如果我们的学生到了中 学毕业还没有独立思考过一个问题 尚未产生过好奇心和探究问题的兴趣 那么 这位中学毕业生 可能成为好的公民 也可能成为合格的工作者 但是很难成为创新人才 3 3 培养创新能力必须具备若干基本条件 培养创新能力必须具备若干基本条件 成为创新人才至少需要三个条件 1 创新意识 2 创新能力 核心在基础教育 3 创新机遇 其中 创新意识培养 其根本阶段在于基础教育 而创新能力的基础在于知识的掌握 思维的 训练和经验的积累 其核心工作是在基础教育阶段完成的 如下图所示 从思维方法的角度考虑 与创新有关的能力主要有两个 演绎能力和归纳能力 正如爱因斯坦所说的 西方科学的发展是以两个伟大成就为基础 那就是 希腊哲学家发明 形式逻辑体系 在欧几里得几何中 以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系 在文艺复兴 时期 2 爱因斯坦说的前者是指演绎能力 后者是指归纳能力 仔细回顾我国近代史就可以发现 自从西学引入我国以后 我国的数学教育主要关注的是演绎 能力的培养 关于这一点 杨振宁先生深有体会 他在 我的生平 中说 我很有幸能够在两个 创新能力的基础创新能力的基础 知识掌握知识掌握思维训练思维训练思维训练思维训练 经验积累经验积累 演演 绎绎归归归归 纳纳纳纳 3 具有不同文化背景的国度里学习和工作 我在中国学到了演绎能力 我在美国学到了归纳能力 3 事实上 我国传统数学的基础是归纳推理 比如秦九韶的高次方程求解 剩余法等是当时世界的领 先水平 4 依赖的就是归纳推理 因为在古代中国根本就没有 真正意义上的 演绎推理 但是 西学引入之后 我们就开始重演绎 轻归纳了 我国的数学教育之所以重视演绎 很可能与绵延千 年以上的科举考试有关 因为科举考试强调的是基本功扎实 重视的是知识的记忆和八股文的写作 而演绎方法与此有许多相似之处 特别是 从评价的角度考虑 评价归纳能力要远比评价演绎能力 困难得多 演绎能力应当与演绎推理有关 演绎推理来源于亚里士多德 亚里士多得在他的 工具论 中 提出了演绎逻辑的基础作用 后来欧几里得将这种方法成功地运用在几何学的研究中 创立了几何 公理化体系 被人们称为欧氏几何 后来 欧氏几何成为中学数学教学的主要内容 直到上世纪初 由于克莱因等数学家的强烈建议 中学数学教学才逐渐加入了函数的内容 可以看到 演绎推理是 一种前提与结论之间有必然性联系的推理 具体说 是一种基于概念 按照规则进行的推理 因而 是一种由一般到特殊的推理 就数学而言 演绎推理是基于公理 定义和符号 按照规定的法则进 行命题证明或者公式推导 就欧氏几何而言 5 基本模式可以为 已知 A 求证 B 其中 A 和 B 都是确切的命题 可以看到 演绎推理的主要功能在于验证结论 而不在于发现结论演绎推理的主要功能在于验证结论 而不在于发现结论 演绎能力是一种能够熟练使用演绎推理的能力 因此 从方法论的角度分析 我国中小学数学 教育的优势在于 基础知识 概念记忆与命题理解 扎实 基本技能 证明技能与运算技能 熟练 这与 数学双基教育 所希望达到的目的是一致的 但是 从人的发展的角度考虑 从培养创新人 才的角度考虑 这种知识靠记忆 技能靠熟练的方法 依赖于 熟能生巧 的传统模式 6 这些是 不够的 甚至是不利的 就方法而言 归纳推理十分庞杂 枚举法 归纳法 类比法 统计推断 因果分析 以及观察 实验 比较分类 综合分析等均可被包容 但说到底 与演绎推理相反 归纳推理是一种 从特殊 到一般的推理 关于这一点 穆尔解释说 这个说法并不十分精确 真正的意思应该是 归纳是 由一些命题推出一个一般性较大的命题的推理形式 7 可以看到 借助归纳推理来培养学生 预测结果 和 探究成因 的能力是非常有益处的 是 演绎推理不可比拟的 从方法论的角度考虑 双基教育 缺少归纳能力的培养 但这并不是说归 纳能力比演绎能力更重要 我认为 两个能力都非常重要 就数学而言 通过归纳预测的结果正确 与否是需要证明的 通过归纳探究的成因正确与否也是需要验证的 顺便提一下 通过归纳得到的结论即便不能被演绎证明 那些结果也可能是具有一般性的 因 为许多结论往往不在于对错之分 而在于好坏之分 现在科学界流行的计算机模拟就是基于这个思 想 因此 我们不能说这两种能力那个更重要 而必须强调这两种能力的有机结合 正如杨振宁先 生所体会的那样 用演绎推理虽然不能发现真理 但用演绎推理能够发现错误 可以启发人们从另 外的角度去思考问题 这对于发现真理也是有益处的 比如 人们发现欧几里得几何体系的第五公 设 即平行线公设与其他的公理和公设不协调 于是希望其他的公理和公设来证明这个公设 经历 了很长时间 均没有成功 后来 人们改变了思路 用相似的命题来代替这个公设 结果成功了 发明了非欧几何 即便如此 在中小学数学教学中过分的强化演绎而忽视归纳 是不可以的 尤其是 对于培养 创新人才是非常不利的 4 4 正确理解我国中小学数学教育长期坚持的 正确理解我国中小学数学教育长期坚持的 双基双基 教育教育 回顾几十年来我国的中小学数学教育 特别是 20 世纪 60 年代初期以来 逐渐形成了两个基本 目标 这就是 使学生获得现代科学的基础知识和基本技能 这两条目标被简称为 双基 非常 深入人心 以至于所有的一线教师和数学教育工作者都耳濡目染 正如张奠宙先生在 中国数学双 基教学 中指出的 数学双基教学 已经成为我国数学教育的特色而通晓海内外 在我看来 数学 双基 教学的历史贡献是巨大的 但是 已经不能符合我国经济与社会发展 的要求 必须有所改变 4 发展中国中小学数学教学 就需要根据时代的需要 将基础知识 基本技能发展为基本知识 基本技能 基本活动经验 也需要将分析问题 解决问题的能力 发展为发现问题 提出数学问题 并加以分析 解决的能力 更需要将以往重视培养演绎能力 发展为归纳能力 演绎能力的培养并 举 5 5 正确理解基本思想 正确理解基本思想 正如文 8 中指出的 基本思想主要指一门学科教学的主线或一门学科内容的诠释架构和逻辑 架构 对于一名教师来说 讲好一门学科的基本知识和基本技能固然是必要的 但是 在讲好基本 知识的同时 更应当让自己和学生清晰地了解知识的产生过程 知识间的相互联系以及整个知识体 系的框架 从而帮助学生理解知识本身蕴涵的思维形式和思维方法 当然 数学思想一般包含三个层次 1 抽象 推理 模型 数学发展 2 等量替换 数形结合 递归 转换 数学学习 3 合并同类项 配方法 换元法 数学解题 在具体的问题中 会涉及到数学抽象 数学模型 等量替换 数形结合等数学思想 然而 最 上位的思想还是演绎和归纳 这是整个数学科学 乃至自然科学 发展的主线 因而 我们在这里所说的思想 是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法 在中小学 数学课程中 这种 基本思想 主要是指演绎和归纳 就具体的表现形式和具体的载体而言 最重 要的数学思想应该属于抽象 推理与模型 这是对学生在数学上的终生可持续发展 乃至终生受益 的核心数学思想 在这里 之所以用 基本思想 而不用基本思想方法 我想主要就是要与换元法 递归法 配 方法等具体的数学方法区别 每一个具体的方法可能是重要的 但不具有一般性 作为一种思想掌 握是不必要的 经过一段时间 学生很可能就忘却了 而抽象 推理 模型思想则不同 6 6 正确理解基本活动经验 正确理解基本活动经验 简单地说 基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验 基本活动经验 作为过程教育的结果之一 指学生在亲身参与的教与学的过程中 通过直接 的感悟 逐渐积累数学的发现问题 提出问题 分析问题 解决问题的经验 张奠宙 孔凡哲等人在 小学数学研究 将基本的数学活动经验细化为四种类型 即基本的数 学活动经验 间接的数学活动经验 设计的活动经验 思考的活动经验 这种理解是准确的 直接 的活动经验是与日常生活直接联系的数学活动中所获得的经验 如购买物品 校园设计 而间接的 活动经验是创设实际情景 构建数学模型中所获得的数学经验 如鸡兔同笼 顺水行舟 设计的活 动经验是单纯的数学活动中所获得的经验 如随机摸球 地面拼图 思考的活动经验是通过分析 归纳等方法获得的数学经验 如预测结果 探究成因 不仅如此 学生只有积极参与 教与学 的过程 独立思考 动手实践 合作交流 才有 可能积累数学活动经验 二 二 义务教育数学课程标准 义务教育数学课程标准 20112011 年版 年版 下的基本理念的含义解读下的基本理念的含义解读 1 1 数学观 数学观 实验稿将数学界定为 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画 逐步抽象概括 形成方法 和理论 并进行广泛应用的过程 而 2011 版将其调整为 数学是研究空间形式和数量关系的科学 无论是直接来源于现实世界的 还是来源于数学世界的 只要是空间形式和数量关系 都可以构 成数学的研究对象 这种改变可以扭转 10 年改革之中的 热热闹闹 没有数学味 只关注现实 世界而忽略数学内涵 的偏颇现象 起到矫正作用 5 2 2 数学课程观 数学课程观 修订的数学课程标准将基本理念确定为数学课程观等五个方面 这里的数学课程观 其含义在于 数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标 体现基础性 普及性和发展性 义务教育阶 段的数学课程要面向全体学生 适应学生个性发展的需要 使得 人人都能获得良好的数学教育 不同的人在数学上得到不同的发展 特别地 这里对于 人人都能获得良好的数学教育 不同的人在数学上得到不同的发展 的表 述 与实验稿中的 人人学有价值的数学 人人都能获得必需的数学 不同的人在数学上得到不同 的发展 表述有一定差异 这里不仅强调 面向全体学生 也更强调 适应学生个性发展的需要 3 3 数学课程教材编制的基本理念 数学课程教材编制的基本理念 关于课程内容的选择与编排 其含义在于 课程内容既要反映社会的需要 数学学科的特征 也要符合学生的认知规律 它不仅包括数学 的结论 也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法 课程内容的选择要贴近学生的实际 有利 于学生体验 思考与探索 特别地 课程内容的组织要处理好过程与结果的关系 直观与抽象的关系 直接经验与间接经 验的关系 同时 课程内容的呈现应该注意层次性和多样性 在此基础上 我们可以将新的教材观充实为 用教材教 而不是教材 亦即 最大限度地发 挥数学教科书的功能和作用 充分利用与教科书配套的系列资源 既不轻易否定教科书 也不向以 往惯用的 以本 即课本 为本 事实上 今天的数学课程对教师使用教科书提出了更高的要求 4 4 新的教学观 学生观 新的教学观 学生观 修改后的数学课程标准认为 教学活动是师生积极参与 交往互动 共同发展的过程 而学生学习应当是一个生动活泼的 主动的和富有个性的过程 为此 教师开展数学教学 应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础 面向全体学生 尤其是 要注重启发式和因材施教 这里增加了 积极参与 的要求 事实上 师生在课堂教学中的积极参与 是实现课堂教学高 质量的关键 这里的 参与 既包含师生认知的参与 也包括行为的参与 以及情感的参与 5 5 新的评价观 新的评价观 与以往的评价观相比 新的评价观其变化集中体现在 由以往评价的 甄别 选拔 的单一功 能 转变为 三个功能 并举 即 全面刻画学生的学习历程 结果与过程 改进教师教学 促进课程更新进而实现学校的可持 续发展 其最终目的在于 建立评价目标多元 评价方法多样的评价新体系 6 6 课程资源与信息技术整合的观念 课程资源与信息技术整合的观念 修订后的标准认为 现代信息技术是有力工具 注意课程整合 有效地改进教师的教与学生的 学 因而 需要最大限度地开发和有效利用各种课程资源 数学教学需要借助信息技术的优势 比 如 将图形与变换的内容 动起来 等等 三 三 义务教育数学课程标准 义务教育数学课程标准 20112011 年版 年版 下的基本目标与内容结构下的基本目标与内容结构 一 正确理解数学课程总目标的变化特点 一 正确理解数学课程总目标的变化特点 在修订过程中 义务教育阶段数学课程总目标的新变化 集中体现在五个方面 6 变化之一 明确提出 基础知识 基本技能 基本活动经验 基本思想 变化之二 针对 创新精神和实践能力 的培养 明确提出 发现问题和提出问题的能力 分析问题和解决问题的能力 变化之三 针对 了解知识的来龙去脉 明确提出 体会数学知识之间 数学与其他学科之 间 数学与生活之间的联系 变化之四 对于 情感态度 的培养目标 进一步明确了 了解数学的价值 激发好奇心 提 高学习数学的兴趣 增强学好数学的信心 养成良好的学习习惯 变化之五 针对 数学学科精神 的培养 明确提出 初步的创新意识和实事求是的科学态度 二 正确理解数学课程的三维目标的变化特点 二 正确理解数学课程的三维目标的变化特点 基础教育课程改革纲要 试行 中将基础教育阶段的课程目标划分为三个维度 知识与技 能 过程与方法 情感 态度 价值观 这次修改并没有改变对于三维目标的整体刻画 即仍然是按照知识与技能 数学思考 解决问 题 情感与态度四个方面阐述 并强调这四个方面不是互相独立和彼此割裂的 而是一个密切联系 相互交融的有机整体 同时 强调 数学思考 问题解决 情感与态度的发展离不开知识技能的学 习 知识与技能的学习必须有利于其他三个目标的实现 但是 对于知识技能 数学思考 问题解决 情感态度的具体内涵 还是给出了一些调整 充 实和完善 修订后的标准关于义务教育阶段的知识技能目标 主要包含四个方面的含义 1 经历数与代数的抽象 运算与建模等过程 掌握数与代数的基础知识和基本技能 2 经历图形的抽象 分类 性质探讨 运动 位置确定等过程 掌握图形与几何的基础知 识和基本技能 3 经历在实际问题中收集和处理数据 利用数据分析问题 获取信息的过程 掌握统计与 概率的基础知识和基本技能 4 参与综合与实践活动 积累综合运用数学知识 技能和方法等解决简单问题的数学活动 经验 显然 在数与代数领域 突出强调了 抽象 运算与建模 在图形与几何中 突出强调 抽 象 分类 性质探讨 运动 位置确定 在统计与概率中 突出强调 收集和处理数据 利用数 据分析问题 获取信息 在综合与实践活动中 突出强调 积累活动经验 这就将实验稿中的 双基 即基础知识 基本技能 扩充到 四基 即基础知识 基本技能 基本活动经验 基本 思想 修订后的标准规定的义务教育阶段的数学思考目标 主要包含四个方面的含义 1 建立数感 符号意识和空间观念 初步形成几何直观和运算能力 发展形象思维与抽象 思维 2 体会统计方法的意义 发展数据分析观念 感受随机现象 3 在参与观察 实验 猜想 证明 综合实践等数学活动中 发展合情推理和演绎推理能 力 清晰地表达自己的想法 3 学会独立思考 体会数学的基本思想和思维方式 在这里 突出强调数感 符号意识 空间观念 几何直观和运算能力 强调数据分析观念 合 情推理和演绎推理能力 以及数学的思维方式 特别是 明确提出能力培养的要求提出能力培养的要求 这是对实验稿 的进一步发展 修订后的标准规定的义务教育阶段的解决问题目标 主要包含四个方面的含义 7 1 初步学会从数学的角度发现问题和提出问题 综合运用数学知识解决简单的实际问题 增强应用意识 提高实践能力 2 获得分析问题和解决问题的一些基本方法 体验解决问题方法的多样性 发展创新意识 3 学会与他人合作交流 4 初步形成评价与反思的意识 在这里 增加了发现问题 提出数学问题的能力要求 以及发展创新意识的要求 修订后的标准规定的义务教育阶段的情感态度价值观目标 主要包含四个方面的含义 1 积极参与数学活动 对数学有好奇心和求知欲 2 在数学学习过程中 体验获得成功的乐趣 锻炼克服困难的意志 建立自信心 3 体会数学的特点 了解数学的价值 4 养成认真勤奋 独立思考 合作交流 反思质疑等学习习惯 形成实事求是的科学态度 在这里 更加突出强调了数学学科对于情意目标培养的特殊作用 三 义务教育数学课程的四个领域的调整特点 三 义务教育数学课程的四个领域的调整特点 1 数与代数领域 在数与代数领域 突出强调 经历数与代数的抽象 运算与建模等过程 帮助学生建立数感 符号意识 运算 模型观念 其中 数感主要是指关于数与数量的直观感觉 一方面能把现实生活中的数量抽象为数学中的 数 另一方面又能利用抽象的数 结合适当的度量单位 理解或表述具体情景中的数量关系 有助 于学生理解数的意义 估计数量和运算结果 符号意识主要是指 能够理解并且运用符号表示数 数量关系和变化规律 知道使用符号进行 运算和推理具有一般性 是数学表达的重要形式 运算是 数与代数 的重要内容 除了学会运算 还应当知道运算是基于法则的 是有规律的 模型 在低年段更多的是模式 意识的含义在于 要学会用符号表示数量关系和变化规律 求 解并且给予解释 方程 方程组 不等式 函数等是其基本表达形式 还要学会从现实生活或者具 体情景中抽象出数学问题 这是建立模型的出发点 也是培养学生学习兴趣 增强学生应用意识的 良好途径 2 图形与几何领域 将以往的 空间与图形 领域更名为 图形与几何 并提出明确要求 即经历图形的抽象 分类 性质探讨 运动 位置确定等过程 帮助学生建立空间观念 几何直观 推理能力 空间观念是指 根据物体特征抽象出几何图形 根据几何图形想象出所描述的实际物体 想象 出物体的方位和相互之间的位置关系 描述图形的运动和变化 依据语言描述画出图形等 几何直观是指利用图形描述和分析数学问题 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明 形象 有助于探索解决问题的思路 预测结果 特别地 空间观念的培养要贯穿整个数学学习过程 中 推理能力是数学的基本思维方式 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式 推理一般包括 合情推理和演绎推理 合情推理是从已有的事实出发 凭借经验和直觉 通过归纳和类比等推测某 些结果 演绎推理是从已有的事实 包括定义 公理 定理等 出发 按照规定的法则证明 包括 逻辑和运算 结论 合情推理有助于探索解决问题的思路 发现结论 演绎推理用于证明结论的正 确性 贯穿在整个数学学习过程中 8 3 统计与概率领域 在统计与概率领域 明确提出这样的目标要求 经历在实际问题中收集和处理数据 利用数据 分析问题 获取信息的过程 帮助学生建立数据分析观念 了解随机现象 其中 数据分析的含义在于 知道在现实生活中有许多问题应当先做调查研究 收集数据 通 过数据分析得到结论 体会数据中是蕴涵着信息的 体验数据的随机性和规律性 一方面 对于同 样的事情每次收集到的数据可能会是不同的 另一方面 只要有足够的数据又能够从中发现其中的 规律 理解 了解 对于同样的数据可以有多种分析的方法 需要根据背景选择合适的方法 与以往的确定数学的有关概念不同 随机的概念实际上是针对随机现象而言的 而义务教育阶 段的随机现象限定在 所涉及的随机现象都