第12讲_方程解应用题

学习改变命运 思考成就未来 联 系电话 62164116 学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第十二讲 教师版 Page 1 of 12 小升初名校真题专项测试小升初名校真题专项测试 方程解应用题方程解应用题 测试时间 测试时间 1515 分钟分钟 姓名姓名 测试成绩测试成绩 1 10 名同学参加数学竞赛 前名同学参加数学竞赛 前 4 名同学平均得分名同学平均得分 150 分 后分 后 6 名同学平均得分比名同学平均得分比 10 人的平均分少人的平均分少 20 分 分 这这 10 名同学的平均分是名同学的平均分是 分分 0606 年清华附中入学测试题 年清华附中入学测试题 解解 设 设 10 人的平均分为人的平均分为 a 分 这样后分 这样后 6 名同学的平均分为名同学的平均分为 a 20 分 所以列方程 分 所以列方程 10a 6 6 a 20a 20 4 150 4 150 解得 解得 a 120 2 某商店想进饼干和巧克力共 某商店想进饼干和巧克力共 444 千克 后又调整了进货量 使饼干增加了千克 后又调整了进货量 使饼干增加了 20 千克 巧克力减少千克 巧克力减少 5 结果总数增加了结果总数增加了 7 千克 那么实际进饼干多少千克 千克 那么实际进饼干多少千克 02 年人大附中入学测试题 年人大附中入学测试题 解解 设饼干为 设饼干为 a 则巧克力为 则巧克力为 444 a 列方程 列方程 a 20 444 a 1 5 444 7 解得 解得 a 184 3 某文具店用 某文具店用 16000 元购进元购进 4 种练习本共种练习本共 6400 本 每本的单价是 甲种本 每本的单价是 甲种 4 元 乙种元 乙种 3 元 丙种元 丙种 2 元 元 丁种丁种 1 4 元 如果甲 丙两种本数相同 乙 丁两种本数也相同 元 如果甲 丙两种本数相同 乙 丁两种本数也相同 那麽丁种练习本共买了那麽丁种练习本共买了那么丁种练习那么丁种练习 本共买了本共买了 本 本 06 年试验中学入学测试题 年试验中学入学测试题 解解 设甲 丙数目各为 设甲 丙数目各为 a 那么乙 丁数目为 那么乙 丁数目为 所以列方程 所以列方程 2 26400a 4a 3 2a 1 4 16000 解得 解得 a 1200 2 26400a 2 26400a 4 4 六年级某班学生中有 六年级某班学生中有的学生年龄为的学生年龄为 1313 岁 有岁 有的学生年龄为的学生年龄为 1212 岁 其余学生年龄为岁 其余学生年龄为 1111 岁 这个岁 这个 16 1 4 3 班学生的平均年龄是班学生的平均年龄是 岁 岁 0303 年圆明杯试题 年圆明杯试题 解解 因为是填空题 所以我们直接设这个班有 因为是填空题 所以我们直接设这个班有 1616 人 计算比较快 所以题目变成了 人 计算比较快 所以题目变成了 1 1 个学生年龄个学生年龄 为为 1313 岁 有岁 有 1212 个学生年龄为个学生年龄为 1212 岁 岁 3 3 个学生学生年龄为个学生学生年龄为 1111 岁 求平均年龄 岁 求平均年龄 13 1 12 12 11 3 16 13 1 12 12 11 3 16 11 87511 875 即平均年龄为 即平均年龄为 11 87511 875 岁 岁 如果是需要写过程的解答题 则可以设这个班的人数为如果是需要写过程的解答题 则可以设这个班的人数为 a a 则平均年龄为 则平均年龄为 11 87511 875 a aaa11 4 3 16 1 112 4 3 13 16 1 5 5 某个五位数加上 某个五位数加上 2020 万并且万并且 3 3 倍以后 其结果正好与该五位数的右端增加一个数字倍以后 其结果正好与该五位数的右端增加一个数字 2 2 的得数相等 这的得数相等 这 个五位数是个五位数是 0606 年西城某重点中学入学测试年西城某重点中学入学测试 题 题 解解 设这个五位数为 设这个五位数为 x x 则由条件 则由条件 x 200000 3 x 200000 3 10 x 210 x 2 解得 解得 x x 8571485714 6 6 大小酒桶共 大小酒桶共 8080 个 每个大桶可装酒个 每个大桶可装酒 2525 千克 每个小桶可装酒千克 每个小桶可装酒 1515 千克 大桶比小桶共多装千克 大桶比小桶共多装 600600 千克 千克 则大酒桶有则大酒桶有 个 个 0202 台湾数学竞赛试题 台湾数学竞赛试题 解 方法一 设有大桶解 方法一 设有大桶 x x 个 于是个 于是 25x25x 15 8015 80 x x 600600 解得 解得 x x 4545 个 个 学习改变命运 思考成就未来 联 系电话 62164116 学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第十二讲 教师版 Page 2 of 12 方法二 鸡兔同笼 假设全是大桶 这样就是方法二 鸡兔同笼 假设全是大桶 这样就是 0 0 个小桶 这样大桶比小桶多装个小桶 这样大桶比小桶多装 80 25 200080 25 2000 千克 千克 而现在只有多装了而现在只有多装了 600600 千克 所以多千克 所以多 2000 600 14002000 600 1400 千克 每个大桶变成小桶大桶比小桶多装的就减少千克 每个大桶变成小桶大桶比小桶多装的就减少 25 15 4025 15 40 千克 所以有千克 所以有 1400 40 351400 40 35 个小桶 所以大桶的数目为个小桶 所以大桶的数目为 4545 个 个 7 7 某自来水公司水费计算办法如下 若每户每月用水不超过 某自来水公司水费计算办法如下 若每户每月用水不超过 5 5 立方米 则每立方米收费立方米 则每立方米收费 1 51 5 元 若每户元 若每户 每月用水超过每月用水超过 5 5 立方米 则超出部分每立方米收取较高的定额费用 立方米 则超出部分每立方米收取较高的定额费用 1 1 月份 张家用水量是李家用水量的月份 张家用水量是李家用水量的 张家当月水费是 张家当月水费是 17 517 5 元 李家当月水费元 李家当月水费 27 527 5 元 超出元 超出 5 5 立方米的部分每立方米收费多少元 立方米的部分每立方米收费多少元 3 2 0606 年某中学入学测试题 年某中学入学测试题 解解 设出 设出 5 5 立方米的部分每立方米收费立方米的部分每立方米收费 X X 17 5 5 1 517 5 5 1 5 X 5 X 5 27 5 5 1 527 5 5 1 5 X 5 X 5 2 32 3 解得 解得 X 2X 2 学习改变命运 思考成就未来 联 系电话 62164116 学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第十二讲 教师版 Page 3 of 12 第十二讲第十二讲 小升初名校真题专项测试小升初名校真题专项测试 列方程解应用题列方程解应用题 引言 应用题是数学和实际联系最密切的问题 它的内容丰富 形式多样 是培养学生分析能力和解决引言 应用题是数学和实际联系最密切的问题 它的内容丰富 形式多样 是培养学生分析能力和解决 问题能力的重要内容 列方程解应用题就是常用的方法之一 问题能力的重要内容 列方程解应用题就是常用的方法之一 列方程解应用题的一般步骤是 列方程解应用题的一般步骤是 1 审题 审题 2 设未知数 一般 设未知数 一般 问啥设啥问啥设啥 3 找出相等关系 列方程 找出相等关系 列方程 4 解方程 检验作答 解方程 检验作答 其中列方程是关键的一步 其实本质是将同一个量或等量用两种方式表达出来 而要建立这种相等关系其中列方程是关键的一步 其实本质是将同一个量或等量用两种方式表达出来 而要建立这种相等关系 必须对题目作细致分析 有些相等关系比较隐蔽 必要时要应用图表或图形进行直观分析 必须对题目作细致分析 有些相等关系比较隐蔽 必要时要应用图表或图形进行直观分析 典型题目解析典型题目解析 例例 1 1 商店在销售二种售价一样的商品时 其中一件盈利 商店在销售二种售价一样的商品时 其中一件盈利 25 25 另一件亏损 另一件亏损 25 25 卖这两件 卖这两件 商品总的是盈利还是亏损商品总的是盈利还是亏损 解解 设这两件商品售价都为 设这两件商品售价都为 x x 元元 因为进价为因为进价为 x 1 25 x 1 25 4 5x 4 3x 32 15x x 1 25 x 1 25 4 5x 4 3x 32 15x 售价为 售价为 x x 2xx x 2x 32 15x 2x32 15x 2x 即进价即进价 售价售价 所以亏损所以亏损 例例 2 2 高中学生的人数是初中学生人数的高中学生的人数是初中学生人数的 5 65 6 高中毕业生的人数是初中毕业生人数的 高中毕业生的人数是初中毕业生人数的 12 1712 17 高 初中的毕业生离校后 高 初中留下的人数都是 高 初中的毕业生离校后 高 初中留下的人数都是 520520 那么 高 初毕业生共有多少人 那么 高 初毕业生共有多少人 思思 路路 要想求出高 初中毕业生共有的人数 可以先分别求出高中毕业生与初中毕业生各是多 要想求出高 初中毕业生共有的人数 可以先分别求出高中毕业生与初中毕业生各是多 少 已知条件中高中毕业生是初中毕业生人数的少 已知条件中高中毕业生是初中毕业生人数的 12 1712 17 又知高 初中毕业生离校后都留下 又知高 初中毕业生离校后都留下 520520 人 如果人 如果 设初中毕业生为设初中毕业生为 x x 人 则原初中生有人 则原初中生有 x 520 x 520 人 高中毕业生为 人 高中毕业生为 12 1712 17 x x 人 原高中生有 人 原高中生有 12 17x12 17x 520520 人 根据高中学生人数是初中学生人数的 人 根据高中学生人数是初中学生人数的 5 65 6 找出等量关系 找出等量关系 解解 设初中毕业生有 设初中毕业生有 x x 人 依题意 有人 依题意 有 x x 520 520 x x 520 520 17 12 6 5 x x 102 13 6 520 x x 680680 高中毕业生共有高中毕业生共有x x 680680 480 480 人人 17 12 17 12 高 初中毕业生共有 高 初中毕业生共有 680 480 1160 680 480 1160 人人 例例 3 3 某商店原来将一批苹果按某商店原来将一批苹果按 100 100 的利润 即利润是成本的的利润 即利润是成本的 100 100 定价出售 由于定价 定价出售 由于定价 过高 无人购买 后来不得不按过高 无人购买 后来不得不按 38 38 的利润重新定价 这样售出了其中的的利润重新定价 这样售出了其中的 40 40 此时 因害怕剩余水果腐 此时 因害怕剩余水果腐 建议老师要求本节都练习用方程来求解 编者的几个班级学生列方程都是最大的建议老师要求本节都练习用方程来求解 编者的几个班级学生列方程都是最大的 薄弱点 应该其他班级也是差不多 所以建议一题多解得前提下主要练方程思想 薄弱点 应该其他班级也是差不多 所以建议一题多解得前提下主要练方程思想 学习改变命运 思考成就未来 联 系电话 62164116 学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第十二讲 教师版 Page 4 of 12 烂变质 不得不再次降价 售出了剩余的全部水果 结果 实际获得的总利润是原定利润的烂变质 不得不再次降价 售出了剩余的全部水果 结果 实际获得的总利润是原定利润的 30 2 30 2 那么 那么 第二次降价后的人格是原定价的百分之多少第二次降价后的人格是原定价的百分之多少第二次降价后的价格是原定价的百分之多少第二次降价后的价格是原定价的百分之多少 方法一方法一 列方程 列方程 思思 路路 根据 根据 实际获得的总利润是原定利润的实际获得的总利润是原定利润的 30 2 30 2 列方程 列方程 解 设成本为单位解 设成本为单位 1 1 原定价是按 原定价是按 100 100 的利润定价的 则原定价是的利润定价的 则原定价是 200 200 第一次降价是按第一次降价是按 38 38 的利润定价的 则第一次降价后的定价是的利润定价的 则第一次降价后的定价是 138 138 设第二次降价是按设第二次降价是按 x x 的利润定价的 则第二次降价后的定价是的利润定价的 则第二次降价后的定价是 x 1x 1 根据题意列方程 根据题意列方程 38 40 x 1 40 30 2 138 40 x 1 40 30 2 1 解得 解得 x 25 x 25 则第二次降价后的定价是则第二次降价后的定价是 25 1 125 25 1 125 125 200 62 5 125 200 62 5 所以第二次降价后的价格是原定价的所以第二次降价后的价格是原定价的 62 5 62 5 方法二方法二 思思 路路 设份数 通过利润关系求解 设份数 通过利润关系求解 解 设成本为解 设成本为 100100 总共有货物 总共有货物 100100 第一次降价后卖出 第一次降价后卖出 40 138 552040 138 5520 最后总利润 最后总利润 100 100 130 2 13020100 100 130 2 13020 第二次降价后价格 第二次降价后价格 13020 552013020 5520 60 125 60 125 所以第二次降价后的价格是原定价 所以第二次降价后的价格是原定价 125 100 100 62 5 125 100 100 62 5 总总 结结 此题也可以通过设未知数来求解 经济问题可以大胆的设未知数 一般到最后跟未知数都没 此题也可以通过设未知数来求解 经济问题可以大胆的设未知数 一般到最后跟未知数都没 有关系 有关系 例例 4 4 参加迎春杯数学竞赛的人数共有参加迎春杯数学竞赛的人数共有 20002000 多人 其中光明区占多人 其中光明区占 1 31 3 中心区占 中心区占 2 72 7 朝 朝 阳区占阳区占 1 51 5 剩下的全是远郊区的学生 比赛结果 光明区有 剩下的全是远郊区的学生 比赛结果 光明区有 1 241 24 的学生得奖 中心区有的学生得奖 中心区有 1 161 16 的学生得的学生得 奖 朝阳区有奖 朝阳区有 1 181 18 的学生得奖 全部获奖者的的学生得奖 全部获奖者的 1 71 7 是远郊区的学生 那么参赛学生有多少名 获奖学生是远郊区的学生 那么参赛学生有多少名 获奖学生 有多少名 有多少名 思思 路路 通过整除性质和估算求解 通过整除性质和估算求解 解 获奖人数占总人数的比例是 光明区 解 获奖人数占总人数的比例是 光明区 1 31 3 1 241 24 1 9 81 9 8 中心区 中心区 2 72 7 1 161 16 1 9 8 1 7 81 7 8 朝阳区 朝阳区 1 51 5 1 181 18 1 5 2 91 5 2 9 1 7 8 1 5 2 9 人数是整数 总数就是人数是整数 总数就是 9 89 8 7 87 8 5 2 95 2 9 的公倍数 最小公倍数是的公倍数 最小公倍数是 25202520 符合人数 符合人数 20002000 多人 多人 获奖人数获奖人数 2525 2525 1 9 81 9 8 1 7 81 7 8 1 5 2 91 5 2 9 1 1 71 1 7 126 126 名 名 1 9 8 1 7 8 1 5 2 9 答 参赛学生有答 参赛学生有 25202520 名 获奖学生有名 获奖学生有 126126 名 名 拓拓 展展 某中学初中共 某中学初中共 780780 人 该校去数学奥校学习的学生中 恰好有人 该校去数学奥校学习的学生中 恰好有 8 178 17 是初一学生 有是初一学生 有 9 239 23 是初是初 二学生 那么该校初中学生中 没有进奥校学习的有多少人 二学生 那么该校初中学生中 没有进奥校学习的有多少人 例例 5 5 某商品某商品 7676 件 出售给件 出售给 3333 位顾客 每位顾客最多买位顾客 每位顾客最多买 3 3 件 如果买件 如果买 1 1 件按原定价 买件按原定价 买 2 2 件降价件降价 10 10 买 买 3 3 件降价件降价 20 20 最后结算 平均每件恰好按原定价的 最后结算 平均每件恰好按原定价的 85 85 出售 那么买出售 那么买 3 3 件的顾客有多件的顾客有多 少人 少人 学习改变命运 思考成就未来 联 系电话 62164116 学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第十二讲 教师版 Page 5 of 12 方法一方法一 不定方程 不定方程 思思 路路 同过已知条件我们可以求出原定的总价同过已知条件我们可以求出原定的总价通过已知条件我们可以求出原定的总价通过已知条件我们可以求出原定的总价 而后来时总 而后来时总 价的价的 85 85 这样减少的就是打折减少的 这样减少的就是打折减少的 解 不妨设每件原价解 不妨设每件原价 100100 元 全部都是买元 全部都是买 1 1 件的 共计件的 共计 100 76 7600100 76 7600 元 实际是元 实际是 7600 85 64607600 85 6460 元 元 少少 11401140 元 买元 买 2 2 件少件少 200 10 20200 10 20 元 买元 买 3 3 件少件少 300 20 60300 20 60 元 元 设买设买 2 2 件的件的 M M 人 买人 买 3 3 件的件的 N N 人 人 有 有 20M 60N 114020M 60N 1140 得 得 M 3N 57 M 3N 57 根据倍数原理 根据倍数原理 3N3N 是是 3 3 的倍数 这样的倍数 这样 M M 也为也为 3 3 的倍数 的倍数 N N 最大为最大为 1919 人人 N 19N 19 时 时 M 0 M 0 这样买这样买 1 1 件的件的 1414 人 共有人 共有 19 3 14 1 7119 3 14 1 71 件 件 比比 7676 少少 5 5 件 件 N 18N 18 时 时 M 3 M 3 这样买这样买 1 1 件的件的 1212 人 共有人 共有 18 3 3 2 12 1 7218 3 3 2 12 1 72 件 比件 比 7676 少少 4 4 件 件 N 17N 17 时 时 M 6 M 6 这样买这样买 1 1 件的件的 1010 人 共有人 共有 17 3 6 2 10 1 7317 3 6 2 10 1 73 件 比件 比 7676 少少 3 3 件 件 这样当这样当 N 14N 14 时 符合条件 时 符合条件 答 买答 买 3 3 件的有件的有 1414 人 人 方法二方法二 思思 路路 解 平均每件恰好按原定价的解 平均每件恰好按原定价的 85 85 那么 有一个买 那么 有一个买 3 3 件的 就比平均多降了件的 就比平均多降了 3 3 85 80 85 80 15 15 正 正 好可以和好可以和 1 1 个买一件的平衡 因为买一件高出平均个买一件的平衡 因为买一件高出平均 1 85 15 1 85 15 那么 这样的 那么 这样的 2 2 个人可以为一组 件数为个人可以为一组 件数为 4 4 件 买件 买 2 2 件降价件降价 10 10 买 买 3 3 件降价件降价 20 20 分别比平均高 分别比平均高 5 5 和底和底 5 5 即 即 1 1 件降价件降价 10 10 的和的和 1 1 件降价件降价 20 20 的的 也正好是平均价 也即也正好是平均价 也即 2 2 个买个买 3 3 件的和件的和 3 3 个买个买 2 2 件的也达成平衡 那么 这样的件的也达成平衡 那么 这样的 5 5 个人也可以为一组 个人也可以为一组 件数为件数为 1212 件 件 假设假设 7676 件都有第一组构成 则 件都有第一组构成 则 76 4 1976 4 19 组 共有组 共有 19 2 3819 2 38 人 与实际相差人 与实际相差 38 33 538 33 5 人 因此其中必人 因此其中必 有第二组的人 第一组每有第二组的人 第一组每 1212 件和第二组每件和第二组每 1212 件相差件相差 2 2 12 412 4 5 1 5 1 人 因此需要用人 因此需要用 5 5 个第二组去换个第二组去换 3 5 153 5 15 个第一组 所以 实际共有第一组个第一组 所以 实际共有第一组 19 15 419 15 4 组 第二组组 第二组 5 5 组 第一组每组有组 第一组每组有 1 1 个买个买 3 3 件的 第二件的 第二 组每组有组每组有 2 2 个买个买 3 3 件的 所以 买件的 所以 买 3 3 件的共有件的共有 4 1 5 2 144 1 5 2 14 人 人 方法三方法三 列方程 列方程 思思 路路 解 设买一件商品的有解 设买一件商品的有 x x 人 买两件商品的有人 买两件商品的有 y y 人 买三件商品的有人 买三件商品的有 z z 人 人 根据题意列方程组 根据题意列方程组 x y z 33x y z 33 x 2y 3z 76x 2y 3z 76 x 100 2y 1 10 3z 1 20 76 85 x 100 2y 1 10 3z 1 20 76 85 解得 解得 x 4x 4 y 15y 15 z 14z 14 所以买三件商品的有所以买三件商品的有 1414 人 人 总总 结结 三原一次方程思想最简单 但要求学生先前接触 三原一次方程思想最简单 但要求学生先前接触 例例 6 6 甲容器中有纯酒精 甲容器中有纯酒精 1111 立方分米 乙容器中有水立方分米 乙容器中有水 1515 立方分米 第一次将甲容容器中立方分米 第一次将甲容容器中 的一部分纯酒精倒入乙容器 使酒精与水混合 第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器 这样甲的一部分纯酒精倒入乙容器 使酒精与水混合 第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器 这样甲 学习改变命运 思考成就未来 联 系电话 62164116 学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第十二讲 教师版 Page 6 of 12 容器中的纯酒精含量为容器中的纯酒精含量为 62 5 62 5 乙容器中的纯酒精含量为 乙容器中的纯酒精含量为 25 25 那么 第二次从乙容器倒入甲容器的混合 那么 第二次从乙容器倒入甲容器的混合 液是多少立方分米 液是多少立方分米 方法一方法一 倒三角倒三角 思思 路路 浓度问题 知道浓度 所以考虑倒三角的运用 浓度问题 知道浓度 所以考虑倒三角的运用 解 将两种容液混合 则两种容液的浓度与混合后容液的浓度差的比是两种容液容量的反比 解 将两种容液混合 则两种容液的浓度与混合后容液的浓度差的比是两种容液容量的反比 第一次将容器中的一部分纯酒精倒入乙容器中 混合后的浓度是第一次将容器中的一部分纯酒精倒入乙容器中 混合后的浓度是 25 25 原来甲容器中的浓度是 原来甲容器中的浓度是 100 100 乙 乙 容器中的浓度是容器中的浓度是 0 0 则从甲容器中倒入乙容器中的容量是 则从甲容器中倒入乙容器中的容量是 1515 25 025 0 100 25 100 25 5 5 立方分米 立方分米 甲容器中还的甲容器中还的 11 5 11 5 9 96 6 立方分米 乙容器是有立方分米 乙容器是有 15 5 2015 5 20 立方分米 立方分米 第二次将乙容器中的一部分倒入甲容器中 混合后的浓度是第二次将乙容器中的一部分倒入甲容器中 混合后的浓度是 62 5 62 5 则从乙容器倒入甲容器中的容量是则从乙容器倒入甲容器中的容量是 9 96 6 62 5 25 62 5 25 100 62 5 100 62 5 9 96 6 立方分米 立方分米 所以第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是所以第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是 9 96 6 立方分米 立方分米 方法二方法二 思思 路路 解 乙容器中的纯酒精含量为解 乙容器中的纯酒精含量为 25 25 可知第一次从甲倒入乙 可知第一次从甲倒入乙 5 5 立方分米的酒精 这时甲剩有酒精立方分米的酒精 这时甲剩有酒精 11 11 5 65 6 100 62 5100 62 5 62 5 2562 5 25 1 1 1 1 可知第二次从乙倒入甲的同样是可知第二次从乙倒入甲的同样是 6 6 立方分米 立方分米 例例 7 7 某一出租车的计价方式为 起价是 某一出租车的计价方式为 起价是 2 2 千米千米 5 5 元 往后每增加元 往后每增加 1 1 千米 最后不足千米 最后不足 1 1 千千 米按米按 1 1 千米计算 增加千米计算 增加 2 2 元 现在从甲地到乙地乘出租车共支出车费元 现在从甲地到乙地乘出租车共支出车费 3535 元 如果从甲地到乙先步行元 如果从甲地到乙先步行 800800 米 然后再乘出租车也要米 然后再乘出租车也要 3535 元 问从甲 乙两地中点乘出租车到乙地需支付多少元钱 元 问从甲 乙两地中点乘出租车到乙地需支付多少元钱 方方 法法 思思 路路 从题目所给的四个条件可推得甲 乙两间距离在怎样的范围内 欲求中点至乙地的出租车费 从题目所给的四个条件可推得甲 乙两间距离在怎样的范围内 欲求中点至乙地的出租车费 便轻而易举了便轻而易举了 解 解 由甲到乙地出租车费由甲到乙地出租车费 3535 元 知两地间的距离应不多于 元 知两地间的距离应不多于 1 351 35 5 2 2 17 5 2 2 17 千米千米 又先步行又先步行 800800 米 仍需出租费米 仍需出租费 3535 元 所以两地间距离应不少于元 所以两地间距离应不少于 16 0 816 0 8 16 8 16 8 千米千米 中点到乙地距离应在中点到乙地距离应在 16 8 216 8 2 兰兰 8 4 8 4 千米千米 与与 17 2 8 5 17 2 8 5 千米千米 之间之间 故需出租车费 故需出租车费 5 2 95 2 9 2 19 2 19 元元 例例 8 8 要生产枝节种产品要生产枝节种产品要生产某种产品要生产某种产品 100100 吨 需用吨 需用 A A 种原料种原料 200200 吨 或吨 或 B B 种原料种原料 200 5200 5 吨 或吨 或 C C 种原料种原料 195 5195 5 吨 或吨 或 D D 种原料种原料 192192 吨 或吨 或 E E 原料原料 180180 吨 现知用吨 现知用 A A 种原料及另外一种 指种原料及另外一种 指 B B C C D D E E 中的一种 原料共中的一种 原料共 1919 吨生产此种产品吨生产此种产品 1010 吨 试分析所用另外一种原料是哪一种 这两种原吨 试分析所用另外一种原料是哪一种 这两种原 料各用了多少吨 料各用了多少吨 方法一方法一 思思 路路 根据配制率求解 根据配制率求解 解 配制比如下 解 配制比如下 A A 100100 200 200200 200 400400 B B 100100 200 5 200200 5 200 401401 学习改变命运 思考成就未来 联 系电话 62164116 学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第十二讲 教师版 Page 7 of 12 C C 100100 195 5 200195 5 200 391391 D D 100100 192 200192 200 384384 E E 100100 180 200180 200 360360 如果如果 1919 全来自全来自 A A 则可配出则可配出 19 1 2 9 519 1 2 9 5 比实际少 比实际少 10 9 5 0 510 9 5 0 5 这样我们可以说 这样我们可以说 1919 吨中必须有一种大于吨中必须有一种大于 A A 的配制率才行 所以不能是的配制率才行 所以不能是 B B 设另外有设另外有 M AM A 有有 19 M 19 M 下面分下面分 C C D D E E 来讨论 来讨论 C C 19 M 19 M 1 2 M 200 391 10 1 2 M 200 391 10 M 391 9M 391 9 大于 大于 1919 不符 不符 D D 19 M 19 M 1 2 M 200 384 10 1 2 M 200 384 10 M 384 16M 384 16 大于 大于 1919 不符 不符 E E 19 M 19 M 1 2 M 200 360 10 1 2 M 200 360 10 M 360 40 9M 360 40 9 可以 可以 计 计 E E 有有 9 9 吨 吨 A A 有有 19 9 1019 9 10 吨 吨 方法二方法二 思思 路路 鸡兔同笼 鸡兔同笼 解 要生产某种产品解 要生产某种产品 1010 吨 单用一种原料 需要吨 单用一种原料 需要 A A 种种 2020 吨 吨 B B 种种 20 0520 05 吨 吨 C C 种种 19 5519 55 吨 吨 E E 种种 1818 吨 吨 现用现用 A A 种和另一种原料种和另一种原料 1919 吨生产此种产品吨生产此种产品 1010 吨 则只能选用吨 则只能选用 A A 种和种和 E E 种原料 种原料 如果全用如果全用 A A 种原料 则可生产此种产品种原料 则可生产此种产品 19 20 10 9 519 20 10 9 5 吨 与吨 与 1010 吨差吨差 10 9 5 0 510 9 5 0 5 吨 吨 因每吨因每吨 A A 种原料比每吨种原料比每吨 E E 种原料少生产此种产品种原料少生产此种产品 100 180 100 200 1 18100 180 100 200 1 18 吨 吨 则实际用则实际用 E E 种原料种原料 0 5 1 18 90 5 1 18 9 吨 吨 实际用实际用 A A 种原料种原料 19 9 1019 9 10 吨 吨 例例 9 9 4 4 只同样的瓶子内分别装有一定数量的油 每瓶和其他各瓶分别合称一次 所得只同样的瓶子内分别装有一定数量的油 每瓶和其他各瓶分别合称一次 所得 重量的千克数如下 重量的千克数如下 8 8 9 9 1010 1111 1212 1313 已知这 已知这 4 4 只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数 只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数 那么最重的两瓶内共有油多少千克 那么最重的两瓶内共有油多少千克 方法一方法一 思思 路路 因为每个都合在一起称过一次 所以每只瓶子都被称过 因为每个都合在一起称过一次 所以每只瓶子都被称过 3 3 次 从而可以求出四只瓶子的总重次 从而可以求出四只瓶子的总重 量量 再根据空瓶总质量与油的总质量均为质数 确定油与瓶应分别重多少再根据空瓶总质量与油的总质量均为质数 确定油与瓶应分别重多少 解 解 四个瓶子总质量为 四个瓶子总质量为 8 9 10 11 12 13 3 63 3 21 8 9 10 11 12 13 3 63 3 21 千克千克 由于四个空瓶与油的总质量均为质数 所以一个为由于四个空瓶与油的总质量均为质数 所以一个为 2 2 千克 另一个为千克 另一个为 1919 千克千克 因为因为 8 13 9 12 10 11 21 8 13 9 12 10 11 21 千克千克 所以最重的两瓶与最轻的两个瓶分别重 所以最重的两瓶与最轻的两个瓶分别重 1313 千克与千克与 8 8 千克千克 13 13 8 5 8 5 千克千克 这表明最重的两瓶比最轻的两瓶重 这表明最重的两瓶比最轻的两瓶重 5 5 千克 瓶子都相同 也就是瓶内油的质量之差为千克 瓶子都相同 也就是瓶内油的质量之差为 5 5 千千 克克 油的总重量多于油的总重量多于 5 5 千克 这样一来瓶子总重千克 这样一来瓶子总重 2 2 千克 油总重千克 油总重 1919 千克 两个空瓶共重千克 两个空瓶共重 1 1 千克 千克 最重的两瓶内有油最重的两瓶内有油 1313 1 12 1 12 千克千克 方法二方法二 思思 路路 通过 通过 已知这已知这 4 4 只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数 分析质数的可能性 分析质数的可能性 解 全部重量解 全部重量 最轻的最轻的 2 2 个个 最重的最重的 2 2 个个 8 13 21 8 13 21 因为因为 已知这已知这 4 4 只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数 而而 21 2 1921 2 19 是唯一情况 是唯一情况 这样这样 4 4 个空瓶重个空瓶重 2 2 千克 每个重千克 每个重 2 4 0 52 4 0 5 千克 最重的两瓶内共有油 千克 最重的两瓶内共有油 13 0 5 2 1213 0 5 2 12 千克 千克 总总 结结 像这种称很多次的时候一定要注意总重量一般是可求的 通过总重量再求解来的相对简单 像这种称很多次的时候一定要注意总重量一般是可求的 通过总重量再求解来的相对简单 学习改变命运 思考成就未来 联 系电话 62164116 学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第十二讲 教师版 Page 8 of 12 例例 10 10 有 有 4 4 位朋友的体重都是整千克数 他们两两合称体重 共称了位朋友的体重都是整千克数 他们两两合称体重 共称了 5 5 次 称得的次 称得的 千克数分别是千克数分别是 9999 113113 125125 130130 144144 其中有两人没有一起称过 那么这两人中体重较重的人的体重 其中有两人没有一起称过 那么这两人中体重较重的人的体重 是多少千克 是多少千克 方法一方法一 思思 路路 根据总重量找关系 根据总重量找关系 解 解 如果每两人都合称 则共称如果每两人都合称 则共称 6 6 次 次 6 6 次所称的总重是这四个人的总体重的次所称的总重是这四个人的总体重的 3 3 倍 倍 这这 6 6 次的体重数可分成三组 每组是这四个人的总体重 次的体重数可分成三组 每组是这四个人的总体重 实际只称了实际只称了 5 5 次 则其中必有两组体重数的和相等 且等于这四个人的总体重 这个总体重减去另一个次 则其中必有两组体重数的和相等 且等于这四个人的总体重 这个总体重减去另一个 数就是没有合称的两个人的体重之和 数就是没有合称的两个人的体重之和 99 144 113 130 24399 144 113 130 243 则这个人的总体重是 则这个人的总体重是 243243 千克 千克 没有合称的两个人的体重和是没有合称的两个人的体重和是 243 125 118243 125 118 千克 千克 设这四个人的体重分别是设这四个人的体重分别是 A A B B C C D D 得方程组 得方程组 A B 99A B 99 C D 144C D 144 A C 113A C 113 B D 130B D 130 A D 125A D 125 B C 118B C 118 解得 解得 A 47A 47 B 52B 52 C 66C 66 D 78D 78 B B C C 是没有合称的两个人的体重 较重的一个人的体重是是没有合称的两个人的体重 较重的一个人的体重是 6666 千克 千克 方法二方法二 思思 路路 解 已知解 已知 5 5 个数的和是个数的和是 611611 加上未称的 加上未称的 M 4M 4 人共重 人共重 611 M 3611 M 3 1 1 当 当 M M 最轻时 最轻时 611 M 3 M 144611 M 3 M 144 M 89 5M 89 5 不是整数 不符 不是整数 不符 2 2 当 当 M M 最重时 最重时 611 M 3 99 M611 M 3 99 M M 157M 157 这样 这样 4 4 人共重人共重 99 157 25699 157 256 256 113 143256 113 143 与 与 144144 不符 综不符 综 上所述 上所述 M M 为中间一个数 为中间一个数 611 M 3 99 144611 M 3 99 144 M 118M 118 设有 设有 A A B B C C D D 则则 A B 99A B 99 C D 144C D 144 A C 113A C 113 B D 130B D 130 得 得 C B 14C B 14 根据两数和 差奇偶同性 所以 根据两数和 差奇偶同性 所以 C B 118C B 118 由由 C B 14C B 14 C B 118C B 118 得得 C 118 14 2 66C 118 14 2 66 例例 11 11 甲 乙两人参加同一场考试 又同时在上午甲 乙两人参加同一场考试 又同时在上午 1010 时离开考场 同时午餐 但甲说 时离开考场 同时午餐 但甲说 我是在午饭前我是在午饭前 2 2 小时与考试开始后小时与考试开始后 1 51 5 小时这两个时间中较早的一时间离开考场的 小时这两个时间中较早的一时间离开考场的 乙说 乙说 我是在我是在 午饭前午饭前 2 52 5 小时与考试后小时与考试后 1 1 小时这两个时间中较晚的一个时间离开考场的 小时这两个时间中较晚的一个时间离开考场的 求考试开始和午饭开始的时求考试开始和午饭开始的时 间 间 方方 法法 思思 路路 解 甲 乙两人参加同一场考试 又同时在上午解 甲 乙两人参加同一场考试 又同时在上午 1010 时离开考场 同时午餐 时离开考场 同时午餐 甲说 甲说 我是在午饭前我是在午饭前 2 2 小时与考试开始后小时与考试开始后 1 51 5 小时这两个时间中较早的一个时间离开考场的 小时这两个时间中较早的一个时间离开考场的 由甲的话可知午饭可能是由甲的话可知午饭可能是 1212 时 考试开考时间可能是时 考试开考时间可能是 8 8 时半 时半 乙说 乙说 我是在午饭前我是在午饭前 2 52 5 小时与考试后小时与考试后 1 1 小时这两个时间中较晚的一个时间离开考场的 小时这两个时间中较晚的一个时间离开考场的 由乙的话可知午饭可能是由乙的话可知午饭可能是 1212 时半 考试开考时间可能是时半 考试开考时间可能是 9 9 时 时 学习改变命运 思考成就未来 联 系电话 62164116 学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第十二讲 教师版 Page 9 of 12 如果午饭是如果午饭是 1212 时 由乙的话可知 午饭前时 由乙的话可知 午饭前 2 52 5 小时是小时是 9 9 时半 比实际离开的时半 比实际离开的 1010 时早 则乙是开考后时早 则乙是开考后 1 1 小时离开的 开考时间是小时离开的 开考时间是 9 9 时 符合甲说的话 时 符合甲说的话 如果开考时间是如果开考时间是 8 8 时半 由乙的话可知 考试后时半 由乙的话可知 考试后 1 1 小时是小时是 9 9 时半 比实际离开的时半 比实际离开的 1010 时早 则乙是午饭前时早 则乙是午饭前 2 52 5 小时离开的 午饭时间是小时离开的 午饭时间是 1212 时半 符合甲说的话 时半 符合甲说的话 所本题有两个答案 所本题有两个答案 1 1 开考时间是开考时间是 8 8 时半 午饭时间是时半 午饭时间是 1212 时半 时半 开考时间是开考时间是 9 9 时 午饭时间是时 午饭时间是 1212 时 时 例例 12 12 三角形 三角形 ABCABC 被分割成被分割成 6 6 个大小不等的三角形 如图 求这三角形的总面积 个大小不等的三角形 如图 求这三角形的总面积 解解 设其他两个小三角形的面积 设其他两个小三角形的面积 分别为分别为 X X 和和 Y Y 则 则 解得解得 X 120X 120 Y 140Y 140 总面积为总面积为 160 60 70 80 120 140 630160 60 70 80 120 140 630 例例 13 13 购买 购买 1010 种货物 种货物 A1A1 A2A2 A3A3 A10A10 如果在这如果在这 1010 种中购买的件数依次是种中购买的件数依次是 1 1 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 1111 件 共需人民币件 共需人民币 19921992 元 如果购买的件数依次是元 如果购买的件数依次是 1 1 5 5 7 7 9 9 1111 1313 1515 1717 1919 2121 件 共需人民币件 共需人民币 30003000 元 那么在这元 那么在这 1010 种货物中各买一件时 共种货物中各买一件时 共 需人民币多少元 需人民币多少元 思思 路路 题中给出了十种货物以及两种组合搭配的价格 显然不可能求出每种货物的单价 因此我们 题中给出了十种货物以及两种组合搭配的价格 显然不可能求出每种货物的单价 因此我们 需从所求的十种货物各一样为整体出发 观察数字的特点来求得答案需从所求的十种货物各一样为整体出发 观察数字的特点来求得答案 解 设十种货物的单价分别为解 设十种货物的单价分别为 x1x1 x2x2 x3x3 x4 x10 x4 x10 元 依题意 有元 依题意 有 2 3000211917151311975 1 199211109876542 10987654321 10987654321 xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx 将将 1 1 式乘以式乘以 2 2 得 得 398422201816141210862 10987654321 xxxxxxxxxx 3 3 3 3 式减式减 2 2 式 得式 得 10987654321 xxxxxxxxxx 984 984 课外知识课外知识 学习改变命运 思考成就未来 联 系电话 62164116 学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级面向人大附班 第十二讲 教师版 Page 10 of 12 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 哥德巴赫 哥德巴赫 GoldbachGoldbach C C 1690 3 18 1764 11 201690 3 18 1764 11 20 是德国数学家 是德国数学家 在在 17421742 年年 6 6 月月 7 7 日给欧拉的信日给欧拉的信 中 哥德巴赫提出了一个命题 任何大于中 哥德巴赫提出了一个命题 任何大于 5 5 的奇数都是三个素数之和 的奇数都是三个素数之和 但这怎样证明呢 虽然做过的每一次试验都得到了上述结果 但是不可能把所有的奇数都拿来检验 但这怎样证明呢 虽然做过的每一次试验都得到了上述结果 但是不可能把所有的奇数都拿来检验 需要的是一般的证明 而不是个别的检验 需要的是一般的证明 而不是个别的检验 欧拉回信又提出了另一个命题 任何一个大于欧拉回信又提出了另一个命题 任何一个大于 2 2 的偶数都是两个素数之和