利用三角函数求解最值问题

金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 1 页 共 11 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 利用三角函数求解最值问题利用三角函数求解最值问题 一 教学目标一 教学目标 1 知识技能目标 以圆的内接矩形的最大面积的求法作为引例 使学生逐步探究在半 圆 四分之一圆的内接矩形相关最值问题 学会用三角函数求得内接矩形 面积的最大值 能够总结求解最值问题基本思路 2 过程方法目标 在恰当引进自变量 建立函数关系式的过程中 不断加强图形 文 字 符号这三种数学语言的联系 培养学生讲实际问题抽象为数学问题的 化归能力 同时增强学生数形结合 分类讨论的数学思想 逐步提高学生 应用意识和创新意识 3 情感态度目标 在探究活动中提高学生的学习兴趣 提高学习数学的信心 通过每 个问题的解决 培养学生积极主动的探索精神 通过加强学生的环保意识 增强学生的社会责任感 4 教材分析 1 教材的知识结构 本节课是一节复习课 是以三角函数中的三角公式 三角函数 的图象 三角函数的性质为必要基础 属于人教版高中 数学 第四册 必修 B 第一 三章内容 2 教材的地位和作用 三角函数作为一种基本的初等函数 教材中主要介绍了各种 三角公式及三角函数的图象与性质 对三角函数的具体应用涉 及较少 而新课程标准提倡在学生生活经验的基础上 教师尽 可能多地提供各种机会让他们体验数学与日常生活及其他学科 的联系 感受数学的应用价值 本课为此联系生活实际提出问 题 设计层层探究 促使学生出于证明或求解需要而思考引进 自变量的特点 通过对常量和变量的分析 让学生体会三角函 数的优势所在 3 对知识的处理 本节课在设计上以 创设情景 揭示矛盾 提出数学问题 自主探索 展开讨论 形成数学概念 反思总结 归纳提 升 获得数学结论 巩固深化 学以致用 运用数学知识 为教学模式 本课从教材中的一道习题出发 以最常见 最熟悉 的例子 锯木料为切入点 对教学内容层层分析挖掘 促使学生 思考探究 给学生提供了观察 操作 表达等机会 同时帮助学 生对所学内容进行加工处理 使之条理化 系统化便于存储记忆 并通过解题运用不断加深对知识本质的认识 培养了学生勇于探 索 深入研究的优秀学习品质 4 教学过程与方法 在教学中要注意学生的数学学习思维形成和深化过程 培养学生探 究学习 合作学习的习惯 让学生充分体会由特殊到一般的认识规 律 培养学生学会观察 分析 发现 判断 归纳证明等研究问题 的方法 5 学情与学法指导 学情分析 一方面从知识水平上看 学生刚学完三角函数的相关内容 对这一知识体 系的综合运用能力没有达到一定高度 但已经具备一定的观察能力 分析 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 2 页 共 11 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 能力和解题能力 另一方面师生之间比较熟悉 课堂沟通不成问题 在进 度上可适当加快 但结构设计要符合学生的认知结构 要注重对学生观察 归纳能力的培养 而且要通过问题的设计激发学生自主探索的欲望 学法指导 通过对圆 半圆 四分之一圆的内接矩形面积最大值的探索 让学生学会 多角度 多方法去观察问题 分析问题 研究问题 增强化归意识 通过 对问题的不断发掘 培养学生积极参与乐于研究的良好学风 二 教学重点 难点二 教学重点 难点 重点 利用三角函数将实际问题化归 难点 寻找恰当自变量 建立函数关系式 关键 准确把握常量和变量之间的密切关系 三 教学过程与教学设计三 教学过程与教学设计 课题 利用三角函数求解最值问题 课型复习 授课 教师 大连市第一中学数学组 胡冬梅 教 学 目 标 1 知识技能目标 以圆的内接矩形的最大面积的求法作为引例 使学生逐步探究在 半圆 四分之一圆的内接矩形相关最值问题 学会用三角函数求得内接 矩形面积的最大值 能够总结求解最值问题基本思路 2 过程方法目标 在恰当引进自变量 建立函数关系式的过程中 不断加强图形 文字 符号这三种数学语言的联系 培养学生讲实际问题抽象为数学问 题的化归能力 同时增强学生数形结合 分类讨论的数学思想 逐步提 高学生应用意识和创新意识 3 情感态度目标 在探究活动中提高学生的学习兴趣 提高学习数学的信心 通过 每个问题的解决 培养学生积极主动的探索精神 通过加强学生的环保 意识 增强学生的社会责任感 教学 重点 利用三角函数将实际问题化归 教学 难点 寻找恰当自变量 建立函数关系式 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 3 页 共 11 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 教学 关键 准确把握常量和变量之间的密切关系 教学 方法 引导 讨论 发现 探究等方法 由浅入深 步步深入 教学 手段 充分运用多媒体 进行启发式教学 教学 过 程 教学活动 学生 活动 多媒体辅助 设计 意图 大家都知道我们国家的森林资源非 常短缺 面对这种基本国情 我们 只能更充分地利用有效的资源 让 它获得最大的使用效率 今天我们 也从节约木材的角度出发 来探讨 以下问题 这是某工厂一批圆木的 截面 根据生产需求 要把它锯成 横截面为矩形的木材 那么怎样锯 法使得矩形面积最大 学生观 察思考 并回答 问题 大屏幕展示下图 通过观察 使 学生对所提出 的问题有直观 的印象并为进 一步猜想作铺 垫 设 置 情 境 引 入 探 究 问 题 思考并回答 1 圆的内接矩形面积与哪些变 量 常量相关 2 你能猜想圆的内接矩形何时 面积最大吗 3 如何证明你的猜想呢 你有 几种方法 4 比较上述方法 寻求最简便 的方法 小结引出课题 灵活 准确地运用三角函数 为解 决一些最值问题带来很大的方便 本课 我们重点讨论利用三角函数 求解最值问题 学生动 笔求解 证明 并回答 大屏幕呈现图形 后 呈现学生的解答过程 三角函数方法 1 通过矩形 面积的最大值 的求解过程唤 起学生运用函 数的意识 2 注意自变 量的取值范围 使学生养成仔 细审视 全方 位考虑问题的 良好习惯 A BC D 2 0 设 DBC sin2 cos2RCDRBC 2sin2 cossin4 2 2 ABCD R R S 矩形 最大值为 时 即当 矩形 2 2 12sin R ABCD 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 4 页 共 11 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 探究 1 若把上述问题中的圆 木改换成半圆木 怎样截法得到面 积最大的矩形 观察半圆的内接矩形并回答 1 半圆中哪个量是不变的 2 内接矩形的长和宽于哪个量的 变化相关 3 你能用一个函数表示出它的面 积吗 小结渗透求解最值问题的基本思想 使学生初步体会三角函数的优越性 学生设 角为自 变量 找出问 题解决 的关键 1 大屏幕演示半圆的 内接矩形面积的变化 情况 2 呈现学生的解法 1 有了前面 的引导 放手 让学生尝试解 决 培养学生 的独立性 2 通过改变 题设的条件 一题多变 培 养学生类比 推理的能力 自主探索 展开讨论 探究 2 若把半圆木改成四分之一 圆木 截得矩形的最大面积是多 少 1 通过自己的想象 让学生 画四分之一圆的内接矩形 并交流 不同的意见 2 通过讨论得出以下的结果 截法 1 若让内接矩形一边在一条 半径 OP 上 截法 2 若让内接矩形的一组对边 与弦 PQ 平行 3 对于截法 1 进行与探究 1 半圆 内接矩形的类比 使学生迅速解决 此类问题 4 让学生反复观察截法 2 的动画 过程 1 让学 生先思 考 讨 论 后 由学生 提出解 题方案 2 师生 共同探 讨矩形 ABCD 面 积化归 过程 1 显示画法 2 演示截法 2 的动画 使抽象问题具体化 让学生看清楚内接矩 形的运动规律 便于 他们寻找变量与常量 的关系 3 学生板演解题过程 1 进一步的 深入研究在四 分之一圆中的 内接矩形的面 积最大问题是 更为复杂的思 维过程 让学 生先画出内接 矩形的两种情 况 便于寻找 自变量和函数 式 2 通过师生 共同讨论分析 使学生明确解 决问题的关键 是找出一个恰 ABO C D O P Q O P Q A B C D M O P Q 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 5 页 共 11 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 组织学生讨论 1 矩形面积变化时哪些量 始终不变 2 哪些点的位置变化引起 矩形面积改变且与常量相关 3 选择哪个量为自变量 5 通过讨论 学生寻找出恰当的 自变量 建立起关于面积的函数式 运用三角的恒等变形求解出结果 使学生深刻领会三角函数的应用价 值 6 学生完成解题过程的书写表达 并巡视 纠正 7 板演规范的书写表达 3 学生 完善解 题思路 并反思 总结引 进自变 量的方 法 如图设 MOB 则 当的角为自变 量 3 通过图形 电脑动画辅助 分析 进一步 延拓学生思维 的深度 讨论 合作 交流 探索 尝试等 活动使学生成 为主动的学习 者 4 通过两种 解法中所得的 两个最大值的 计算和比较过 程 强化学生 三角恒等变形 的技能和规范 的数学表达能 力 反思总结 归纳提升 小结 第一 选择适当的 变量 作 为函数自变量 寻求函数关系 第二 注意自变量的实际意义 确定定义域 第三 熟练进行代数式恒等变 换 最终得出结论 学生结 合上面 两例题 进行归 纳小结 板演小结内容 为学生提供自 我反思省悟的 机会 培养学 生归纳 抽象 概括能力 sin2RBC sincos sincos R RRAB 22 22 2 22 2 4 2sin2 2cos2sin 12cos2sin sin2cossin2 sincossin2 RR RR R R RS 2 max 12 8 RS 时 当 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 6 页 共 11 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 练习题 A 组题 1 求 60 扇形 120 扇形 的 最大内接矩形面积 2 在 Rt ABC 中 AB 2a AC a A 90 当 A B 两点分别在 x 轴 y 轴的 正半轴上移动 且点 C 与原点 O 在 AB 的两侧时 求 OC 长的 最大值 学生动 脑 动 手完成 可以讨 论协作 完成 显示题目内容 点击 显示答案 A B 两组练习 题是对不同层 次学生的学习 要求 B 组题 半圆 O 的直径为 2 A 为 直径 MN 延长线上一点 且 OA 3 B 为半圆上任意一点 以 AB 为边作正三角形 ABC 问 AOB 为 多少时 四边形 OACB 面积最大 并求出它的最大值 这组题 是提供 给能力 强的同 学完成 显示题目 点击显示 答案 并配动画 让有能力的同 学多做 为学 有余力的学生 留有进一步探 索 发展的空 间 O A B C 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 7 页 共 11 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 四 学生的思维过程设计四 学生的思维过程设计 1 1 设置情境设置情境 引入探究问题引入探究问题 师 大家都知道我们国家的森林资源非常短缺 面对这种 我们只能更充分地利用有 效的资源 让它获得最大的使用效率 今天我们也从节约木材的角度出发 来探讨以下问 题 大家请看大屏幕 大屏幕出现一批圆木 然后出现一根圆木的截面 师 这是一根圆木的截面 根据生产需求 要把它锯成横截面为矩形的木材 那么怎 样锯法使得矩形面积最大 大屏幕展示下图 巩固深化 学以致用 作业 某体育馆用运动场的边 角地建一个矩形的健身房 如图所 示 ABCD 是一块边长为 50m 的正 方形地皮 扇形 CEF 是运动场的一 部分 其半径为 40m 矩形 AGHM 就是拟建的健身房 其中 G M 分 别在 AB 和 CD 上 H 在弧 EF 上 设矩形 AGHM 的面积为 S HCF 请将 S 表示为 的函数 并 指出当点 H 在弧 EF 的何处时 该 健身房的面积最大 最大面积是多 少 学生可以独立完成 也可以合作完成 通过对 实际问题 的转化求解 巩固所学得 知识与方法 板 书 设 计 课题 1 探究 2 中的截法 1 的解题过程 2 探究 2 中的截法 2 的解题过程 3 小结内容 H A BC D F E G M 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 8 页 共 11 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 师 像这样在截面内画矩形 它的面积最大吗 生 不是 师 若想使面积最大 矩形还需满足什么条件 生 这个矩形要内接于圆 大屏幕展示下图 师 圆的内接矩形不止一个 究竟哪一个面积最大 生 我们可以设这个内接矩形为 ABCD 它的对角线 BD 就是圆的直径 我猜想矩形 ABCD 是圆的内接正方形时 面积能达到最大 大屏幕展示下图 师 这是个很好的想法 能不能证明这个猜想呢 同学们开始动笔证起来 一会儿就有学生举手 生 此时四边形 ABCD 是正方形 他的话音刚落 另一名同学又举手 她有另一种解法 生 我的自变量设的是矩形的边 CD 已知 ABCD 横截面圆的半径为 R 则 BD 2R 设 CD x 则 于是 所以当 即 S 矩形 ABCD 最大值为 2R2 此时四边形 ABCD 是正方形 师 这两种证法都很好 一种方法是设角 引进三角函数 一种方法是设边 转化为 二次函数的最值问题 都能解出矩形面积的最大值 它们的结果还验证了刚才那位同学的 猜想 结合这两种解法 我们来比较哪一种更简洁 生 设角的方法 师 对 恰当地设角 引进三角函数可以简化问题的解决过程 这正是三角函数的魅 力所在 这个问题还要我们的具体操作 你现在知道怎样来锯这根圆木了吗 生 过圆心做两条互相垂直的直径 连接直径与圆的四交点 就是我们要求得内接正 方形 沿着正方形的边来锯木料 大屏幕显示下图 2 2 自主探索 展开讨论自主探索 展开讨论 师 很好 今天 我们继续从节约木材的角度出发 再来探求几个问题 探究 1 若把上述问题中的圆木改换成半圆木 怎样截法得到面积最大的矩形 A BC D 2 0 设 DBC sin2 cos2RCDRBC 则 2sin2cossin4 22 ABCD RRS 矩形 最大值为时 即当 矩形 2 212sinR ABCD 2R x04 22 xRBC 时Rx2 4 2 2242222 ABCD 4244RRxxxRxRxCDBCS 矩形 22 2Rx 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 9 页 共 11 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 生 矩形应当是半圆的内接矩形 大屏幕显示下图 我们来求内接矩形的最大值 师 怎么求内接矩形的最大值呢 我们观察矩形长和宽的变化是由哪些因素引起的 生 连接 OC 设 COB 的变化引起这个内接矩形的面积发生改变 师 在半圆里 我们抓住了半径这个不变的常量 再观察出内接矩形的面积是随着半 径 OC 与半圆的底边直径的夹角而变化的 这样问题就能迅速解决 师 探究 2 若把半圆木改成四分之一圆木 截得矩形的最大面积是多少 学生开始动手画四分之一圆木的内接矩形 经过学生的亲自动脑思考和讨论后 教 师提问画法 生 有两种截法 一种是让矩形一边在一条半径 OP 上 另一种截法 让矩形一组对边 与弦 PQ 平行 大屏幕显示下图 师 对于第一种截法 内接矩形的长和宽随着哪些量在变化 能不能求出这个矩形面 积的的最大值 生 连接 OC 矩形的长和宽都与 COB 有关 设 COB 则 师 对于第二种截法呢 大家找到影响内接矩形变化的相关量了吗 同学们议论纷纷 很多同学看不出常量和变量的关系 师 我们来看大屏幕这个内接矩形是怎么变化的 观察几次后 教师让学生讨论 学生讨论 1 矩形面积变化时哪些量始终不变 2 哪些点的位置变化引起矩形面积改变且与常量相关 ABO C D 2sincossin2 22 RRS 时 当 2 max 4 RS O P Q O P Q B C D 2sin 2 1 cossin 22 RRS 时 当 2 max 2 1 4 RS 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 10 页 共 11 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 3 选择哪个量为自变量 经过小组的讨论以及不断的交流 大家达成共识 并推举一名同学进行阐述 生 如图设 MOB 则 大屏幕显示下图 生 因为 所以探究 2 的结论是让矩形一边在一条半径 OP 上可以 22 122 RR 得到内接矩形面积的最大值 话音刚落 班级里响起了一阵热烈的掌声 师 同学们想得很周密 运算得也很准确 经过大家的一致努力 我们终于解决了这 个难题 这说明只要我们积极主动地认真思考 每个人都可以成为学习的主宰者 3 3 反思总结 归纳提升反思总结 归纳提升 师 下面