极坐标与参数方程例题示范(分题型)

1 极坐标与参数方程例题示范极坐标与参数方程例题示范 分题型分题型 极坐标与参数方程是选修内容的必考题型 这里按照课本及高 考考试说明 归纳总结为四类题型 题型一 极坐标与直角坐标的互化 互化原理 三角函数定义 数形结合 题型一 极坐标与直角坐标的互化 互化原理 三角函数定义 数形结合 1 在直角坐标系中 直线 的参数方程为 为参数 以为极点 xOyl ty tx 1 3 tO 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 并在两种坐标系中取相同的长度单位 曲线的xC 极坐标方程为 0cos2 1 把曲线的极坐标方程化为普通方程 C 2 求直线 与曲线的交点的极坐标 lC 20 0 试题解析 试题解析 1 由得 两边同乘以 得 0cos2 cos2 xyx2 22 2 由直线 的参数方程为 为参数 得直线的普通方程为l ty tx 1 3 t 联立曲线与直线 的方程得 或 化为极坐标为02 yxCl 1 1 y x 0 2 y x 或 4 5 2 2 考点 极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线参数方程与普通方程的互化 考点 考点 cos sinxy 222 xy 2 在极坐标系中 设圆经过点 圆心是直线与C3 6 3 sin 32 极轴的交点 求圆的极坐标方程 C 试卷第 2 页 总 13 页 试题解析 试题解析 法一 法一 转化为直角坐标为 3 6 33 22 直线的直角坐标方程为 3 sin 32 330 xy 它与轴的交点也就是圆心为x 1 0 所以 10 2 r 所以圆的方程为 得 2 2 11xy 22 20 xyx 所以 圆的极坐标方程为 2cos 法二 法二 因为圆心为直线与极轴的交点 所以令 得 2 sinsin 33 0 1 即圆心是 1 0 又圆经过点 圆的半径 C3 6 3 1 2 3cos1 6 r 圆过原点 圆的极坐标方程是 C2cos 考点 1 转化为直角坐标 求出所求方程 再转化为极坐标 2 先求圆心坐标 再运用余弦定理求半径 最后借助过原点写出圆的极坐标方程 题型二 曲线 圆与椭圆 的参数方程 题型二 曲线 圆与椭圆 的参数方程 1 普通方程互化和最值问题 普通方程互化和最值问题 1 的代换 的代换 三角解 三角解 22 cossin1 决 决 3 3 已知曲线的参数方程是 以坐标原点为极点 轴的正半C sin cos2 为参数 y x x 轴为极轴建立极坐标系 的极坐标分别为 BA 3 4 2 2 BA 求直线的直角坐标方程 AB 设为曲线上的点 求点到直线距离的最大值 MCMAB 试题解析 将 化为直角坐标为 AB 44 2cos 2sin 2cos 2sin 33 AB 即 2 0 1 3 AB 30 3 12 AB k 直线的方程为 即 AB03 2 yx 32 30 xy 设 它到直线的距离为 2cos sin M AB 2 3cossin2 313sin 2 3 22 d 其中 tan2 3 max 132 3 2 d 考点 1 椭圆的参数方程 2 点到直线的距离公式 3 三角函数求最值 4 已知曲线的极坐标方程是 直线 的参数方程是 为参数 C2sin l 3 2 5 4 5 xt yt t 设直线 与轴的交点是 是曲线上一动点 求的最大值 lxMNCMN 试题解析 试题解析 曲线的极坐标方程可化为 又 C 2 2 sin 222 cos sinxyxy 所以曲线的直角坐标方程为 C 22 20 xyy 试卷第 4 页 总 13 页 将直线 的参数方程化为直角坐标方程 得 l 4 2 3 yx 令 得 即点的坐标为 2 0 0y 2x M 又曲线的圆心坐标为 1 0 C 半径 则 所以 1r 5MC 51MNMCr 法二 法二 设 N 的坐标为 cos 1 sin 所以 2 2 cos2 1 sin MN 4cos2sin6 2 5sin6 2 56 51 考点 极坐标化为直角坐标 参数方程化为普通方程 直线与圆位置关系 5 已知在平面直角坐标系中 直线 的参数方程是是参数 xOyl 2 2 2 4 2 2 xt yt t 以原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线的极坐标方程为OxC 2cos 4 1 判断直线 与曲线的位置关系 lC 2 设为曲线上任意一点 求的取值范围 MCxy 试题解析 1 直线 的普通方程为 l4 20 xy 曲线的直角坐标系下的方程为 C 22 22 1 22 xy 5 因为圆心到直线的距离为 22 22 4 20 xy 5 2 51 2 d 所以直线 与曲线的的位置关系为相离 lC 2 设点 22 cos sin 22 M 则 cossin2sin2 2 4 xy 考点 直线与圆的参数方程和圆的极坐标方程 6 已知平面直角坐标系 以为极点 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 xOyOx 点的极坐标为 曲线的参数方程为 为参数 P 2 3 6 C 2cos 32sin x y 1 写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程 PC 2 若为曲线上的动点 求中点到直线的距离QCPQM cos2 sin10l 的最小值 试题解析 试题解析 1 点的直角坐标 由 得P 3 3 2cos 32sin x y 22 3 4xy 所以曲线的直角坐标方程为 C 22 3 4xy 2 曲线的参数方程为 为参数 直线 的普通方程为C 2cos 32sin x y l 210 xy 设 则 那么点到直线 的距离 2cos 32sin Q 3 cos sin 2 M Ml 试卷第 6 页 总 13 页 22 355 cos2sin1 5sin 5 5 222 1 255 12 d 所以点到直线 的最小距离为 Ml 5 1 2 考点 1 极坐标和直角坐标的互化 2 参数方程和普通方程的互化 3 点到直线的距 离 2 公共点问题 联立求解判别式 直线与圆 公共点问题 联立求解判别式 直线与圆 d 与与 r 7 在直角坐标系中曲线的参数方程为 为参M 2 3cossin 2 3sincos2sin2 x y 数 若以直角坐标系中的原点为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线Ox 的极坐标方程为 N 2 sin 42 t 1 求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程 MN 2 若曲线与曲线有公共点 求实数 的取值范围 MNt 试题解析 试题解析 1 由得3cossinx 222 3cossin 2cos2 3sincos1x 又由得 2 2 3sincos2sin2y 2 2 3sincos2sin2y 所以曲线的普通方程为 即 M 2 1xy 2 1yx 又易知 曲线的普通方程为 2 2x M 2 1yx 2 2x 由得 2 sin 42 t 222 sincos 222 t 所以 所以曲线的直角坐标方程为 sincost Nxyt 2 当直线过点时 与曲线有公共点 此时 从该位置向左下方平行N 2 3 M5t 7 移动直到与曲线相切总有公共点 联立得 M 2 1 xyt yx 2 10 xxt 令 解得 所求实数 的取值14 1 t 14 1 0t 5 4 t 5 5 4 t t 范围是 5 5 4 考点 1 参数方程与普通方程的互化 2 极坐标方程与直角坐标方程的互化 3 直线 与抛物线的位置关系 8 在直角坐标系中 直线 的参数方程为 为参数 在极坐标系 xOy l 3 xat yt t 以原点为极点 以轴非负半轴为极轴 且与直角坐标系取相同的长度单位 Ox xOy 中 圆的方程为 C 4cos 求圆的直角坐标方程 C 若直线 与圆相切 求实数的值 lCa 试题解析 试题解析 由 22222 4cos4 cos4 2 4xyxxy 圆的直角坐标方程为 或 C 22 2 4xy 22 40 xyx 直线 的参数方程为 l 3 xat yt 30 xya 圆的圆心为 半径 C 2 0 C 2r 由直线 与圆相切 得或 lC 2 22 1 3 a a 6 考点 简单曲线的极坐标方程 参数方程化成普通方程 9 在极坐标系中 直线 的极坐标方程为 以极点为原点l 2 sin 4 m mR 试卷第 8 页 总 13 页 极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系 曲线的参数方程为为参xC 3cos sin x y 数 且 0 1 写出直线 的直角坐标方程和曲线的普通方程 lC 2 若直线 与曲线有两个公共点 求的取值范围 lCm 试题解析 试题解析 1 由直线 的极坐标方程得 l2sincoscossin 44 m 即直线 的直角坐标方程为 lyxm 由曲线 的参数方程 为参数 且 C 3cos sin x y 0 得 2 2 22 1 0 1 33 xx yyy 2 设曲线上任意一点为 则C 3cos sin sin3cos2sin 0 3 m 直线 与曲线 有两个公共点 lC 3 2m 考点 极坐标系 参数方程 直角坐标方程的转换 题型三 直线参数方程 题型三 直线参数方程 t 的几何意义 定点到动点的距离 的几何意义 定点到动点的距离 定标图号联 韦达三定理 定标图号联 韦达三定理 12 b xx a 12 c x x a 12 xx a 10 在直角坐标系中 直线 的参数方程为 为参数 在极坐标xOyl 2 1 2 2 5 2 xt yt t 9 系 与直角坐标系取相同的长度单位 且以原点为极点 以轴正半轴为极轴 xOyOx 中 圆的极坐标方程为 C2 5sin 1 求圆的直角坐标方程 C 2 设圆与直线 交于点 若点的坐标为 求 Cl A BP 1 5 PAPB 试题解析 1 由 得 即 2 5sin 22 2 50 xyy 22 5 5xy 2 将 的参数方程代入圆的直角坐标方程 lC 得 22 22 1 5 22 tt 即 2 240tt 由于 故可设 是上述方程的两实根 0 12 t t 所以 12 12 2 4 tt t t 又直线 过点 l 1 5 P 故由上式及 的几何意义得t 1212 3 2PAPBtttt a 考点 1 曲线的极坐标方程和普通方程的转化 2 直线的参数方程的应用 11 在直角坐标系中 过点的直线 的斜率为 1 以坐标原点为极点 xoy 1 2 P l 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线的极坐标方程为 直线 和曲xC 2 sin2cos l 线的交点为 C A B 1 求直线 的参数方程 l 2 求 PA PB 试题解析 由条件知 直线 的倾斜角 l45 试卷第 10 页 总 13 页 所以 2 cossin 2 设点是直线 上的任意一点 点到点的有向向量为 M x ylPMt 则 2 1 2 2 2 2 xt yt 曲线的直角坐标方程为 由此得 C 2 2yx 2 22 2 2 1 22 tt 即 2 6 240tt 设为此方程的两个根 因为 和的交点为 12 t tlC A B 所以分别是点所对应的参数 12 t t A B 由韦达定理得 PAPB 1 2 4t t 考点 简单曲线的极坐标方程 参数方程化成普通方程 12 在直角坐标系中 以原点为极点 以轴正半轴为极轴 圆的极坐标方程xOyOxC 为 4 2cos 4 1 将圆的极坐标方程化为直角坐标方程 C 2 过点作斜率为 1 直线 与圆交于两点 试求的值 2 0 PlC A B 11 PAPB 试题解析 1 由 可得 3 4 2sin 4 4cos4sin 2 4 cos4 sin 22 44xyxy 即 22 2 2 8xy 11 2 过点作斜率为的直线 的参数方程为 为参数 0 2 P3l 1 2 3 2 2 xt yt t 代入得 22 2 2 8xy 2 240tt 设点对应的参数分别为 则 A B 12 t t 12 2tt 12 4t t 由 的几何意义可得 t 12 12 12121 2 11111 2 tttt PAPBttt tt t 注 此题也可直接求两点坐标 再用两点间的距离公式求出 A BPAPB 考点 1 曲线的极坐标方程 参数方程和普通方程的转化 2 直线与圆的位置关系 13 在直角坐标系中 直线 的参数方程为 为参数 在极坐标xOyl 1cos 2sin xt yt t 系 与直角坐标系取相同的长度单位 且以原点为极点 以轴非负半轴为极轴 xOyOx 中 圆的方程为 C6sin 1 求圆的直角坐标方程 C 2 若点 设圆与直线 交于点 求的最小值 1 2PCl A BPAPB 试题解析 试题解析 1 由得 化为直角坐标方程为 6sin 2 6 sin 22 6xyy 即 2 2 39xy 2 将 的参数方程代入圆的直角坐标方程 得lC 2 2 cossin70tt 由 故可设是上述方程的两根 2 2cos2sin4 70 12 t t 所以 又直线过点 故结合 的几何意义得 12 12 2 cossin 7 tt t t 1 2t 试卷第 12 页 总 13 页 2 1212 4 cossin28PAPBtttt a 324sin23242 7 所以的最小值为PAPB 2 7 考点 圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程在求最值中的应用 题型四