高三数学浅谈解析几何中的定比分点全国通用

浅谈解析几何中的定比分点浅谈解析几何中的定比分点 解析几何是我们高中阶段的重要内容 很多同学怕解析几何 说到底是怕解析几何中的计 算 特别是方法用得好不好会直接影响到计算的繁简 而定比分点是我们解析几何中十分重要的 一块内容 无论是课本还是平时的练习题 定比分点内容都占一定的比重 定比分点用得好会简 化较多的计算 定比分点用法较多 大体分为 直接与间接 直接用法有三种 1 定义直接用 采用向量来解决 APPB 例如 在OAB 中 OD 是 AB 边上的高 若 则实数等于 OAa OBb ADAB A B C D 2 aba ba 2 aab ab aba ba aab ab 本题直接采用向量来解答 ADAB ODOAOBOA 1 ODOBOA 0OD AB A 2 aab ab 2 直接用公式 1 AB p xx x 1 AB p yy y 3 直接用向量相等 PABP PABP yyyy xxxx 直接用定义做的题比较少 因为直接用定义 不能较好训练学生的思维 采用间接的题型比 较多 大致有以下几种 一 一 将线段比转化为定比分点将线段比转化为定比分点 例如 已知 且 求适合条件的点 P 坐标 1 4 3 P 2 2 6 P 12 2PPPP 分析 这你种题较简单 解题过程不赘述 这是典型的将线段转化为定比分点来解决 二 将定比分点转化为线段的比 从而用几何法解题 二 将定比分点转化为线段的比 从而用几何法解题 例如 设椭圆 E 的两个焦点是与 且椭圆上存在一 2 2 1 1 x y m 1 0 Fc 2 0 F c0c 2 点 P 使得直线 PF1与直线 PF2垂直 1 求实数 m 的取值范围 2 设 是相应焦点的准l 2 F 线 直线 PF2与 相交于点 Q 若 求直线 PF2方程 l 22 23 QFF P 解 1 2 设 点 P 在椭圆上得 1m 00 P xy 2 2 0 0 1 1 x y m 因为直线 PF1与直线 PF2垂直 所以 00 0 1 yy xcxc cm 由 得 2 0 1m x m 由知 22 23 QFF P 22 22 0 1 23 Q Q m m xcQFQ F m PFP Fcxmx 1 时 无解 2 0 1m x m 2 时 得 m 2 此时 2 0 1m x m 0 6 2 x 2 2 0 F 62 22 P 所以直线 PF2方程为 32 2 yx 本题把 转化为相似比来解决 从而使问题化难为易 22 23 QFF P 三 求某些值或者某些最值时 可转化为定比分点 从而使问题清晰化 解题思路明确 三 求某些值或者某些最值时 可转化为定比分点 从而使问题清晰化 解题思路明确 例如 2006 南通九校联考 已知椭圆 E 的方程为 双曲线 H 22 22 1 xy ab 0ab 的两条渐近线为 过椭圆 E 的右焦点 F 的直线 又 与交于点 P 设与 22 22 1 xy ab 1 l 2 l 1 ll l 2 l 椭圆 E 的两个交点由上至下依次为 A B 1 当 与夹角为 60o 且时 求椭圆 E 的方程 2 求的最大值 1 l 2 l 22 4ab FA AP F P Q P 3 看见这道题很容易想到用第二定义去做 结果发现比值依赖的范围 而的范围需要解方程 A x A x 组 从而使问题复杂化 若使用定比分点则问题变得简洁 解 1 略 2 不妨设 1 l b yx a 1 l a yxc b 即 P a yxc b b yx a 2 a x c ab y c 2 aab cc 设 A 分的比为 则 A 代入 并整理 FP 2 11 aab c cc 22 2 2 2 3 2 e e 而 所以 即 的最大值为 0 1 e 22 2 23 21 FA AP 21 四 定比分点与整体代换思想联系在一起 四 定比分点与整体代换思想联系在一起 例如 双曲线 H 的离心率 e 2 1 求双曲线的渐近线方程 2 若 A B 22 2 1 3 yx a 分别为 上的动点 且 求线段 AB 中点 M 的轨迹方程 1 l 2 l 12 25ABFF 略解 1 渐近线方程 30 xy 2 设 A B 中点 M 3 AA Ayy 3 BB Byy x y 3 2 2 AB AB yy x yy y 22 2 3 2 10 33 AB AB ABAB yyx yyy AByyyy 所以 中点 M 的轨迹方程 22 436300 xy 4 五 直接求定比分点中的五 直接求定比分点中的的值的值 像这种求的题 我们可以直接通过定比分点定义计算得到 也可以用几何办法解决 例如 2004 5 月黄冈市 荆州市联考 已知动点 P 到双曲线的两个焦点 F1 F2的 22 1 23 xy 距离之和为定值 2a 且的最小值为 1 求动点 P 的轨迹方程 5a 12 cosFPF 1 9 2 若已知点 D 0 3 M N 在动点 P 的轨迹上 且 求实数的取值范围 DMDN 解 1 点 P 的轨迹方程为 22 1 94 xy 2 解法一 设 11 M x y 22 N xy 11 OMx y 22 3 DNxy 1122 3 x yxy 12 12 3 xx yy 所以 22 11 22 22 12 12 1 94 1 94 3 xy xy xx yy 2 135 6 y 而 所以 2 2 2 y 135 2 6 1 5 5 上面的解法 属于纯解析几何解法 其实 我们可以用几何办法很快解决 如图 图一 是最大的时候 5 图二 是最小的时候 1 5 六 根据定比分点中六 根据定比分点中的范围求最值或值域 的范围求最值或值域 O D N M O D N M 5 例如 已知 O A B 三点的坐标分别为 O 0 0 A 3 0 B 0 3 点 P 在线段 AB 上 且 则的最大值为 OA OP A 3 B 6 C 9 D 12 解 设 APAB OPOAOBOP 1 11 OPOBOA 11693 696 111111 OA OPOAOBOA AA 所以答案选 C 3 0 1 1 0 3 1 这种题显然是利用的取值范围来求值简单 七 比而不求 转化为向量平行来解决 七 比而不求 转化为向量平行来解决 我们看这样一道题目 看似定比分点 仔细审题 这道题其实可以比而不求 转化为向量平行 来解决 例如 已知椭圆的弦 PB 过其中心 O 点 A 是椭圆的右顶点 满足 22 3 1 44 xy 0PA PB A 1 求点 P 坐标 2 若椭圆上有两点 C D 异于 A B 且2 PAPB 问是否存在实数 使得 说明理由 0 PCPD OA PCPD A ABCD 这道题 很容易想到用定比分点把求出来 从而证明存在 仔细一看 题目并没有要我们求 因而我们可以智取 只需求证与共线即可 AB CD 解 1 点 P 坐标 1 1 2 假设存在 使得 由 知 的平分线垂直 ABCD 0 PCPD OA PCPD A CPD 于 OA 则 不妨设点 P 坐标 1 1 设直线 PC 为 y 1 k x 1 联立方程组 PCPD kk 解得 C 22 3 1 44 1 1 xy yk x 22 22 361321 3131 kkkk kk 又直线 PD 为 y 1 k x 1 易得 D 为 22 22 361321 3131 kkkk kk 6 所以 而 所以 CD AB 22 22 22 22 321321 1 3131 3613613 3131 CD kk