【备课精选】2012年高一数学新人教B版必修二教案：2.3.1《圆的标准方程》

课时1 课题课题 2 3 12 3 1 圆的标准方程圆的标准方程 课型新 知识与技能 知识与技能 1 理解并掌握圆的标准方程 会根据不同的条件求得圆的标准方程 2 能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径 解决一些简单的实际问题 并会推导圆 的标准方程 3 通过圆的标准方程的推导 培养学生利用求曲线方程的一般步骤解决实际问题的能力 过程方法与能力过程方法与能力 通过圆的标准方程的推导 渗透数形结合 待定系数等数学思想方法 进一步培养学生的 观察 比较 分析 概括等的思维能力 学会借助实例分析 探究数学问题 教学教学 目标目标 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过学生的主动参与 师生 生生的合作交流 提高学生的学习数学的热情和兴趣 激发起 求知欲 培养探索精神 树立事物之间相互联系 互相转化的辩证唯物主义的观 点 重点重点 分析分析 1 圆的标准方程的推导 2 根据具体条件正确写出圆的标准方程 难点难点 分析分析 运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 学法学法 教具教具 三角板 投影仪 板书板书 设计设计 2 3 12 3 1 圆的标准方程圆的标准方程 1 圆的标准方程 2 求曲线方程的一般步骤 3 应用举例 4 巩固练习 教 学 过 程 与 内容师生活动 一 情境设置 在直角坐标系中 确定直线的基本要素是什么 圆作为平面几何中的基本图形 确定 它的要素又是什么呢 什么叫圆 在平面直角坐标系中 任何一条直线都可用一个二元一 次方程来表示 那么 圆是否也可用一个方程来表示呢 如果能 这个方程又有什么特征 呢 二 探索研究 1 圆的标准方程 推导 设 M x y 是圆上任意一点 根据定义 点 M 到圆心 C 的距离等于 r 所以圆 C 就是集合 由两点间的距离公式 点 M 适合的条件 rMCMP 可表示为 把此式两边平方 rbyax 22 得 222 rbyax 注 1 这是二元二次方程 展开后没有 xy 项 2 括号内 x y 的系数都是 1 3 点 a b r 分别表示圆心的坐标和圆的半径 只要 a b r 三个量确定了且 r 0 圆的方程就给定了 4 当圆心在原点 即 C 0 0 时 方程为 222 ryx 5 圆心和半径分别确定了圆的位置和大小 从而确定了圆 所以 三个独立的条 件 注意 确定 a b r 可以根据条件 利用待定系数法来解决 2 对照之先方程的概念 使学生意识到 若平面上一点 M x y 适合上述方程 则 M 是圆上的点 3 根据上述解法 总结求曲线方程的一般步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标 2 写出适合条件P的点M的集合 可以省略 直接列出曲线方程 3 用坐标表示条件P M 列出方程 0 yxf 4 化方程为最简形式 0 yxf 5 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 可以省略不写 如有特殊 情况 可以适当予以说明 简记为 建系 设点 列式 化简 证明 4 点与圆的关系的判断方法 00 M xy 222 xaybr 1 点在圆外 22 00 xayb 2 r 2 点在圆上 22 00 xayb 2 r 3 点在圆内 22 00 xayb 2 r 三 应用举例 例 1 根据下列条件 求圆的方程 1 圆心在点 并过点 2 1 2 2 A 22 2 1 25xy 引导学生 分析研究 独立解决 教 学 过 程 与 内 容师生活动 2 圆心在点 并且和直线相切 1 3 C3460 xy 22 1 3 9xy 3 过点和点 半径为 0 1 2 1 5 待定系数法求得 2222 1 1 5 1 3 5xyxy 或 4 已知两点 求以为直径的圆的方程 并且判断点 12 3 8 4 7 PP和 12 PP 是在圆上 在圆内 还是在圆外 3 7 2 2 1 4 MNQ 例 2 过点 且圆心在直线上的圆的方程 6 0 1 5 AB 2780lxy 解法 1 分析 由题意得 圆心在线段的垂直平分线上 又在直线 上 所以ABml 圆心是直线与 的交点 将直线与 的方程连立 解方程组 可以求出圆心坐标 再mlml 由圆心和圆上一点的坐标可以求出圆的半径 解法 2 待定系数法 22 3 2 13xy 例 3 赵州桥的跨度是 圆拱高约为 求这座圆拱桥的拱圆方程 37 02m7 2m 略解 建系 设点 列式 化简得 22 20 19 750 21xy 四 巩固练习 教材 P 102 练习 A 1 2 3 练习 B 1 2 课堂小结 通过本节学习 要求大家熟练掌握圆的标准方程 能根据具体条件正确写出 圆的标准方程 了解待定系数法和求曲线方程的一般步骤 并能解决一些简 单的有关圆的实际问题 课后作业 首辅 五 基础训练与自主探究 1 方程表示的曲线是 B 2 11 1 xy A 一个圆 B 两个半圆 C 两个圆 D 半圆 2 圆的圆心到直线的距离是 A 1 1 22 yxxy 3 3 A B C D 2 1 2 3 13 3 圆心为 一条直径的两个端点分别落在轴上 则此圆的方程为 2 3 x y 4 圆心在直线上的圆与轴交于两点 则圆 C 的方270 xy Cy 0 4 A 0 2 B 程为 22 2 3 5xy 5 求过点且圆心在直线上的圆的方程 5 2 3 2 MN32 xy 22 4 5 10 xy 教教 学学 过程过程 与与 内内 容容师生活动 6 平面上有两点 点在圆周上 求使 1 0 1 0 AB P 443 22 yx 取最小值时点的坐标 取最大值时 点的坐标 22 APBP PP 解 在 中有 即当最小时 ABP 22221 4 2 APBPOPAB OP 取最小值 而 22 APBP min 523OP 394129 12 3 3 555555 xy PPP 7 从圆外一点 P 1 1 向圆 x2 y2 1 引割线 交该圆于 A B 两点 求弦 AB 的中点的轨迹方程 解 设 AB 中点 M 连 OM OP 则 OM PB 由于 M 点的运动满足 PMO 900 所以点 M 的轨迹是以 OP 为直径的圆在已知圆 O 内部的一段圆弧 OP 中点 2 1 2 1 OP 所以点 M 的轨迹方程为2 11 2 1 2 1 2 1 22 xyx 8 已知圆的半径为 圆心在直线上 圆被直线10 xy2 0 yx 截得的弦长为 求圆的方程 24 解 设圆心坐标为 m 2m 圆的半径为 所以圆心到直线 x y 0 的距离为10 2 2 mm 由半径 弦心距 半径的关系