内蒙古包头市2012届高三数学第三次模拟考试 理（2012包头三模）

1 绝密 启用前 内蒙古包头市内蒙古包头市 20122012 届高三第三次模拟考试届高三第三次模拟考试 理理 科科 数数 学学 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 其中第 卷第 22 24 题为 选考题 其它题为必考题 考生作答时 将答案答在答题卡上 在本试卷上答题无效 考试 结束后 将本试卷和答题卡一并交回 注意事项 1 答题前 考生务必先将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 认真核对条形码上的 姓名 准考证号 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上 2 选择题答案使用 2B 铅笔填涂 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案的标号 非选择题答案使用 0 5 毫米的黑色中性 签字 笔或碳素笔书写 字体工整 笔迹清楚 3 请按照题号在各题的答题区域 黑色线框 内作答 超出答题区域书写的答案无效 4 保持卡面清洁 不折叠 不破损 5 做选考题时 考生按照题目要求作答 并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑 第 I 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 若复数 a R i为虚数单位 是纯虚数 则实数的值为 3 1 2 ai i a A 2 B 4 C 6 D 6 2 某篮球运动员在一个赛季的 40 场比赛中的得分的 茎叶图如右图所示 则中位数与众数分别为 A 23 21B 23 23 C 23 25D 25 25 3 已知 m n为直线 为平面 给出下列命题 m n mn m mn n m m m nmn 2 其中的正确命题序号是 A B C D 4 等比数列 an 中 a3 6 前三项和 则公比 q 的值为 3 3 0 4Sxdx A 1B 1 2 C 1 或D 或 1 2 1 1 2 5 右面的程序框图输出的结果为 A 62 B 126 C 254 D 510 6 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点是 F1 F2 设 P 是双曲线右支上一点 121 F FF P 在上的投影的大小恰好为 1 F P 且 它们的夹角为 6 则双曲线的离心率e为 A 21 2 B 31 2 C 31 D 21 7 若函数的表达式是 0 4 4 sin xfPxyxfy则则对对称称的的图图象象关关于于点点的的图图象象和和 A B C D 4 cos x 4 cos x 4 cos x 4 cos x 8 以坐标轴为对称轴 原点为顶点 且过圆 22 2690 xyxy 圆心的抛物线方程是 A 或 B 2 3xy 2 3xy 2 3xy C 或 D 或xy9 2 2 3xy 2 3xy xy9 2 9 已知函数 如果存在实数 使得对任意的实数 都有xxxf cossin 1 xx 成立 则的最小值为 11 2011 f xf xf x A B C D 1 20112011 1 40224022 10 中 的平分线 AD 交边 BC 于 D 已知 AB 3 且ABC 60 AA 则 AD 的长为 1 3 ADACABR A 1 B C D 332 3 11 设函数 14 1 log 4 x f xx 21 4 1 log 4 x fxx 的零点分别为 12 xx 则 3 A 12 01x x B 12 12x x C 12 1x x D 12 2x x 12 已知有穷数列 A 定义如下操作过程 T 从 A 中任取两项 n aaa 21 Nnn 2 将的值添在 A 的最后 然后删除 这样得到一系列项的新数列 ji aa ji ji aa aa 1 ji aa 1 n A1 约定 一个数也视作数列 对 A1的所有可能结果重复操作过程 T 又得到一系列 项的新数列 A2 如此经过次操作后得到的新数列记作 Ak 设 A 2 nk 3 1 2 1 4 3 7 5 则 A3的可能结果是 A 3 4 B 1 2 C 1 3 D 0 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做 答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 公差为 各项均为正整数的等差数列中 若 则的最小值等于 d1 1 a51 n adn 14 一盒中装有分别标记着 1 2 3 4 的 4 个小球 每次从袋中取出一只球 设每只小球被取出的可能 性相同 若每次取出的球不放回盒中 现连续取三 次球 求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的 球的概率是 15 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 其顶点都在一个球面上 则该球的 表面积为 16 若 则等于 52345 012345 23 xaa xa xa xa xa x 12345 2345aaaaa 三 解答题 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知 函数的最大值为 最小正周xxxpxf 2 coscossin 0 0 p 2 1 期为 2 4 求 的值 的解析式 p xf 若的三条边为 满足 边所对的角为 求 角ABC abcbca 2 aA 的取值范围及函数的值域 A Af 18 本小题满分 12 分 如图 在梯形ABCD中 ABCD 1 60ADDCCBABC 四边形 ACFE 为矩形 平面ACFE 平面ABCD 1CF 求证 BC 平面ACFE 点M在线段EF上运动 设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为 90 试求cos 的取值范围 19 本小题满分 12 分 某产品按行业生产标准分成个等级 等级系数依次为 其中为标准8 1 2 8 5 为标准 产品的等级系数越大表明产品的质量越好 已知某厂执行标准生产A3 BB 该产品 且该厂的产品都符合相应的执行标准 从该厂生产的产品中随机抽取件 相应的30 等级系数组成一个样本 数据如下 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 该行业规定产品的等级系数的为一等品 等级系数的为二等品 等级系数7 57 的为三等品 35 1 试分别估计该厂生产的产品的一等品率 二等品率和三等品率 2 从样本的一等品中随机抽取 2 件 求所抽得 2 件产品等级系数都是 8 的概率 20 本小题满分 12 分 已知函数 2 2lnf xaxxx 若无极值点 但其导函数有零点 求的值 xf fx a 若有两个极值点 求的取值范围 并证明的极小值小于 xfa xf 3 2 21 本小题满分 12 分 5 O E D C B A 已知点是直角坐标平面内的动点 点到直线的距离为 到点PP 1 2lx 1 d 的距离为 且 10 F 2 d 2 1 2 2 d d 求动点P所在曲线C的方程 直线 过点F且与曲线C交于不同两点A B 点A或B不在x轴上 分别过A B点l 作直线的垂线 对应的垂足分别为 试判断点F与以线段为直径的圆 1 2lx MN MN 的位置关系 指在圆内 圆上 圆外等情况 记 A B 是 2 中的点 问是否存在 1FAM SS 2FMN SS 3FBN SS MN 实数 使成立 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 2 213 SS S 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 直线 AB 经过 O 上一点 C 且 OA OB CA CB O 交直线 OB 于 E D 求证 直线 AB 是 O 的切线 若 O 的半径为 3 求 OA 的长 1 tan 2 CED 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 直角坐标系 xOy 中 以原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的方程 为 直线 的方程为 t 为参数 直线 与曲线 C 的公共点为 T 4cos l 3 2 2 1 2 xt yt l 求点 T 的极坐标 过点 T 作直线被曲线 C 截得的线段长为 2 求直线的极坐标方程 l l l 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设 x 2 x a a 0 f x I 当 a l 时 解不等式 4 f x II 若 4 恒成立 求实数 a 的取值范围 f x 6 内蒙古包头市 2012 届高三第三次模拟考试 数学 理科 答案 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 题号 123456789101112 答案 CBBCDCBDBCAA 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 16 14 1 3 15 16 10 19 3 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 70 分 17 12 分 1 2 1 2sin 2 1 2 1 2cos 2 1 2sin 2 2 x p xx p xf 由 得 2 分 22 2 2 由及 得 4 分 2 1 2 1 2 1 2 p 0 p3 p 6 分 2 1 6 4sin xxf 2 8 分 2 1 2 2 22 cos 22222 bc bcbc bc bccb bc acb A 为三角形内角 所以 10 分A 3 0 A 12 分 6 7 6 4 6 A1 6 4sin 2 1 A 2 1 1 Af 18 I 证明 在梯形中 ABCD ABCD 1ADDCCB ABC 60 2AB 2 分 360cos2 222 o BCABBCABAC 222 BCACAB AC 4 分BC 平面ACFE 平面ABCD 平面ACFE 平面 ABCDAC BC平面ABCD BC 平面ACFE 6 分 II 解法一 由 I 可建立分别以直线 CA CB CF为 7 的如图所示空间直角坐标系 令轴轴轴 zyx 则 30 FM 0 0 3 0 0 0 AC 1 0 0 1 0 MB 8 分 1 1 0 1 3 BMAB 设为平面 MAB 的一个法向量 zyxn 1 由得 0 0 1 1 BMn ABn 0 03 zyx yx 取 则 10 分1 x 3 3 1 1 n 是平面 FCB 的一个法向量 0 0 1 2 n 12 22 12 11 cos 133134 nn nn 11 分 03 当0 时 有最小值 7 7 cos 当3 时 有最大值 1 2 7 1 cos 72 12 分 cos 解法二 当M与F重合时 取FB中点为G 连结AGCG 22 2AFACCF ABAF AG FB 1CFCB CG FB AGC BC CF 2FB 2 2 CG 14 2 AG 222 7 cos 27 CGAGAC CG AG 8 分 当M与E重合时 过 BBNCFBNCF 作且使 连结ENFN 则平面MAB 平面FCB BN BC CF 又 AC CF CF 平面ABC BN 平面ABC ABC 60 1 2 10 分 cos 当M与EF 都不重合时 令 03 FM 延长AM交CF的延长线于N 连结BN N在平面MAB与平面FCB的交线上 B在平面MAB与平面FCB的交线上 平面MAB 平面FCB BN 过 C 作 CG NB 交 NB 于 G 连结 AG 8 由 I 知 AC BC 又 AC CN AC 平面 NCB AC NB 又 CG NB AC CG C NB 平面 ACG AG NB AGC 在NAC 中 可求得 NC 3 3 从而 在NCB 中 可求得 CG 2 3 33 ACG 90o AG 2 22 2 334 33 ACCG 2 1 cos 34 CG AG 03 71 cos 72 11 分 综合 得 7 1 cos 72 12 分 19 解析 1 由样本数据知 30 件产品中 一等品有 6 件 二等品有 9 件 三等品有 15 件 3 分 样本中一等品的频率为 6 0 2 30 故估计该厂生产的产品的一等品率为 4 分0 2 二等品的频率为 故估计该厂产品的二等品率为 5 分 9 0 3 30 0 3 三等品的频率为 故估计该厂产品的三等品率为 6 分 15 0 5 30 0 5 2 样本中一等品有 6 件 其中等级系数为 7 的有 3 件 等级系数为 8 的也有 3 件 7 分 记等级系数为 7 的 3 件产品分别为 等级系数为 8 的 3 件产品分别为 1 C 2 C 3 C 1 P 则从样本的一等品中随机抽取 2 件的所有可能为 2 P 3 P 21 C C 31 C C 11 P C 21 P C 31 P C 32 C C 12 P C 22 P C 共 15 种 32 P C 13 P C 23 P C 33 P C 12 P P 31 P P 32 P P 10 分 9 20 解 首先 0 x 2 x xax x axxf 1221 22 2 分 有零点而无极值点 表明该零点左右同号 故 且 xf xf xf 0 a 的由此可得 4 分0122 2 xax 0 2 1 a 由题意 有两不同的正根 故 0122 2 xax0 0 a 解得 5 2 1 0 a 分 设的两根为 不妨设 因为在区间上 0122 2 xax 21 x x 21 xx 0 21 xx 而在区间上 故是的极小值点 8 分0 xf 21 xx0 xf 2 x xf 因在区间上是减函数 如能证明则更有 xf 21 xx xf 12 3 22 xx f 2 3 2 f x 10 分 由韦达定理 a xx 2 1 2 21 aaaaa a a f 2 1 2 3 2 1 ln 2 1 ln 2 1 2 2 1 2 1 2 令其中设 利用导数容易证明当时单调递减 2 1 t a 1 t 33 ln 22 g ttt g t1t 而 因此 即的极小值 12 分 1 0g 0g t xf 0 2 xf 21 1 设动点为 1 分 P xy 依据题意 有 化简得 3 分 22 1 2 2 2 xy x 2 2 1 2 x y 因此 动点P所在曲线C的方程是 4 分 2 2 1 2 x y 2 点F在以MN为直径的圆的外部 理由 由题意可知 当过点 F 的直线 的斜率为 0 时 l 不合题意 故可设直线 如图所示 l1xmy 5 分 联立方程组 可化为 2 2 1 2 1 x y xmy 22 2 210mymy 则点的坐标满足 7 分 1122 A xyB xy 12 2 12 2 2 2 1 2 m yy m y y m 10 又 可得点 1 AMl 1 BNl 1 2 My 2 2 Ny 点与圆的位置关系 可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断 也可以计算点与直 径形成的张角是锐角 直角 钝角来加以判断 因 则 1 1 FMy 2 1 FNy 1212 1 1 1FM FNyyy y 9 分 2 2 1 0 2 m m 于是 为锐角 即点 F 在以MN为直径的圆的