53[1].综合复习题（二）

综合复习题 二 综合复习题 二 例题精选例题精选 一 方程型综合题 一 方程型综合题 一 方程与代数综合题 例例 1 已知二次方程有两个正整数根 求整数 mxmxm 2 2120 m 解 方程有两个根 m mm m mmmm 0 0 4142 4212 4 2 22 解方程 得 mxmx 210 x m mm x 12 2 1 2 1 根为整数 m 为整数 mm12或 有两个正整根 m12或 例例 2 关于 x 的方程 mxmxm 2530 2 1 求证方程有实数根 2 若方程有两个实数根 且两根的平方和等于 3 求的值 m 1 证明 当mm 202时 即 方程为2 550 x 有唯一实数根 x 5 2 当时 m 20 5423 546 424 220 20 2200 2 22 2 2 2 2 mmm mmm mm m m m 即 0 方程有实根 2 设方程的两根为xx 12 依题意 m xx m m x x m m xx 20 0 5 2 3 2 3 12 12 1 2 2 2 xxx x m m m m mmmm mmmmm mmmmm m m 12 2 12 2 22 222 222 23 5 2 2 3 2 3 523232 526344 5221231212 100 0 的值为 0 m 小结 小结 方程有实根往往被学生误认为只对一元二次方程而言 其实当 时 方程为一元一次方程 同样有此情况 因此应分类讨论 m 20 例例 3 已知关于 x 的方程有两个实根 两根的平 mxmxm 3210 2 方和与两根积的 28 倍的差大于 26 求最大整数 m 解 设方程的根为xx 12 依题意 a xx m m x x m m xxx x m 0 0 2 3 1 3 2826 12 12 1 2 2 2 12 为整数 4431 443 4 430 3 4 2 22 mmm mmm m m xxx x 12 2 12 3026 2 3 30 1 3 26 2 m m m m 43013263 2154313690 215604513781170 1872 4 3 4 43 22 222 222 mmmm mmmmm mmmmm m m mmm 且 为整数 最大整数 m 的值为 2 例例 4 已知 关于 x 的方程有且仅有一个非xaxbcxbxac 22 00 和 零公共根 求证 它们的其余两个根是方程的根 xcxab 2 0 证明 设公共根为 x0 依题意 xaxbc xbxac 0 2 0 0 2 0 01 02 12 0 0 0 0 ab xba c ab xc 若 两方程系数均相同 有两个公共根 与两方程有且仅有一个ab 非零公共根矛盾 ab xc 0 设方程的另一根为 xaxbc 2 0 x1 xcbc xb 1 1 设方程的另一根为 xbxac 2 0 x2 xcac xa 2 2 xxab x xab xc cacbc c cab abc xxc xxab 12 12 0 2 12 12 0 0 0 是方程的非零根 原题得证 小结 小结 1 注意 方程 元 次概念 如第 3 题中方程有一次 两次两种可能 2 注意 方程根 公根的概念 如第 4 题中 非零公共根 如第 1 题 正整数根 3 方程中的待定系数的关键是构造关于 待定系数 的方程 不等式 组 二 方程与几何综合题 例例 1 已知关于 x 的方程的两根之和为 1 两根 ac xbxca 2 20 之差为 1 其中是的三边长 1 求方程的两根 2 试判断abc ABC 的形状 ABC 解 设方程的两根为xx 12 依题意 ac xx b ac xx ac ac xx xx 0 0 2 1 1 12 12 12 12 1 xx xx xx xx 12 12 12 21 1 1 1 1 x x x x 1 2 1 2 0 1 1 0 方程两根为 0 1 2 xx 12 1 2 1 2 41 141 0 12 2 12 2 b ac bac xxxx ac ac ca ac ca abc 是等边三角形 ABC 例例 2 在矩形 ABCD 中 AB a BC 2b M 是 BC 的中点 E 是垂足 且 a b 是二次方程DE AM 的两根 求 DE 的长 xx 2 7120 解法一 xx xx xx 2 12 7120 430 43 ABM DEA DE 4 6 5 DE 3 8 5 DE 24 5 解法二 可证 ABM DEA DE AB DA AM DE ab ab 2 22 2 2 2 ab abab 由方程可得 abab 712 DE 212 7212 24 5 2 小结 小结 为什么解法 1 分出的两种情况得到的是同一结果 只需看一下解法 2 就可得到答案 因为 DE 的长与方程的两根和 两根积有关 不必非得到每一 个根 因此解题时要善于分析条件和所求 以减少不必要的麻烦 例例 3 m 为何值时 关于 x 的方程的根为直角 mxmx 525120 2 三角形两锐角的正弦值 解 设方程的两根为 xx 12 为直角三角形两锐角的正弦值xx 12 设 90 sincos sincos sinsin 22 22 1 2 2 2 1 1 1 同三角函数关系 余角三角函数关系 即xx 依题意 m xx m m x x m xx 50 0 25 5 12 5 1 12 12 1 2 2 2 25485 4402548240 488215 2 2 2 mm mmm mm xxx x m mm mmm mmmmm mm mm mm mm 12 2 12 2 2 2 22 2 2 12 21 25 5 2 12 5 1 252455 42025241201025 3541200 18400 2020 202 当时m 20 4054825 57574825 25 4948 250 2 当时m 2 94825 993163 9 916 0 2 符合题意不合题意 舍去 值为 20 m 例例 4 已知的三条边长 关于 x 的方程abcABC 是 0 有两个相等的实数根 axbxcx 121 22 且 求 的值 224 acb coscoscosABC 解 aaxbxccx 22 20 ca xbxac bca ac bca bca cab ABCCRt acb a cb 2 2 222 222 222 2 20 44 4 040 224 22 方程有两相等实根 即 为直角三角形 acb cab ca cab b cab bcab ca b cab ab cb Rt ABCCRt ABC b c a c b b 21 2 12 02 2 3 21 3 4 5 4 0 4 5 3 4 5 4 0 7 5 222 2 2 coscoscos 把 代入 在中 小结 小结 1 方程与几何综合题题目特点是 线段作为方程的根 含线段长的代数式作为方程的系数 锐角三角函数值作为方程的根 含锐角三角函数值的 代数式 作为方程的系数 2 解此类综合题的方法是把综合问题分解为纯代数 纯几何问题 当把线段长 锐角三角函数值视为实数 问题转化为代数问题 当把线段长 锐角三角函数值视为线段 锐角三角函数时 问题转化为 几何问题 3 方程中的待定系数的关键是构造关于 待定系数 的方程 不等式组 等量关系 已知等量关系 图形中隐含等量关系 定理 性质固有等量 关系 例题精选例题精选 二 函数型综合题 二 函数型综合题 一 函数与代数综合题 例例 1 一次函数的图象与 y 轴的交点到 x 轴的距离小于ymxm 12 等于 3 求 m 的取值范围 解 m m 10 23 323 15 15 m m m 例例 2 已知 抛物线经过 1 0 5 0 4 3 三yaxbxc 2 点 1 求抛物线的解析式和顶点坐标 2 若抛物线顶点的横纵坐标是方程的两个xmn xmn 22 440 根 求的值 mn 解 依题意 0 0255 3164 abc abc abc a b c yxx yxx x yx 1 6 5 65 6995 395 34 34 2 2 2 2 顶点 2 344 344 2 mn mn 47 3 743 440 20 2 2 2 2 mn mn mm mm m mm 12 2 nm mn 741 21 小结 小结 此题求解析式时 亦可 设 过 点 ya xx a a yxx yxx 15 43 341 45 1 65 65 2 2 例例 3 已知一次函数的图象过 A 1 和 B 2 两点 但不过原 点 其中 是方程的两个实数根 且满足 xxm 2 320 求这个一次函数的解析式 2120 22 解 是方程的两根 0 11 322 m 2120 22 由 1 1 12120 3120 281020 450 510 22 22 2 2 12 12 51 1 42 或 代入 或 4 5 2 1 14521 212 0 1452 4 25 1 2 9 2 ABAB ykxbk AB kb kb k b 或 设 过 yx 1 2 9 2 过 AB kb kb k b 1 212 2 2 2 0 此图象过原点 不合题意 舍去 一次函数的解析式为 yx 1 2 9 2 小结 小结 函数与代数知识的综合主要有 1 通过函数值将函数与代数式 方程 不等式综合 2 和抛物线与 x 轴的交点的横坐标有关问题综合运用一元二次方程根与系 数的关系来解决 3 函数图象在直角坐标系中位置与系数构造的方程或不等式综合 如例 1 4 方程的根或一元二次方程的两根的对称式作为函数图象上一点坐标或函 数的系数 如例 2 例 3 解此类综合题一般有两条解题思路 1 依条件构造 待定系数 的方程 不等式 2 转化为点的坐标 二 函数与几何综合题 例例 1 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AB DC 设梯形的周长为 16cm 底角 B 为 高 AH 为 x cm 中位线 EF 的长为 y cm 用解析式表示梯形的30 中位线长 y 是高 x 的函数 并求出自变量 x 的取值范围 并画出函数图象的示 意图 解 在Rt AHBB 中 30 ABAHx 22 EF 是梯形中位线 yADBC x x yx 1 2 1 2 1622 82 28 当点 A 与点 D 重合时 等腰梯形就变为等腰三角形 依题意 BHAHx 33 222316 238 8 23 23 23 168 3 xxx x x 自变量取值范围是0168 3 x 例例 2 已知半径为 x 的扇形的周长为 20 若它的面积为 y 求 y 与 x 之间的 函数关系 并求自变量 x 的取值范围 解 SlR 扇 1 2 lx 202 解析式为 yxx yxx n x x n x x x yxxx 1 2 202 10 180 202 0 3600360 360 10 1 10 10 10 1 10 2 2 例例 3 如图 抛物线和轴交于两点 A B A 在 B 的左侧 yaxbxc 2 x AB 7 点 P 为该抛物线上一点 它的横坐标为 求抛 160 3 2 3 PAOctg PBO 物线的解析式 解 过点 P 作PPxP 轴于 设PPp 在中 Rt PP B ctg PBO BP PP BP p BPp Rt PP APAO P A PPp p AB pp p pP p 3 2 3 3 2 3 60 33 3 3 7 3 2 3 3 3 7 7 6 37 2 312 3 3 1 2 3 3 11 在中 A 1 0 B 8 0 ya xxa 180 过 P 12 3 2 31118 3 9 3 9 98 3 9 3 8 9 3 2 2 a a yxx yxx 例例 4 已知 二次函数 yxmxm 2 24 1 求证 不论为任何实数时 抛物线与 x 轴总有交点 m 2 如图所示 当抛物线与 x 轴相交 A B 两点 A B 分别在 y 轴左 右两侧 且 OA 与 OB 的长的比是 2 1 时 求的值 m 3 如果抛物线与 x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三 角形 求这条抛物线所表示函数的解析式 1 证 mm mm m 2 2 2 4 24 816 40 总有交点 解 2 设 A xB x 12 00 且xx 12 00 依题意 04 1 242 23 12 12 12 m xxm x xm xx xm xm mm mm mm mm xxx 1 2 2 2 12 121 2 3 224 20 210 21 420 代入 与不符 舍去 m2 3 设抛物线与 x 轴两交点坐标为 A xB x 12 00 顶点为 C 其纵坐标为 y mmmm C 4 24 4 816 4 22 为等边三角形 ABC 3 2 4 4 12 2 xx m 依题意 04 24 3 2 4 4 12 12 12 2 m xxm x xm xx m xxx x m mm m mm m mm 12 2 12 2 2 2 4 2 2 4 2 24 4 4 3 4 4 4 24 4 3 4 4 816 4 3 4 4 4 1 12 4 m m m m 4 1 1 12 4 412 42 3 2 2 例例 5 已知 点在抛物线上 A 1 1ykxkx 22 1221 1 求抛物线的对称轴 2 若 B 点与 A 点关于抛物线的对称轴对称 问是否存在与抛物线只交于 B 的直线 如果存在 求符合条件的直线 如果不存在 说明理由 解 1 点 A 在抛物线上 111221 230 310 10 13 8101 2 2 2 2 kk kk kk k kk yxx 对称轴x 5 8 2 点和点 B 关于对称A 1 1x 5 8 B 1 4 1 设过 B 点的直线解析式为 ykxbk 0 要使与只交于 B 点 yxx 8101 2 只有唯一解kxbxx 8101 2 81010 2 xk xb 1032 101 1 1 4 2 1 4 11 1032 1 1 4 10 100206480 12360 60 6 6 4 1 1 2 6 1 2 1 4 2 2 2 2 2 12 kb Bkb bk kk kkk kk k kk b yxx 过 代入 或 存在两条 例例 6 二次函数在同一坐yaxbxcyaxbxc 1 2 2 2 21223 和 标系中的图象如图 1 哪个函数图象经过 B C D 三点 2 若 BO AO BC DC 求二个函数的 解析式 解 1 且一正一负 aa 1 aa yBCD 10 2经 三点 2 BO AO 的对称轴为轴y1y 2 2 0 b a b yyxy yaxc yaxxc xxxx BC BCDC 0 1 1432 21 04313 103 1200 00 2 00 2 0 2 000 有两交点 设交点 或 点横坐标 C为顶点 D 5 0 点 在 上 点 在上ByDy ac ac a a c yx yxx 12 1 2 2 2 0 02525203 0248 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 4 10 3 小结 小结 1 几何中的基本元素 线段做为函数中的变量 求函数解析式 一般寻找一个等量关系列方程 再转化为函数解析式 难点是求自变量取值范 围及画函数图象的示意图 2 函数知识与几何知识相互转化的基 础是线段长 点坐标 即如图 1 OBxOAy BA ABxy BA 22 2 PQyOQx PP OPxy pP 22 一般解题思路 1 已知点坐标线段长线段长 点坐标 2 用待定系数法求函数解析式 3 解析式点坐标线段长面积及其它 如例 3 3 解综合题中注意合理运用点在函数图象上 点的坐标适合函数解析式 1 已知点 为已知数 代入含 待定系数 的函数解析式构P a b a b 造关于待定系数的方程 如例 5 2 点 其中为已知数 k 为待定系数 代入含 待定P a kk b 或a b 系数 k 的函数解析式 构造关于 k 的方程 3 已知点 其中为已知数 为未知数 代入P a yx b 或a b x y 已知函数解析式 则可以用关于 a 的代数式表示 y 或用关于 b 的代数式表示 x 4 已知点 其中 b 为已知数 为未知数 代入含待定系数 kP x b x 的函数解析式 可以用含 k 的代数式表示 x 4 解函数 几何综合题时 注意图形的分解 把基本的几何图形从直角 坐标系中分离出来 求出所需线段长后 再放回坐标系中 5 解函数 几何综合题时 注意对点位置的讨论如 例 4 例 5 综合题的学习既要见题有一定的思路 又不能模式化地套用旧有模式 应 以数学思想方法为指导 致力于能力的提高 例 例 已知 D E 是 BC 边上的两点 且 ABCC中 90 若 BD 11 DE 5 求 AC 的长 ABCADCAEC 1 2 1 3 分析 分析 先依题意画出图形 如右图 观察图形 发现题目条件较分散 若能把它们集中到一个三角形中 就容易求出边长 抓住图形特点 结合角的 数量关系 是解决本题的关键 解 设 ABC ABCADCAEC 1 2 1 3 ADEAEC23 E 为 BC 上一点 AECABCBAE 3 BAE BAEADE2 又 AEDBEA EAB EDA 在中 在中 又 的长为 EA ED EB EA EA EA AE C Rt ADCADCDAC Rt AECAECEAC ACADCDAECE BADADCBB DADB CECE CE ACAECE AC AC 5 511 4 5 90 11 1154 5 8 5 4 5 8 5 44 5 44 5 222 222 22222 2222 2222 2 初三数学试卷 三 初三数学试卷 三 第 卷 选择题 76 分 一 下列各题均有四个选项一 下列各题均有四个选项 其中只有一个是正确的其中只有一个是正确的 共 76 分 1 4 小题每题 3 分 5 20 小题每题 4 分 1 的值等于 2 2 A 2B 2C 4D 4 2 点 3 4 关于原点对称的点的坐标是 A 4 3 B 3 4 C 3 4 D 3 4 3 0 83357 精确到千分位的近似值是 A 0 833B 0 834C 0 8335D 0 8336 4 直线通过yx 1 5 A 二 三 四象限B 一 二 三象限 C 一 三 四象限D 一 二 四象限 5 使两个直角三角形全等的条件是 A 一锐角对应相等B 一条边对应相等 C 两锐角对应相等D 两条边对应相等 6 给出两组数据 甲组 20 21 23 24 26 乙组 100 101 103 104 106 那 么下列结论正确的是 A B C D SS 甲乙 22 SS 甲乙 22 SS 甲乙 22 SS 甲乙 7 下列因式分解中错误的是 A 191313 2 aaa B ambmabab mab 22 C 4 9 001 2 3 01 2 3 01 22 mnmnmn D xxxx 5332 1 8 一个一元二次方程的两根之和是 两根之积为 这个方程是 7 2 5 4 A B 41450 2 xx 41450 2 xx C D 41450 2 xx 41450 2 xx 9 已知 m n 是实数 且 那么 m n 的值是 mn 1210 22 A B C D 1 3 2 1 2 3 2 1 2 或 10 下列命题中 正确的是 A 平行四边形既是中心对称图形 又是轴对称图形 B 对角线互相垂直的四边形是菱形 C 三角形的内心到三角形各顶点的距离相等 D 圆内接平行四边形是矩形 11 下列等式中 正确的是 A B b a b a 2 2 ab ab 0 C D ab ab 1x yy y x y 11 12 已知方程的两根为 下列各式计算正确的是2720 2 xx xx 12 A B 227 12 xx xx 12 11 3 2 C D x xx x 1 2 212 2 7 2 11 7 12 xx 13 已知 O1和 O2的半径分别为 2 和 3 两圆相交于 A B 且 AB 2 则 O1O2的长为 A B 2 23 2 23 C D 2 23 2 32 14 已知是锐角 那么等于 cos 90 A B C D cos sin 90 sin cos 90 15 已知 正方形的周长为 x 它的外接圆的半径为 y 则 y 与 x 的函数关系 是 A B C D yx 2 4 yx 2 8 yx 1 2 y x 2 8 16 如果圆柱底面直径为 6cm 母线长为 4cm 那么圆柱的侧面积为 A B C D 24 2 cm36 2 cm48 2 cm12 2 cm 17 如图 O 的面积为 16 圆心 O 到弦 AB 的距离为 2 则图中阴影部分 的面积为 A B 16 3 4 3 4 3 4 3 C D 16 3 2 3 4 3 2 3 18 在 ABC 中 C 90 如果 那么的值为tgB 2sin A A B C D 2 2 3 3 3 3 2 2 19 一只船以每小时 20 海里的速度向正东航行 起初船在 A 处看见一灯塔 B 在船的北偏东 60 2 小时后船在 C 处看见这个灯塔在船的北偏东 30 则灯塔 B 到船的航线 AC 的距离为 A 海里B 海里20 310 3 C 20 海里D 10 海里 20 如图 矩形纸片 ABCD 的长 AD 8cm 宽 AB 4cm 将其折叠 使点 D 与点 B 重合 那么折叠后 DE 的 长和折痕 EF 的长分别为 A B 32 5cmcm 52 5cmcm C D 35cmcm 55cmcm 第 卷 解答题 44 分 二 本题 5 分 计算 3 2 31 6031 0 tg 三 本题 5 分 解方程 x x x x 9 4 9 4 四 本题 5 分 列方程或方程组解应用题 甲 乙二人从 A 地去相距 64 千米的 B 地 乙先行 10 分钟后甲才出发 当甲 行至 10 千米处时 发现有文件遗忘在 A 地 便立即返回 取了文件又立即从 A 地向 B 地行进 结果二人同时到达 B 地 又知甲比乙每小时多走 2 千米 求甲 乙二人的速度 五 本题 5 分 已知二次函数 yxaxbxy 2 130 当时 1 求 a b 的值 2 x 为何值时 的函数值大于零 ybxax 2 1 六 本题 7 分 已知 O 的半径为 R 过已知点 P 作直线与 O 交于 A B 两点 试判断 PA PB 与 OP2 R2的关系 并加以证明 七 本题 8 分 如图 直角梯形 ABCD 中 AB CD AD AB 以 BC 为直径的 O 与 AD 切于点 E 交 AB 于 F 已知 CD a AB OC AD b 连结 BE CE 1 求证 关于 x 的方程有两个相axbxc 2 0 等的实数根 2 有一小圆 O 与 O 外切 且与 AD AB 相 切 若 DC 4 AB 16 求此小圆的半径 八 本题 9 分 已知 如图 ABC 中 AB AC 10 点 OcosB 3 5 在边 AB 上 O 过点 B 且与 BC