2014届高考数学（理）一轮复习限时提分训练：第十五章第6讲《不等式的证明》（苏教版）

第第 6 6 讲讲 不等式的证明不等式的证明 分层训练 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 60 分 1 设a b c为正数 且a b c 1 求证 9 1 a 1 b 1 c 证明 法一 构造两组数 abc 1 a 1 b 1 c 因此根据柯西不等式有 2 2 2 abc 1 a 2 1 b 2 1 c 2 2 a 1 a b 1 b c 1 c 即 a b c 32 9 1 a 1 b 1 c 当且仅当 即a b c时取等号 a 1 a b 1 b c 1 c 又a b c 1 所以 9 1 a 1 b 1 c 法二 a b c均为正数 1 a b c 3 3 abc 又 3 1 a 1 b 1 c 3 1 abc 3 3 abc 1 3 3 9 1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 abc 即 9 1 a 1 b 1 c 2 已知x2 2y2 3z2 求 3x 2y z的最小值 18 17 解 x2 2y2 3z2 32 2 2 1 3 2 2 3x 2y z 2 3x 2y 2 3z 1 3 当且仅当x 3y 9z时 等号成立 3x 2y z 2 12 即 2 3x 2y z 2 33 当x y z 时 9 3 17 3 3 17 3 17 3x 2y z 2 最小值为 2 33 3 2012 常州一中期中 设正实数a b满足a2 ab 1 b 2 3 求证 a b 1 2 证明 由a2 ab 1 b 2 3 得ab 1 a b 1 2 3 又正实数a b满足a b 1 2 ab 1 即ab 1 当且仅当a b时取 a b 1 2 4 a b 1 2 3 a b 1 2 a b 1 2 4 4 已知an n N N 求证 1 22 33 4n n 1 ann n n 1 n2 nn n 1 an 1 2 3 n 1 22 3n n 1 n n 1 2 n n 1 n n 1 2 an 1 2 2 2 3 2 3 4 2 n n 1 2 2 3 n 1 2 n 1 2 n n 2 2 综上得 an0 b 0 1 求证 9 a b 1 a a2 1 b 1 a2 2 求 5 2a 2 4b2 a b 2的最小值 1 证明 因为a 0 b 0 所以a b 3 3 0 1 a 3 a b 1 a 3 b 同理可证 a2 3 0 1 b 1 a2 3 1 b 由 及不等式的性质得 3 3 9 a b 1 a a2 1 b 1 a2 3 b 3 1 b 2 解 5 2a 2 4b2 a b 2 12 12 22 5 2a 1 2b 1 a b 2 2 所以 5 2a 2 4b2 a b 2 25 6 当且仅当 时取等号 即a b 5 2a 1 2b 1 a b 2 25 12 5 12 所以当a b 时 5 2a 2 4b2 a b 2取最小值 25 12 5 12 25 6 6 2013 福建毕业班质检 已知a b为正实数 1 求证 a b a2 b b2 a 2 利用 1 的结论求函数y 0 x0 b 0 a b a2 b2 a2 b b2 a a3 b b3 a a2 b2 2ab a b 2 a b 当且仅当a b时等号成立 a2 b b2 a 法二 a b a2 b b2 a a3 b3 a2b ab2 ab a3 a2b ab2 b3 ab a2 a b b2 a b ab a b 2 a b ab 又 a 0 b 0 0 a b 2 a b ab 当且仅当a b时等号成立 a b a2 b b2 a 2 解 0 x0 由 1 的结论 函数y