二次函数小结

1 人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结 一 相关概念及定义 1 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函 2 yaxbxc abc 0a 数 叫做二次函数 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 0a 而可以为零 二次函数的定义域是全体实数 bc 2二次函数的结构特征 2 yaxbxc 1 等号左边是函数 右边是关于自变量 的二次式 的最高次数是 2 xx 2 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 abc abc 二 二次函数各种形式之间的变换 1 二次函数用配方法可化成 的形式 其中cbxaxy 2 khxay 2 a bac k a b h 4 4 2 2 2 二次函数由特殊到一般 可分为以下几种形式 2 axy kaxy 2 2 hxay khxay 2 cbxaxy 2 三 二次函数解析式的表示方法 1一般式 为常数 2 yaxbxc abc0a 2顶点式 为常数 2 ya xhk ahk0a 3两根式 是抛物线与 轴两交点的横坐标 12 ya xxxx 0a 1 x 2 xx 4注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二 次函数都可以写成交点式 只有抛物线与 轴有交点 即时 抛x 2 40bac 物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析式的这三种形式可以互化 四 二次函数图象的画法 2 yaxbxc 1 五点绘图法 利用配方法将二次函数化为顶点式 2 yaxbxc 2 ya xhk 确定其开口方向 对称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画 图 一般我们选取的五点为 顶点 与轴的交点 以及关于对称轴y 0c 0c 对称的点 与 轴的交点 若与 轴没有交点 则取两组 2hc x 1 0 x 2 0 x x 关于对称轴对称的点 2 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与 轴的交点 与轴xy 的交点 五 二次函数的性质 2 axy 的符号 a 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 00 轴 y 时 随 的增大而增大 时 0 x y x0 x 随 的增大而减小 时 有最 y x0 x y 小值 0 0a 向下 00 轴 y 时 随 的增大而减小 时 0 x y x0 x 随 的增大而增大 时 有最 y x0 x y 大值 0 2 六 二次函数的性质 2 yaxc 七 二次函数的性质 2 ya xh 八 二次函数的性质 2 ya xhk 九 抛物线的三要素 开口方向 对称轴 顶点 2 yaxbxc 1 的符号决定抛物线的开口方向 当时 开口向上 当时 开口向a0 a0 a 下 相等 抛物线的开口大小 形状相同 a 2 对称轴 平行于轴 或重合 的直线记作 特别地 轴记作直线y 2 b x a y 0 x 3 顶点坐标 a bac a b 4 4 2 2 4 顶点决定抛物线的位置 几个不同的二次函数 如果二次项系数相同 那么a 抛物线的开口方向 开口大小完全相同 只是顶点的位置不同 十 抛物线中 与函数图像的关系cbxaxy 2 cba 1 二次项系数a 的符号a 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0c 轴y 时 随 的增大而增大 时 0 x yx0 x 随 的增大而减小 时 有最yx0 x y 小值 c 0a 向下 0c 轴y 时 随 的增大而减小 时 0 x yx0 x 随 的增大而增大 时 有最yx0 x y 大值 c 的符号a 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0h X h 时 随 的增大而增大 时 xh yxxh 随 的增大而减小 时 有最yxxh y 小值 0 0a 向下 0h X h 时 随 的增大而减小 时 xh yxxh 随 的增大而增大 时 有最yxxh y 大值 0 的符号a 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 hk X h 时 随 的增大而增大 时 xh yxxh 随 的增大而减小 时 有最yxxh y 小值 k 0a 向下 hk X h 时 随 的增大而减小 时 xh yxxh 随 的增大而增大 时 有最yxxh y 大值 k 3 二次函数中 作为二次项系数 显然 2 yaxbxc a0a 当时 抛物线开口向上 越大 开口越小 反之 的值越小 开口0a aa 越大 当时 抛物线开口向下 越小 开口越小 反之 的值越大 开口0a aa 越大 总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 的aaa 大小决定开口的大小 2 一次项系数b 在二次项系数 确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 在的前提下 0a 当时 即抛物线的对称轴在轴左侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的右侧 0b 0 2 b a y 在的前提下 结论刚好与上述相反 即0a 当时 即抛物线的对称轴在轴右侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的左侧 0b 0 2 b a y 总结起来 在 确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置 ab 总结 3 常数项c 当时 抛物线与轴的交点在 轴上方 即抛物线与轴交点的纵0c yxy 坐标为正 当时 抛物线与轴的交点为坐标原点 即抛物线与轴交点的0c yy 纵坐标为 0 当时 抛物线与轴的交点在 轴下方 即抛物线与轴交点的纵0c yxy 坐标为负 总结起来 决定了抛物线与轴交点的位置 cy 总之 只要都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 abc 十一 求抛物线的顶点 对称轴的方法 1 公式法 顶点是 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 a bac a b 4 4 2 2 对称轴是直线 a b x 2 2 配方法 运用配方的方法 将抛物线的解析式化为的形式 khxay 2 得到顶点为 对称轴是直线 h khx 3 运用抛物线的对称性 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 所以对称 轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴 对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点 再用公式法或对称性进行验证 才能做到万无一失 4 十二 用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxaxy 2 xy 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 khxay 2 3 交点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 十三 直线与抛物线的交点 1轴与抛物线得交点为 0 ycbxaxy 2 c 2 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点 yhx cbxaxy 2 h cbhah 2 3 抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐xcbxaxy 2 x 标 是对应一元二次方程的两个实数根 抛物线与轴的 1 x 2 x0 2 cbxaxx 交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定 有两个交点抛物线与轴相交 0 x 有一个交点 顶点在轴上 抛物线与轴相切 x 0 x 没有交点抛物线与轴相离 0 x 4 平行于轴的直线与抛物线的交点x 可能有 0 个交点 1 个交点 2 个交点 当有 2 个交点时 两交点的纵坐 标相等 设纵坐标为 则横坐标是的两个实数根 kkcbxax 2 5 一次函数的图像 与二次函数的图像 0 knkxyl 0 2 acbxaxy 的交点 由方程组 的解的数目来确定 方程组有两组不G 2 ykxn yaxbxc 同的解时与有两个交点 方程组只有一组解时与只有一个交点 lG lG 方程组无解时与没有交点 lG 6 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为xcbxaxy 2 x 由于 是方程的两个根 故 00 21 xBxA 1 x 2 x0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 十四 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般 式或顶点式表达 1 关于 轴对称x 关于 轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc x 2 yaxbxc 关于 轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk x 2 ya xhk 2 关于轴对称y 关于轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc y 2 yaxbxc 关于轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk y 2 ya xhk 3 关于原点对称 关于原点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 yaxbxc 关于原点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 5 4 关于顶点对称 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 2 2 b yaxbxc a 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 5 关于点对称 mn 关于点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk mn 2 22ya xhmnk 总结 根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会 发生变化 因此永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时 可以依据题a 意或方便运算的原则 选择合适的形式 习惯上是先确定原抛物线 或表达式 已知的抛物线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开 口方向 然后再写出其对称抛物线的表达式 十五 二次函数图象的平移 1 平移步骤 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2 ya xhk hk 保持抛物线的形状不变 将其顶点平移到处 具体平移方 2 yax hk 法如下 h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 hk 概括成八个字 左加右减 上加下减 十六 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路 1 三点式 三点式 1 已知抛物线 y ax2 bx c 经过 A 0 B 0 C 0 3 三332 点 求抛物线的解析式 2 已知抛物线 y a x 1 4 经过点 A 2 3 求抛物线的解析式 2 顶点式 顶点式 1 已知抛物线 y x2 2ax a2 b 顶点为 A 2 1 求抛物线的解析式 1 已知抛物线 y 4 x a 2 2a 的顶点为 3 1 求抛物线的解析式 3 交点式 交点式 1 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为 3 0 5 0 求抛物线 y x a x b 的解析式 2 已知抛物线线与 x 轴两个交点 4 0 1 0 求抛物线 y a x 2a x 2 1 b 的解析式 6 4 定点式 定点式 1 在直角坐标系中 不论 a 取何值 抛物线经过22 2 5 2 1 2 ax a xy x 轴上一定点 Q 直线经过点 Q 求抛物线的解析式 2 2 xay 2 抛物线 y x2 2m 1 x 2m 与 x 轴的一定交点经过直线 y mx m 4 求抛 物线的解析式 3 抛物线 y ax2 ax 2 过直线 y mx 2m 2 上的定点 A 求抛物线的解析式 5 平移式 平移式 1 把抛物线 y 2x2 向左平移 2 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 得 到抛物线 y a x h 2 k 求此抛物线解析式 2 抛物线向上平移 使抛物线经过点 C 0 2 求抛物线的解析式 3 2 xxy 6 距离式 距离式 1 抛物线 y ax2 4ax 1 a 0 与 x 轴的两个交点间的距离为 2 求抛物线的解 析式 2 已知抛物线 y m x2 3mx 4m m 0 与 x 轴交于 A B 两点 与 轴交于 C 点 且 AB BC 求此抛物线的解析式 7 对称轴式 对称轴式 1 抛物线 y x2 2x m2 4m 4 与 x 轴有两个交点 这两点间的距离等于抛物 线顶点到 y 轴距离的 2 倍 求抛物线的解析式 2 已知抛物线 y x2 ax 4 交 x 轴于 A B 点 A 在点 B 左边 两点 交 y 轴于点 C 且 OB OA OC 求此抛物线的解析式 4 3 8 对称式 对称式 1 平行四边形 ABCD 对角线 AC 在 x 轴上 且 A 10 0 AC 16 D 2 6 AD 交 y 轴于 E 将三角形 ABC 沿 x 轴折叠 点 B 到 B1 的位置 求经过 A B E 三点的抛物线的解析式 2