全国各地2012年中考数学分类解析 专题52 平面几何的综合

用心 爱心 专心1 20122012 年全国中考数学试题分类解析汇编年全国中考数学试题分类解析汇编 专题专题 5252 平面几何的综合 平面几何的综合 一 选择题一 选择题 1 1 20122012 湖北鄂州湖北鄂州 3 3 分 分 如图 四边形 OABC 为菱形 点 A B 在以 O 为圆心的弧上 若 OA 2 1 2 则扇形 ODE 的面积为 A B C D 3 4 3 5 2 3 答案答案 A 考点考点 菱形的性质 等边三角形的判定和性质 扇形面积的计算 分析分析 如图 连接 OB OA OB OC AB BC AOB BOC 120 又 1 2 DOE 120 又 OA 2 扇形 ODE 的面积为 故选 A 2 1202 4 3603 2 2 20122012 湖南岳阳湖南岳阳 3 3 分 分 如图 AB 为半圆 O 的直径 AD BC 分别切 O 于 A B 两点 CD 切 O 于点 E AD 与 CD 相交于 D BC 与 CD 相交于 C 连接 OD OC 对于下列结论 OD2 DE CD AD BC CD OD OC S梯形 ABCD CD OA DOC 90 其中正确的是 用心 爱心 专心2 A B C D 答案答案 A 考点考点 切线的性质 切线长定理 相似三角形的判定与性质 1052629 分析分析 如图 连接 OE AD 与圆 O 相切 DC 与圆 O 相切 BC 与圆 O 相切 DAO DEO OBC 90 DA DE CE CB AD BC CD DE EC AD BC 结论 正确 在 Rt ADO 和 Rt EDO 中 OD OD DA DE Rt ADO Rt EDO HL AOD EOD 同理 Rt CEO Rt CBO EOC BOC 又 AOD DOE EOC COB 180 2 DOE EOC 180 即 DOC 90 结论 正确 DOC DEO 90 又 EDO ODC EDO ODC 即 OD2 DC DE 结论 正确 ODDE DCOD 而 结论 错误 ABCD 11 SABADBCAB CD CD OA 22 分分 分分 由 OD 不一定等于 OC 结论 错误 正确的选项有 故选 A 3 3 20122012 四川乐山四川乐山 3 3 分 分 如图 在 ABC 中 C 90 AC BC 4 D 是 AB 的中点 点 E F 分别在 AC BC 边上运动 点 E 不与点 A C 重合 且保持 AE CF 连接 DE DF EF 在此运动变化的过程中 有下列结论 DFE 是等腰直角三角形 四边形 CEDF 不可能为正方形 四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化 点 C 到线段 EF 的最大距离为 其中正确结论的个数是 用心 爱心 专心3 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案答案 B 考点考点 全等三角形的判定和性质 等腰直角三角形 三角形中位线定理 勾股定理 分析分析 连接 CD 如图 1 ABC 是等腰直角三角形 DCB A 45 CD AD DB AE CF ADE CDF SAS ED DF CDF EDA ADE EDC 90 EDC CDF EDF 90 DFE 是等腰直角三角形 故此结论正确 当 E F 分别为 AC BC 中点时 由三角形中位线定理 DE 平行且等于BC 1 2 四边形 CEDF 是平行四边形 又 E F 分别为 AC BC 中点 AC BC 四边形 CEDF 是菱形 又 C 90 四边形 CEDF 是正方形 故此结论错误 如图 2 分别过点 D 作 DM AC DN BC 于点 M N 由 知四边形 CMDN 是正方形 DM DN 由 知 DFE 是等腰直角三角形 DE DF Rt ADE Rt CDF HL 由割补法可知四边形 CEDF 的面积等于正方形 CMDN 面积 四边形 CEDF 的面积不随点 E 位置的改变而发生变化 故此结论错误 由 DEF 是等腰直角三角形 DE EF 2 当 DF 与 BC 垂直 即 DF 最小时 EF 取最小值 2 此时点 C 到线段 EF 的最2 大距离为 2 用心 爱心 专心4 故此结论正确 故正确的有 2 个 故选 B 4 4 20122012 四川广元四川广元 3 3 分 分 如图 A B 是 O 上两点 若四边形 ACBO 是菱形 O 的半径 为 r 则点 A 与点 B 之间的距离为 A B C r D 2r2r3r 答案答案 B 考点考点 菱形的性质 垂径定理 等边三角形的判定和性质 锐角三角函数定义 特殊角 的三角函数值 分析分析 如图 连接 AB 与 OC 交于点 D 四边形 ACBO 为菱形 OA OB AC BC OC AB 又 OA OC OB AOC 和 BOC 都为等边三角形 AD BD 在 Rt AOD 中 OA r AOD 60 AD OAsin60 3 r 2 AB 2AD 故选 B 3r 5 5 20122012 辽宁锦州辽宁锦州 3 3 分 分 下列说法正确的是 A 同位角相等 B 梯形对角线相等 C 等腰三角形两腰上的高相等 D 对角线相等且垂直的四边形是正方形 答案答案 C 考点考点 同位角 梯形 等腰三角形的性质 正方形的判定 分析分析 根据同位角 梯形 等腰三角形的性质和正方形的判定逐一作出判断 A 两直线平行 被第三条直线所截 同位角才相等 说法错误 B 等腰梯形的对角线才相等 说法错误 C 根据等腰三角形等边对等角的性质 两腰上的高与底边构成的两直角三角形全 等 用 AAS 从而得出等腰三角形两腰上的高相等的结论 说法正确 用心 爱心 专心5 D 对角线相等且垂直的四边形是不一定是正方形 还要对角线互相平分 说法错 误 故选 C 二 填空题二 填空题 1 1 20122012 宁夏区宁夏区 3 3 分 分 如图 在矩形 ABCD 中 对角线 AC BD 相较于 O DE AC 于 E EDC EDA 1 2 且 AC 10 则 DE 的长度是 答案答案 5 3 2 考点考点 矩形的性质 三角形内角和定理 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析分析 四边形 ABCD 是矩形 ADC 90 AC BD 10 OA OC AC 5 OB OD 1 2 1 2 BD 5 OC OD ODC OCD EDC EDA 1 2 EDC EDA 90 EDC 30 EDA 60 DE AC DEC 90 DCE 90 EDC 60 ODC OCD 60 COD 60 DE OD sin 60 3 5 2 5 3 2 2 2 20122012 浙江 舟山嘉兴浙江 舟山嘉兴 5 5 分 分 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 BA BC 点 D 是 AB 的中点 连接 CD 过点 B 作 BG 丄 CD 分别交 GD CA 于点 E F 与过点 A 且垂直于的直 线相交于点 G 连接 DF 给出以下四个结论 点 F 是 GE 的中点 AF AB S ABC 5S BDF 其中正确的结论序号 AGFG ABFB 2 3 是 答案答案 用心 爱心 专心6 考点考点 相似三角形的判定和性质 勾股定理 等腰直角三角形的性质 分析分析 在 Rt ABC 中 ABC 90 AB BC 又 AG AB AG BC AFG CFB AGFG CBFB BA BC 故 正确 AGFG ABFB ABC 90 BG CD DBE BDE BDE BCD 90 DBE BCD AB CB 点 D 是 AB 的中点 BD AB CB 1 2 1 2 BD1 tan BCD BC2 又 BG 丄 CD DBE BCD 在 Rt ABG 中 AG1 tan DBE AB2 FG FB 故 错误 AGFG CBFB 1 2 AFG CFB AF CF AG BC 1 2 AF AC 1 3 AC AB AF AB 故 正确 2 2 3 设 BD a 则 AB BC 2 a BDF 中 BD 边上的高 2 3 S ABC S BDF 2 1 2a 2a 2a 2 2 121 aa a 233 S ABC 6S BDF 故 错误 因此 正确的结论为 3 3 20122012 浙江丽水 金华浙江丽水 金华 4 4 分 分 如图 在直角梯形 ABCD 中 A 90 B 120 AD AB 6 在底边 AB 上取点 E 在射线 DC 上取点 F 使得 DEF 120 3 1 当点 E 是 AB 的中点时 线段 DF 的长度是 2 若射线 EF 经过点 C 则 AE 的长是 答案答案 6 2 或 5 考点考点 直角梯形的性质 勾股定理 解直角三角形 分析分析 1 如图 1 过 E 点作 EG DF EG AD 3 E 是 AB 的中点 AB 6 DG AE 3 DEG 60 由三角函数定义可得 用心 爱心 专心7 DEF 120 FEG 60 tan60 解得 GF 3 GF 3 EG DF DEG FEG EG 是 DF 的中垂线 DF 2 GF 6 2 如图 2 过点 B 作 BH DC 延长 AB 至点 M 过点 C 作 CF AB 于 F 则 BH AD 3 ABC 120 AB CD BCH 60 CH BC 0 BH3 1 tan603 0 BH3 2 cos603 2 设 AE x 则 BE 6 x 在 Rt ADE 中 DE 2 2222 AD AE3 x 3 x 在 Rt EFM 中 EF 2 222 2 EB BM MF6x 1 3 7x 3 AB CD EFD BEC DEF B 120 EDF BCE 即 解得 x 2 或 5 BCBE DEEF 22 26x 3 x 7x 3 4 4 20122012 浙江宁波浙江宁波 3 3 分 分 如图 ABC 中 BAC 60 ABC 45 AB 2 D 是线2 段 BC 上的一个动点 以 AD 为直径画 O 分别交 AB AC 于 E F 连接 EF 则线段 EF 长度 的最小值为 答案答案 3 考点考点 垂线段的性质 垂径定理 圆周角定理 解直角三角形 锐角三角函数定义 特 殊角的三角函数值 分析分析 由垂线段的性质可知 当 AD 为 ABC 的边 BC 上的高时 直径 AD 最短 用心 爱心 专心8 此时线段 EF 2EH 20E sin EOH 20E sin60 当半径 OE 最短时 EF 最短 如图 连接 OE OF 过 O 点作 OH EF 垂足为 H 在 Rt ADB 中 ABC 45 AB 2 2 AD BD 2 即此时圆的直径为 2 由圆周角定理可知 EOH EOF BAC 60 1 2 在 Rt EOH 中 EH OE sin EOH 1 33 22 由垂径定理可知 EF 2EH 3 5 5 20122012 湖北十堰湖北十堰 3 3 分 分 如图 Rt ABC 中 ACB 90 B 30 AB 12cm 以 AC 为 直径的半圆 O 交 AB 于点 D 点 E 是 AB 的中点 CE 交半圆 O 于点 F 则图中阴影部分的面 积为 cm2 答案答案 9 3 3 4 考点考点 含 30 度角直角三角形的性质 等边三角形的判定和性质 直角三角形斜边上的中 线的性质 圆周角定理 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 扇形面积的计算 分析分析 连接 OD OF Rt ABC 中 ACB 90 B 30 AB 12cm AC AB 6cm BAC 60 1 2 E 是 AB 的中点 CE AB AE ACE 是等边三角形 1 2 ECA 60 又 OA OD AOD 是等边三角形 DOA 60 COD 120 同理 COF 60 DOA COE 60 AD CF AA ADCF 与弦 AD 围成的弓形的面积等于与弦 CF 围成的弓形的面积相等 A AD A CF 用心 爱心 专心9 OCDOCD SSS 分分分分分阴 AC 是直径 CDA 90 又 BAC 60 AC 6cm 0 CDAC sin BAC6 sin60 3 3 又 OCD 中 CD 边上的高 2 3 OC cos COF 3 cos60 2 OCD 139 3 S3 3 224 又 2 OCD 1203 S 3 360 分分OCDOCD 9 3 SSS 3 4 分分分分分阴 6 6 20122012 四川宜宾四川宜宾 3 3 分 分 如图 在 O 中 AB 是直径 点 D 是 O 上一点 点 C 是的 A AD 中点 弦 CE AB 于点 F 过点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G 连接 AD 分别交 CF BC 于 点 P Q 连接 AC 给出下列结论 BAD ABC GP GD 点 P 是 ACQ 的外心 AP AD CQ CB 其中正确的是 写出所有正确结论的序号 答案答案 考点考点 切线的性质 圆周角定理 三角形的外接圆与外心 等腰三角形的判定和性质 相似三角形的判定和性质 分析分析 如图 连接 BD 点 C 是的中点 ABC CBD 即 ABD 2 ABC A AD 又 AB 为圆 O 的直径 ADB 90 BAD ABD 900 即 BAD 2 ABC 900 当 ABC 300时 BAD ABC 当 ABC 300时 BAD ABC BAD 与 ABC 不一定相等 所以结论 错误 GD 为圆 O 的切线 GDP ABD 又 AB 为圆 O 的直径 ADB 90 CE AB AFP 90 ADB AFP 用心 爱心 专心10 又 PAF BAD ABD APF 又 APF GPD GDP GPD GP GD 所以结论 正确 直径 AB CE A 为的中点 即 A CE AA AEAC 又 点 C 是的中点 CAP ACP AP CP A AD AA ACCD AA AECD 又 AB 为圆 O 的直径 ACQ 90 PCQ PQC PC PQ AP PQ 即 P 为 Rt ACQ 斜边 AQ 的中点 P 为 Rt ACQ 的外心 所以结论 正确 如图 连接 CD B CAD 又 ACQ BCA ACQ BCA AA ACCD 即 AC2 CQ CB ACCB CQAC ACP ADC 又 CAP DAC ACP ADC AA AEAC 即 AC2 AP AD ACAP ADAC AP AD CQ CB 所以结论 正确 则正确的选项序号有 7 7 20122012 山东日照山东日照 4 4 分 分 如图 1 正方形 OCDE 的边长为 1 阴影部分的面积记作 S1 如 图 2 最大圆半径 r 1 阴影部分的面积记作 S2 则 S1 S2 用 或 填空 答案答案 考点考点 轴对称的性质 正方形和圆的性质 勾股定理 实数的大小比较 分析分析 结合图形发现 图 1 阴影部分的面积等于等于矩形 ACDF 的面积 图 2 每个阴影部 分正好是它所在的圆的四分之一 则阴影部分的面积大圆面积的四分之一 计算出结果后 再比较 S1与 S2的大小即可 用心 爱心 专心11 正方形 OCDE 的边长为 1 根据勾股定理得 OD AO 22 AC AO CO 1 2 1ACDF SS2 11 21 分分 分分 大圆面积 r2 2 1 S 4 S1 S2 21 1 4 三 解答题三 解答题 1 1 20122012 北京市北京市 5 5 分 分 已知 如图 AB 是 O 的直径 C 是 O 上一点 OD BC 于点 D 过点 C 作 O 的切线 交 OD 的延长线于点 E 连结 BE 1 求证 BE 与 O 相切 2 连结 AD 并延长交 BE 于点 F 若 OB 9 求 BF 的长 2 sinABC 3 答案答案 证明 1 连接 OC OD BC OC OB CD BD 垂径定理 CDO BDO HL COD BOD 在 OCE 和 OBE 中 OC OB COE BOE OE OE OCE OBE SAS OBE OCE 90 即 OB BE BE 与 O 相切 2 过点 D 作 DH AB OD BC ODH OBD OD OHDH OBODBD 又 OB 9 OD 6 2 sinABC 3 OH 4 HB 5 DH 2 5 又 ADH AFB 即 解得 AHDH ABFB 1852 5 18FB 用心 爱心 专心12 FB 36 5 13 考点考点 垂径定理 全等三角形的判定和性质 切线的判定和性质 相似三角形的判定和 性质 锐角三角函数定义 分析分析 1 连接 OC 先证明 OCE OBE 得出 EB OB 从而可证得结论 2 过点 D 作 DH AB 根据 可求出 OD 6 OH 4 HB 5 然后 2 sinABC 3 由 ADH AFB 利用相似三角形的性质得出比例式即可解出 BF 的长 2 2 20122012 陕西省陕西省 1212 分 分 如图 正三角形 ABC 的边长为 3 3 1 如图 正方形 EFPN 的顶点 E F 在边 AB 上 顶点 N 在边 AC 上 在正三角形 ABC 及 其内部 以 A 为位似中心 作正方形 EFPN 的位似正方形 且使正方形的E F P N E F P N 面积最大 不要求写作法 2 求 1 中作出的正方形的边长 E F P N 3 如图 在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH 使得 D EF 在边 AB 上 点 P N 分别在边 CB CA 上 求这两个正方形面积和的最大值及最小值 并说明理由 答案答案 解 1 如图 正方形即为所求 E F P N 2 设正方形的边长为 x E F P N ABC 为正三角形 3 AE BF x 3 即 2 3 x x 3 3 3 9 3 3 x 2 3 3 x 3 33 3 如图 连接 NE EP PN 则 0 NEP 90 设正方形 DEMN 和正方形 EFPH 的边长分别为 m n m n 用心 爱心 专心13 它们的面积和为 S 则 NE 2mPE 2n 2222222 PN NE PE 2m 2n 2 m n 222 1 S m n PN 2 延长 PH 交 ND 于点 G 则 PG ND 在中 Rt PGN 22 222 PN PG GN m n mn 即 33 m m n n 3 3 33 m n 3 29 S mn 2 当时 即时 S 最小 2 mn 0 mn 2 19 S 3 22 最小 当最大时 S 最大 即当 m 最大且 n 最小时 S 最大 2 mn 由 2 知 m n 3m 3 33 最大 n m 33 33 63 3 最小最大 2 211 S 9 mn 9 3 336 3 3 9954 3 22 最大最大最小 考点考点 位似变换 等边三角形的判定和性质 勾股定理 正方形的性质 分析分析 1 利用位似图形的性质 作出正方形 EFPN 的位似正方形 E F P N 如答 图 所示 2 根据正三角形 正方形 直角三角形相关线段之间的关系 利用等式 E F AE BF AB 列方程求得正方形 E F P N 的边长 3 设正方形 DEMN 正方形 EFPH 的边长分别为 m n m n 求得面积和的表 达式为 可见 S 的大小只与 m n 的差有关 当 m n 时 S 取得最小值 29 S mn 2 当 m 最大而 n 最小时 S 取得最大值 m 最大 n 最小的情形见第 1 2 问 3 3 20122012 广东广东肇肇庆庆 8 8 分 分 如图 四边形 ABCD 是矩形 对角线 AC BD 相交于点 用心 爱心 专心14 O BE AC 交 DC 的延长线于点 E 1 求证 BD BE 2 若 DBC 30 BO 4 求四边形 ABED 的面积 答案答案 1 证明 四边形 ABCD 是矩形 AC BD AB CD BE AC 四边形 ABEC 是平行四边形 AC BE BD BE 2 解 在矩形 ABCD 中 BO 4 BD 2BO 2 4 8 DBC 30 CD BD 8 4 BC BD cos DBC 8 1 2 1 2 3 4 3 2 BD BE BC DE CE CD 4 DE 8 四边形 ABED 的面积 AB DE BC 4 8 1 2 1 2 4 324 3 考点考点 矩形的性质 平行四边形的判定和性质 等腰三角形的性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析分析 1 根据矩形的对角线相等可得 AC BD 然后证明四边形 ABEC 是平行四边形 再 根据平行四边形的对边相等可得 AC BE 从而得证 2 根据矩形的对角线互相平分求出 BD 的长度 根据 30 角所对的直角边等于斜 边的一半求出 CD 的长度 根据锐角三角函数求出 BC 的长 或用勾股定理求 并根据等腰 三角形三线合一的性质求出 DE 的长 最后利用梯形的面积公式列式计算即可得解 4 4 20122012 广东梅州广东梅州 8 8 分 分 如图 AC 是 O 的直径 弦 BD 交 AC 于点 E 1 求证 ADE BCE 2 如果 AD2 AE AC 求证 CD CB 用心 爱心 专心15 答案答案 证明 1 A 与 B 都是弧所对的圆周角 A B A CD 又 AED BEC ADE BCE 2 AD2 AE AC AEAD ADAC 又 A A ADE ACD AED ADC 又 AC 是 O 的直径 ADC 90 AED 90 直径 AC BD CD CB 考点考点 圆周角定理 对顶角的性质 相似三角形的判定和性质 线段垂直平分线上点的 性质 分析分析 1 由在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 即可得 A B 又由对 顶角相等 可证得 ADE BCE 2 由 AD2 AE AC 可得 又由 A 是公共角 可证得 ADE ACD AEAD ADAC 又由 AC 是 O 的直径 可求得 AC BD 由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性 质可证得 CD CB 5 5 20122012 广东广东肇肇庆庆 1010 分 分 如图 在 ABC 中 AB AC 以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 E 交 BC 于点 D 连结 BE AD 交于点 P 求证 1 D 是 BC 的中点 2 BEC ADC 3 AB CE 2DP AD 答案答案 证明 1 AB 是 O 的直径 ADB 90 即 AD BC AB AC D 是 BC 的中点 2 AB 是 O 的直径 AEB ADB 90 即 CEB CDA 90 C 是公共角 BEC ADC 3 BEC ADC CBE CAD AB AC AD CD BAD CAD BAD CBE 用心 爱心 专心16 ADB BEC 90 ABD BCE ABAD BCBE ABBC ADBE BC 2BD 即 AB2BD ADBE ABBD 2ADBE BDP BEC 90 PBD CBE BPD BCE DPBD CEBE 即 AB CE 2DP AD ABDP 2ADCE 考点考点 圆周角定理 等腰三角形的性质 相似三角形的判定和性质 分析分析 1 由 AB 是 O 的直径 可得 AD BC 又由 AB AC 由三线合一 即可证得 D 是 BC 的中点 2 由 AB 是 O 的直径 AEB ADB 90 又由 C 是公共角 即可证得 BEC ADC 3 易证得 ABD BCE 与 BPD BCE 根据相似三角形的对应边成比例与 BC 2BD 即可证得 AB CE 2DP AD 6 6 20122012 浙江台州浙江台州 1212 分分 已知 如图 1 ABC 中 BA BC D 是平面内不与 A B C 重 合的任意一点 ABC DBE BD BE 1 求证 ABD CBE 2 如图 2 当点 D 是 ABC 的外接圆圆心时 请判断四边形 BDCE 的形状 并证明你的结 论 用心 爱心 专心17 7 7 20122012 浙江杭州浙江杭州 1212 分 分 如图 AE 切 O 于点 E AT 交 O 于点 M N 线段 OE 交 AT 于 点 C OB AT 于点 B 已知 EAT 30 AE 3 MN 2 322 1 求 COB 的度数 2 求 O 的半径 R 3 点 F 在 O 上 是劣弧 且 EF 5 把 OBC 经过平移 旋转和相似变换后 使 A FME 它的两个顶点分别与点 E F 重合 在 EF 的同一侧 这样的三角形共有多少个 你能在其 中找出另一个顶点在 O 上的三角形吗 请在图中画出这个三角形 并求出这个三角形与 OBC 的周长之比 答案答案 解 1 AE 切 O 于点 E AE CE 又 OB AT AEC CBO 90 又 BCO ACE AEC OBC 用心 爱心 专心18 又 A 30 COB A 30 2 AE 3 A 30 3 在 Rt AEC 中 tanA tan30 即 EC AEtan30 3 EC AE OB MN B 为 MN 的中点 又 MN 2 MB MN 22 1 2 22 连接 OM 在 MOB 中 OM R MB 22 222 OBOMMBR22 在 COB 中 BOC 30 cos BOC cos30 BO OC OB3 OC2 3 2 2 2 32 3 OCOBR22 33 又 OC EC OM R 2 2 3 RR22 3 3 整理得 R2 18R 115 0 即 R 23 R 5 0 解得 R 23 舍去 或 R 5 R 5 3 在 EF 同一侧 COB 经过平移 旋转和相似变换后 这样的三角形有 6 个 如图 每小图 2 个 顶点在圆上的三角形 如图所示 延长 EO 交圆 O 于点 D 连接 DF 如图所示 FDE 即为所求 EF 5 直径 ED 10 可得出 FDE 30 用心 爱心 专心19 FD 5 3 则 C EFD 5 10 5 15 5 33 由 2 可得 C COB 3 3 C EFD C COB 15 5 3 5 1 33 考点考点 切线的性质 含 30 度角的直角三角形的性质 锐角三角函数定义 勾股定理 垂 径定理 平移 旋转的性质 相似三角形的判定和性质 分析分析 1 由 AE 与圆 O 相切 根据切线的性质得到 AE CE 又 OB AT 可得出两直角 相等 再由一对对顶角相等 利用两对对应角相等的两三角形相似可得出 AEC OBC 根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与 A 相等 由 A 的度数即可求出所求角的 度数 2 在 Rt AEC 中 由 AE 及 tanA 的值 利用锐角三角函数定义求出 CE 的长 再 由 OB MN 根据垂径定理得到 B 为 MN 的中点 根据 MN 的长求出 MB 的长 在 Rt OBM 中 由半径 OM R 及 MB 的长 利用勾股定理表示出 OB 的长 在 Rt OBC 中 由表示出 OB 及 cos30 的值 利用锐角三角函数定义表示出 OC 用 OE OC EC 列出关于 R 的方程 求出 方程的解得到半径 R 的值 3 把 OBC 经过平移 旋转和相似变换后 使它的两个顶点分别与点 E F 重 合 在 EF 的同一侧 这样的三角形共有 6 个 顶点在圆上的三角形 延长 EO 与圆交于点 D 连接 DF FDE 即为所求 根据 ED 为直径 利用直径所对的圆周角为直角 得到 FDE 为直角三角形 由 FDE 为 30 利用锐角三角函数定义求出 DF 的长 表示出 EFD 的周长 再由 2 求 出的 OBC 的三边表示出 BOC 的周长 即可求出两三角形的周长之比 8 8 20122012 浙江湖州浙江湖州 1010 分 分 已知 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC DA DC 以点 D 为圆心 DA 长为半径的 D 与 AB 相切于 A 与 BC 交于点 F 过点 D 作 DE BC 垂足为 E 1 求证 四边形 ABED 为矩形 2 若 AB 4 求 CF 的长 AD3 BC4 用心 爱心 专心20 答案答案 1 证明 D 与 AB 相切于点 A AB AD AD BC DE BC DE AD DAB ADE DEB 90 四边形 ABED 为矩形 2 解 四边形 ABED 为矩形 DE AB 4 DC DA 点 C 在 D 上 D 为圆心 DE BC CF 2EC 设 AD 3k k 0 则 AD3 BC4 BC 4k BE 3k EC BC BE 4k 3k k DC AD 3k 由勾股定理得 DE2 EC2 DC2 即 42 k2 3k 2 k2 2 k 0 k CF 2EC 2 22 考点考点 切线的性质 矩形的判定和性质 勾股定理 待定系数法 垂径定理 分析分析 1 根据 AD BC 和 AB 切圆 D 于 A 求出 DAB ADE DEB 90 即可推出结论 2 根据矩形的性质求出 AD BE AB DE 4 根据垂径定理求出 CF 2CE 设 AD 3k 则 BC 4k BE 3k EC k DC AD 3k 在 DEC 中由勾股定理得出一个关于 k 的方程 求出 k 的值 即可求出答案 9 9 20122012 江苏南京江苏南京 8 8 分 分 如图 在直角三角形 ABC 中 ABC 90 点 D 在 BC 的延长线 上 且 BD AB 过 B 作 BEAC 与 BD 的垂线 DE 交于点 E 1 求证 ABC BDE 2 三角形 BDE 可由三角形 ABC 旋转得到 利用尺规作出旋转中心 O 保留作图痕迹 不 写作法 用心 爱心 专心21 答案答案 1 证明 在 Rt ABC 中 ABC 90 ABE DBE 90 BE AC ABE A 90 A DBE DE 是 BD 的垂线 D 90 在 ABC 和 BDE 中 A DBE AB DB ABC D ABC BDE ASA 2 如图 点 O 就是所求的旋转中心 考点考点 三角形内角和定理 全等三角形的判定 作图 旋转变换 线段垂直平分线的性 质 分析分析 1 利用已知得出 A DBE 从而利用 ASA 得出 ABC BDE 即可 2 利用垂直平分线的性质可以作出 或者利用正方形性质得出旋转中心也可 10 10 20122012 江苏扬州江苏扬州 1010 分 分 如图 在四边形 ABCD 中 AB BC ABC CDA 90 BE AD 垂足为 E 求证 BE DE 答案答案 证明 作 CF BE 垂足为 F BE AD AEB 90 FED D CFE 90 CBE ABE 90 用心 爱心 专心22 BAE ABE 90 BAE CBF 四边形 EFCD 为矩形 DE CF 在 BAE 和 CBF 中 CBE BAE BFC BEA 90 AB BC BAE CBF AAS BE CF 又 CF DE BE DE 考点考点 全等三角形的判定和性质 矩形的判定和性质 分析分析 作 CF BE 垂足为 F 得出矩形 CFED 求出 CBF A 根据 AAS 证 BAE CBF 推出 BE CF 即可 11 11 20122012 广东广东河河源源 7 7 分 分 如图 AC 是 O 的直径 弦 BD 交 AC 于点 E 1 求证 ADE BCE 2 若 AD2 AC AE 求证 BC CD 答案答案 证明 1 A 与 B 都是弧所对的圆周角 A B A CD 又 AED BEC ADE BCE 2 AD2 AE AC AEAD ADAC 又 A A ADE ACD AED ADC 又 AC 是 O 的直径 ADC 90 AED 90 直径 AC BD CD CB 考点考点 圆周角定理 对顶角的性质 相似三角形的判定和性质 线段垂直平分线上点的 性质 分析分析 1 由在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 即可得 A B 又由对 顶角相等 可证得 ADE BCE 2 由 AD2 AE AC 可得 又由 A 是公共角 可证得 ADE ACD AEAD ADAC 又由 AC 是 O 的直径 可求得 AC BD 由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性 质可证得 CD CB 12 12 20122012 湖北随州湖北随州 1010 分 分 如图 已知直角梯形 ABCD B 900 AD BC 并且 用心 爱心 专心23 AD BC CD O 为 AB 的中点 1 求证 以 AB 为直径的 O 与斜腰 CD 相切 2 若 OC 8 cm OD 6 cm 求 CD 的长 答案答案 解 1 在 CD 上取中点 F 连接 OF O 为 AB 的中点 由梯形中位线可知 OF AD BC OF AD BC 1 2 又 AD BC CD OF CD CF FOC FCO 1 2 又由 OF BC 得 FOC OCB OCF OCB 在 CD 上取点 E 使 DE DA 则 CE CB 在 OBC 和 OEC 中 CE CB OCB OCE OC OC OBC OEC SAS B OEC OE OD B 900 OEC 90 OE CD 又 O 为 AB 的中点 OE OD OA 为 O 的半径 以 AB 为直径的 O 与 CD 相切于 E 2 由 1 知 OF CF DF O 点在以 CD 为直径的 F 上 COD 90 在 Rt COD 中 OD 6cm OC 8cm 根据勾股定理得 2222 CDODOC6810 cm 考点考点 直角梯形的性质 梯形中位线定理 平行的性质 全等三角形的判定和性质 切 线的判定和性质 圆周角定理 勾股定理 分析分析 1 在 CD 上取中点 F 连接 OF 由已知 根据梯形中位线定理和平行的性质 可 由 SAS 得出 OBC OEC 从而由 B 900 证得 OE CD 由 OE OD OA 为 O 的半径得出 以 AB 为直径的 O 与 CD 相切于 E 2 由 1 可知 O 点在以 CD 为直径的 F 上 根据直径所对的圆周角为直角得 到 DOC 为直角 在直角三角形 COD 中 由 OD 与 OC 的长 利用勾股定理即可求出 CD 的长 13 13 20122012 湖北武汉湖北武汉 8 8 分 分 在锐角 ABC 中 BC 5 sinA 4 5 1 如图 1 求 ABC 外接圆的直径 2 如图 2 点 I 为 ABC 的内心 BA B C 求 AI 的长 用心 爱心 专心24 答案答案 解 1 作 ABC 的外接圆的直径 CD 连接 BD 则 CBD 900 D A BC4 sinDsinA CD5 BC 5 525 CD 4 4 5 ABC 外接圆的直径为 25 4 2 连接 BI 并延长交 AC 于点 H 作 IE AB 于点 E BA BC BH AC IH IE 在 Rt ABH 中 BH AB sin BDH 4 22 AHABBH3 即 ABIAHIABH SSS AB IEAH IHAH B 22 H 2 5IE3IH3 22 4 2 IH IE 3 IH 2 在 Rt AIH 中 2 222 33 AIAH IH3 5 22 考点考点 三角形外心和内心的性质 圆周角定理 锐角三角函数定义 等腰三角形的性质 角平分线的判定和性质 勾股定理 分析分析 1 作 ABC 的外接圆的直径 CD 连接 BD 由直径所对圆周角是直角的性质得 CBD 900 由同圆中同弧所对圆周角相等得 D A 从而由已知 根据锐角三 4 sinA 5 角函数定义即可求得 ABC 外接圆的直径 2 连接 BI 并延长交 AC 于点 H 作 IE AB 于点 E 由三角形内心的性质和角平 用心 爱心 专心25 分线的判定 和性质 知 IH IE 在 Rt ABH 中 根据锐角三角函数定义和勾股定理可求出 BH 4 和 AH 3 从而由求得 在 Rt AIH 中 应用勾股定理求得 AI 的 ABIAHIABH SSS 3 IH 2 长 14 14 20122012 湖北荆门湖北荆门 1010 分 分 如图所示为圆柱形大型储油罐固定在 U 型槽上的横截面 图 已知图中 ABCD 为等腰梯形 AB DC 支点 A 与 B 相距 8m 罐底最低点到地面 CD 距 离为 1m 设油罐横截面圆心为 O 半径为 5m D 56 求 U 型槽的横截面 阴影部分 的面积 参考数据 sin53 0 8 tan56 1 5 3 结果保留整数 答案答案 解 如图 连接 AO BO 过点 A 作 AE DC 于点 E 过点 O 作 ON DC 于点 N ON 交 O 于点 M 交 AB 于点 F 则 OF AB OA OB 5m AB 8m AF BF AB 4 m AOB 2 AOF 1 2 在 Rt AOF 中 0 AF4 sin AOF 0 8 sin53 AO5 AOF 53 AOB 106 m 由题意得 2222 OF OAAF 54 3 MN 1m FN OM OF MN 3 m 四边形 ABCD 是等腰梯形 AE DC FN AB AE FN 3m DC AB 2DE 在 Rt ADE 中 DE 2m DC 12m 0 AE3 tan56 DE2 m2 2 OABABCDOAB 110651 SSSS81238 320 23602 分分分分 分分分分分分 阴 答 U 型槽的横截面积约为 20m2 考点考点 解直角三角形的应用 垂径定理 勾股定理 等腰梯形的性质 锐角三角函数定 义 用心 爱心 专心26 分析分析 连接 AO BO 过点 A 作 AE DC 于点 E 过点 O 作 ON DC 于点 N ON 交 O 于点 M 交 AB 于点 F 则 OF AB 根据垂径定理求出 AF 再在 Rt AOF 中利用锐角三角函数的 定义求出 AOB 由勾股定理求出 OF 根据四边形 ABCD 是等腰梯形求出 AE 的长 再由 即可得出结果 OABABCDOAB SSSS 分分分分 分分 阴 15 15 20122012 湖北宜昌湖北宜昌 8 8 分 分 如图 ABC 和 ABD 都是 O 的内接三角形 圆心 O 在边 AB 上 边 AD 分别与 BC OC 交于 E F 两点 点 C 为的中点 A AD 1 求证 OF BD 2 若 且 O 的半径 R 6cm FE1 ED2 求证 点 F 为线段 OC 的中点 求图中阴影部分 弓形 的面积 答案答案 1 证明 OC 为半径 点 C 为的中点 OC AD A AD AB 为直径 BDA 90 BD AD OF BD 2 证明 点 O 为 AB 的中点 点 F 为 AD 的中点 OF BD 1 2 FC BD FCE DBE FEC DEB ECF EBD FC BD FCFE1 BDED2 1 2 FC FO 即点 F 为线段 OC 的中点 解 FC FO OC AD AC AO 又 AO CO AOC 为等边三角形 根据锐角三角函数定义 得 AOC 的高为 3 6 3 3 2 cm2 2 6061 S6 3 3 69 3 3602 阴 答 图中阴影部分 弓形 的面积为cm2 69 3 用心 爱心 专心27 考点考点 圆心角 弧 弦的关系 垂径定理 圆周角定理 相似三角形的判定和性质 三 角形中位线的性质 等边三角形的判定和性质 扇形面积的计算 分析分析 1 由垂径定理可知 OC AD 由圆周角定理可知 BD AD 从而证明 OF BD 2 由 OF BD 可证 ECF EBD 利用相似比证明 BD 2CF 再证 OF 为 ABD 的中位线 得出 BD 2OF 即 CF OF 证明点 F 为线段 OC 的中点 根据 S阴 S扇形 AOC S AOC 求面积 16 16 20122012湖北黄冈湖北黄冈8 8分 分 如图 在 ABC 中 BA BC 以AB 为直径作半圆 O 交AC 于点 D 连结DB 过点D 作DE BC 垂足为点E 1 求证 DE 为 O 的切线 2 求证 DB2 AB BE 答案答案 证明 1 连接OD BD 则 ADB 90 圆周角定理 BA BC CD AD 三线合一 又 AO BO OD是 ABC的中位线 OD BC DEB 90 ODE 90 即OD DE DE为 O的切线 2 BED BDC 900 EBD DBC BED BDC BDBE BCBD 又 AB BC BD2 AB BE BDBE ABBD 考点考点 切线的判定和性质 圆周角定理 等腰三角形的性质 三角形中位线的性质 相 似三角形的判定和性质 分析分析 1 连接 OD BD 根据圆周角定理可得 ADB 90 从而得出点 D 是 AC 中点 判断出 OD 是 ABC 的中位线 利用中位线的性质得出 ODE 90 这样可判断出结论 2 根据题意可判断 BED BDC 从而可得BD2 BC BE 将BC替换成AB即可得出 结论 用心 爱心 专心28 17 17 20122012 湖北鄂州湖北鄂州 1010 分 分 如图 梯形 ABCD 是等腰梯形 且 AD BC O 是腰 CD 的中点 以 CD 长 为直径作圆 交 BC 于 E 过 E 作 EH AB 于 H 1 求证 OE AB 2 若 EH CD 求证 AB 是 O 的切线 2 1 3 若 BE 4BH 求的值 BH CE 答案答案 解 1 证明 在等腰梯形 ABCD 中 AB DC B C OE OC OEC C B OEC OE AB 2 证明 过点 O 作 OF AB 于点 F 过点 O 作 OG BC 交 AB 于 点 G AB DC B C OC OE OEC C OEC B OE GB 又 EH AB FO HE 四边形 OEHF 是平行四边形 OF EH 又 EH CD OF CD 即 OF 是 O 的半径 1 2 1 2 AB 是 O 的切线 3 连接 DE CD 是直径 DEC 90 DEC EHB 又 B C EHB DEC BHBE CECD BE 4BH 设 BH k 则 BE 4k 2 222 EHBEBH4kk15k CD 2EH 2 15k BH4k2 15 CE152 15k 考点考点 等腰梯形 三角形 的性质 平行线的判定和性质 平行四边形的判定和性质 切线的判定 相似三角形的判定和性质 勾股定理 分析分析 1 判断出 B OEC 根据同位角相等得出 OE AB 2 过点 O 作 OF AB 于点 F 过点 O 作 OG BC 交 AB 于点 G 证明 OF 是 O 的 半径即可 用心 爱心 专心29 3 求出 EHB DEC 根据相似三角形的性质和勾股定理解答 18 18 20122012 湖南长沙湖南长沙 8 8 分 分 如图 A P B C 是半径为 8 的 O 上的四点 且满足 BAC APC 60 1 求证 ABC 是等边三角形 2 求圆心 O 到 BC 的距离 OD 19 19 20122012 湖南怀化湖南怀化 1010 分 分 如图 已知 AB 是 O 的弦 OB 4 点 C 是弦3OBC0 AB 上任意一点 不与点 A B 重合 连接 CO 并延长 CO 交 O 于点 D 连接 AD DB 1 当 时 求的度数 ADC 18DOB 2 若 AC 求证 ACD OCB 32 用心 爱心 专心30 答案答案 解 1 连接 OA OA OB OD OBC30 ADC 18 OAB OBC 30 OAD ADC 18 DAB DA